Guida per l'insegnante: Dimostrazione per contronominale

Dimostra un'implicazione supponendo che la tesi sia falsa e mostrando che allora anche l'ipotesi è falsa.

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10 domande su Dimostrazioni matematiche. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Spiegare perché un'implicazione e la sua contronominale sono logicamente equivalenti
Decidere quando una dimostrazione per contronominale è più semplice di una diretta
Negare correttamente tesi che contengono "e", "o" e disuguaglianze
Scrivere dimostrazioni complete per contronominale su interi pari e dispari e su disuguaglianze
Distinguere la dimostrazione per contronominale dalla dimostrazione per assurdo

Prerequisiti

• Dimostrazione diretta: supporre l'ipotesi e dedurre la tesi
• Contronominale: costruire $\neg q \to \neg p$ a partire da un'implicazione
• Introduzione alle dimostrazioni matematiche: ipotesi, tesi e c.v.d.
• Definizioni di intero pari ( $2k$ ) e dispari ( $2k + 1$ )

Spunti di discussione

1. "Se piove, la strada è bagnata." Che cosa puoi concludere se la strada è asciutta? E se è bagnata?
2. Perché l'ipotesi " $n^2$ è pari" è più difficile da usare di " $n$ è dispari"?
3. Qual è il contrario di "almeno uno dei numeri vale 5 o più"?
4. Come spiegheresti a un amico la differenza tra una dimostrazione per contronominale e una per assurdo?

Idee sbagliate comuni

La contronominale e l'inversa sono la stessa cosa

Rimedio: Usa un enunciato vero con inversa falsa: "se un numero è divisibile per 4, è pari". L'inversa è falsa ( $6$ è pari ma non è divisibile per 4), mentre la contronominale ("se un numero è dispari, non è divisibile per 4") è vera.

Negare significa solo mettere "non" davanti a ogni parola

Rimedio: Esercitati con " $x$ e $y$ sono dispari": gli studenti provano coppie come $(2, 3)$ e vedono che l'enunciato è già falso quando un solo numero è pari, il che porta a " $x$ è pari o $y$ è pari".

Una dimostrazione per contronominale deve finire con una contraddizione

Rimedio: Scrivi una accanto all'altra le due dimostrazioni di "se $n^2$ è pari, allora $n$ è pari" e sottolinea che la versione per contronominale si ferma semplicemente a " $n^2$ è dispari".

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Fornire uno schema: Contronominale: ... / Supponiamo: ... / Allora: ... / Quindi: ... / Perciò l'enunciato di partenza è vero
• Partire da frasi della vita quotidiana prima di passare ai numeri
• Verificare ogni passaggio con numeri concreti come $n = 7$ o $n = 10$

Per studenti a livello:

• Dimostrare senza schema gli enunciati classici su pari e dispari
• Negare enunciati con e, o e disuguaglianze, poi dimostrarli
• Decidere per ogni enunciato se è più breve la dimostrazione diretta o quella per contronominale

Per studenti avanzati:

• Dimostrare: se $n^2$ è divisibile per 3, allora $n$ è divisibile per 3 (casi $n = 3k + 1$ e $n = 3k + 2$ )
• Usare "se $n^2$ è pari allora $n$ è pari" per seguire la dimostrazione che $\sqrt{2}$ è irrazionale
• Riscrivere una dimostrazione per contronominale come dimostrazione per assurdo e confrontarne la lunghezza

Allineamento agli standard

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Costruire argomentazioni valide e valutare criticamente il ragionamento degli altri
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Prestare attenzione alla precisione, anche nell'uso dei connettivi logici e delle negazioni
HSA-REI.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.A.1)
Spiegare ogni passaggio nella risoluzione di un'equazione come conseguenza dell'uguaglianza affermata nel passaggio precedente

Risorse della lezione

visualTavola di verità: due colonne uguali
Gli studenti costruiscono le colonne $p \to q$ e $\neg q \to \neg p$ e vedono che coincidono
activityDiretta o contronominale?
Ordinare 8 enunciati in base al metodo che dà la dimostrazione più breve, poi dimostrarne due
worksheetAllenamento sulla negazione
Negare enunciati con e, o, almeno uno e disuguaglianze prima di scrivere dimostrazioni

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Una dimostrazione per contronominale dimostra un'implicazione

p \to q

dimostrando al suo posto la sua contronominale

\neg q \to \neg p

. Supponi che la tesi sia falsa e mostri che allora l'ipotesi deve essere falsa.

Perché è lecito (ripasso della lezione Contronominale): un'implicazione e la sua contronominale sono logicamente equivalenti. Le loro colonne nella tavola di verità coincidono in ogni riga (T significa vero e F falso; la tavola interattiva scrive V e F):

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & p \to q & \neg q & \neg p & \neg q \to \neg p \\ \hline F & F & T & T & T & T \\ F & T & T & F & T & T \\ T & F & F & T & F & F \\ T & T & T & F & F & T \end{array}

Quindi, appena

\neg q \to \neg p

è dimostrata, è dimostrata anche

p \to q

Lo schema della dimostrazione:

1.Scrivi la contronominale: nega l'ipotesi e la tesi, poi scambiale.
2.Supponi $\neg q$ (la tesi è falsa).
3.Procedi con definizioni e calcoli, esattamente come in una dimostrazione diretta.
4.Arriva a $\neg p$ (l'ipotesi è falsa).
5.Concludi: la contronominale è vera, quindi l'enunciato di partenza è vero.

Quando sceglierla: quando l'ipotesi

p

offre poco su cui lavorare ("

n^2

è pari" non dice nulla di semplice su

n

), ma la tesi negata

\neg q

è concreta ("

n

è dispari" significa

n = 2k + 1

Non è una dimostrazione per assurdo: lì supponi insieme

p

\neg q

e cerchi *una qualsiasi* contraddizione. Qui supponi solo

\neg q

e punti a un obiettivo fisso:

\neg p

Esempi svolti

Dimostra: per ogni intero $n$ , se $n^2$ è pari, allora $n$ è pari.

Scrivi la contronominale

Nega entrambe le parti e scambiale: "se $n$ non è pari, allora $n^2$ non è pari" → Se $n$ è dispari, allora $n^2$ è dispari

Supponi la tesi negata

Supponi che $n$ sia dispari, quindi $n = 2k + 1$ per un intero $k$ → $n = 2k + 1$

Eleva al quadrato e sviluppa

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ → $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Scrivilo nella forma 2m + 1

$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ , e $m = 2k^2 + 2k$ è un intero → $n^2$ è dispari

Concludi

Abbiamo dimostrato " $n$ dispari $\Rightarrow$ $n^2$ dispari", la contronominale dell'enunciato → Se $n^2$ è pari, allora $n$ è pari

Risposta: La contronominale (se $n$ è dispari, allora $n^2$ è dispari) è vera, quindi l'enunciato di partenza è vero. c.v.d.

Errori comuni

Dimostrare l'inversa invece della contronominale: per "se $n^2$ è pari, allora $n$ è pari", supporre $n$ pari e mostrare che $n^2$ è pari

Perché è sbagliato: Così si dimostra $q \to p$ , l'inversa, che è un altro enunciato. Un'implicazione e la sua inversa non sono equivalenti.

Corretto: Nega entrambe le parti e scambiale: supponi $n$ dispari ( $\neg q$ ) e mostra che $n^2$ è dispari ( $\neg p$ ).

Negare " $x$ e $y$ sono dispari" come " $x$ e $y$ sono pari"

Perché è sbagliato: La tesi è già falsa appena uno solo dei numeri è pari. "Entrambi pari" copre solo una parte dei casi, quindi la dimostrazione sarebbe incompleta.

Corretto: "Non ( $a$ e $b$ )" significa "non $a$ o non $b$ ": $x$ è pari o $y$ è pari. Poi dimostra ogni caso.

Negare $x \geq 5$ come $x \leq 5$

Perché è sbagliato: Il valore $x = 5$ soddisfa sia $x \geq 5$ sia $x \leq 5$ , quindi $x \leq 5$ non è il contrario di $x \geq 5$ .

Corretto: La negazione di $x \geq 5$ è $x < 5$ , e la negazione di $x > 5$ è $x \leq 5$ .

Supporre $\neg q$ e poi cercare "una contraddizione qualsiasi"

Perché è sbagliato: Così si mescolano due metodi. In una dimostrazione per contronominale non c'è nessuna contraddizione: hai un obiettivo preciso.

Corretto: Supponi $\neg q$ e lavora finché arrivi esattamente a $\neg p$ . Cercare una contraddizione qualsiasi appartiene alla dimostrazione per assurdo.

Perché è importante

La dimostrazione per contronominale è uno degli strumenti più utili della matematica:

Rende concrete ipotesi vaghe: con " $n^2$ è pari" è difficile lavorare, con " $n$ è dispari, quindi $n = 2k + 1$ " è facile
Semplifica le tesi con "o": la negazione di " $x \geq 5$ o $y \geq 5$ " è il comodo " $x < 5$ e $y < 5$ "
È alla base di risultati classici: la dimostrazione che $\sqrt{2}$ è irrazionale usa il fatto che se $n^2$ è pari allora $n$ è pari, e questo si dimostra per contronominale
È un ragionamento quotidiano: "se il rilevatore di fumo funziona, suona durante il test" significa "nessun suono, quindi il rilevatore è guasto"
Ti prepara alla dimostrazione per assurdo, la prossima lezione di questo argomento, perché ti allena a negare correttamente gli enunciati

Quando sai negare un enunciato e cambiare punto di vista, molte dimostrazioni che sembrano impossibili per via diretta diventano lunghe poche righe.

Applicazioni nel mondo reale

Controllo qualità

Gli ispettori usano la contronominale per escludere dei casi senza pesare ogni articolo due volte.

Esempio:

Regola: se un pacco di 4 scatole pesa almeno 2000 g, allora almeno una scatola pesa almeno 500 g. Contronominale: se ogni scatola pesa meno di 500 g, il pacco pesa meno di 2000 g.

1Provaci tu stesso

Una macchina riempie 4 scatole e nessuna può contenere più di 495 g.

Mostra con la contronominale che il pacco non può arrivare a 2000 g.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Massimo totale possibile delle 4 scatole:

Testare il software

I programmatori testano il codice con la contronominale: se il codice è corretto, un test dà il risultato giusto, quindi un risultato sbagliato dimostra un bug.

Esempio:

Una funzione deve calcolare $f(n) = 3n + 2$ . Abbiamo dimostrato: se $f(n)$ è dispari, allora $n$ è dispari. Contronominale: un $n$ pari deve dare un risultato pari.

2Provaci tu stesso

Un test chiama la funzione con $n = 8$ e il programma restituisce 27.

Quale dovrebbe essere il risultato giusto, e che cosa ti dice il 27?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola il valore giusto $f(8)$ :

Cifre di controllo nei codici

Molti codici usano una regola semplice per scoprire errori di battitura. La contronominale ti dice quando un codice è sicuramente sbagliato.

Esempio:

Regola: se un codice è valido, allora la somma delle sue cifre è divisibile per 9. Contronominale: se la somma delle cifre non è divisibile per 9, il codice non è valido.

3Provaci tu stesso

Qualcuno digita il codice 4726.

Usa la contronominale per decidere se il codice può essere valido.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Somma delle cifre:

Punti chiave

1Una dimostrazione per contronominale dimostra $p \to q$ dimostrando $\neg q \to \neg p$
2Funziona perché un'implicazione e la sua contronominale sono logicamente equivalenti (colonne uguali nella tavola di verità)
3Schema: supponi che la tesi sia falsa, procedi e arriva a mostrare che l'ipotesi è falsa
4Sceglila quando la tesi negata è concreta, per esempio " $n$ è dispari" dà $n = 2k + 1$
5Nega con attenzione: "e" diventa "o", "o" diventa "e", $\geq$ diventa $<$
6A differenza della dimostrazione per assurdo, supponi solo $\neg q$ e punti a un solo obiettivo, $\neg p$

Domande frequenti

Perché dimostrare la contronominale dimostra l'enunciato di partenza?

Perché sono logicamente equivalenti: nella tavola di verità

p \to q

\neg q \to \neg p

sono false esattamente nella stessa riga (

p

vera,

q

falsa) e vere in tutte le altre. Dimostrarne una significa dimostrare l'altra.

Come capisco quando usare la contronominale invece di una dimostrazione diretta?

Guarda l'ipotesi. Se è difficile da usare (un enunciato su

n^2

, un prodotto, una somma) mentre la tesi negata ti dà una formula (

n = 2k

n = 2k + 1

x < 5

y < 5

), la contronominale di solito è più breve.

Qual è la differenza con la dimostrazione per assurdo?

Nella dimostrazione per assurdo supponi

p

\neg q

e cerchi una qualsiasi situazione impossibile. Nella dimostrazione per contronominale supponi solo

\neg q

e devi arrivare all'enunciato preciso

\neg p

. Ogni dimostrazione per contronominale si può riscrivere per assurdo, ma non vale il viceversa.

Se dimostro la contronominale, è vera anche l'inversa?

Non automaticamente. L'inversa

q \to p

è un enunciato diverso. Per esempio "se

n^2

è pari, allora

n

è pari" e la sua inversa "se

n

è pari, allora

n^2

è pari" sono vere entrambe, ma ciascuna richiede la propria dimostrazione.

Glossario

Contronominale: L'implicazione $\neg q \to \neg p$ che si ottiene da $p \to q$ negando entrambe le parti e scambiandole
Dimostrazione per contronominale: Una dimostrazione di $p \to q$ che suppone $\neg q$ e ne deduce $\neg p$
Logicamente equivalenti: Due enunciati che hanno lo stesso valore di verità in ogni riga della tavola di verità
Negazione: L'enunciato "non $p$ " ( $\neg p$ ), vero esattamente quando $p$ è falso
Inversa: L'implicazione $q \to p$ ; non è equivalente a $p \to q$
Intero pari / dispari: Un intero della forma $2k$ (pari) o $2k + 1$ (dispari), dove $k$ è un intero

Scheda formule

Equivalenza con la contronominale

p \to q \;\equiv\; \neg q \to \neg p

Dimostrare il membro destro dimostra quello sinistro

Negare "e"

\neg(a \land b) \equiv \neg a \lor \neg b

Non entrambi: almeno uno è falso

Negare "o"

\neg(a \lor b) \equiv \neg a \land \neg b

Nessuno dei due: sono falsi entrambi

Pari e dispari

n = 2k

(pari),

\; n = 2k + 1

(dispari)

Le forme concrete che ottieni dopo aver negato "pari" o "dispari"

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Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Controllo qualità

Testare il software

Cifre di controllo nei codici

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Equivalenza con la contronominale

Negare "e"

Negare "o"

Pari e dispari

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