Dimostrazione per contronominale

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale enunciato è la contronominale di "Se $n^2$ è pari, allora $n$ è pari"?
1. a)Se $n^2$ è dispari, allora $n$ è dispari
2. b)Se $n$ è dispari, allora $n^2$ è pari
3. c)Se $n$ è dispari, allora $n^2$ è dispari
4. d)Se $n$ è pari, allora $n^2$ è pari
Risposta: Se $n$ è dispari, allora $n^2$ è dispari
La contronominale di $p \to q$ è $\neg q \to \neg p$ : "se $n$ è dispari, allora $n^2$ è dispari". La prima scelta è l'inversa, la seconda la contraria, l'ultima non c'entra.
2.
Vuoi dimostrare "Se $xy$ è dispari, allora $x$ e $y$ sono entrambi dispari" per contronominale. Che cosa supponi all'inizio?
1. a) $x$ e $y$ sono entrambi dispari
2. b) $x$ e $y$ sono entrambi pari
3. c) $x$ è pari o $y$ è pari
4. d) $xy$ è pari
Risposta: $x$ è pari o $y$ è pari
La tesi " $x$ e $y$ sono dispari" è falsa appena un numero è pari, quindi la sua negazione è " $x$ è pari o $y$ è pari". " $xy$ è pari" è ciò che devi dimostrare, e "entrambi pari" lascia fuori dei casi.
3.
Qual è la negazione di " $x \geq 5$ o $y \geq 5$ "?
1. a) $x \leq 5$ e $y \leq 5$
2. b) $x < 5$ o $y < 5$
3. c) $x < 5$ e $y < 5$
4. d) $x > 5$ e $y > 5$
Risposta: $x < 5$ e $y < 5$
"Non ( $a$ o $b$ )" significa "non $a$ e non $b$ ", e la negazione di $x \geq 5$ è $x < 5$ . Quindi la risposta è " $x < 5$ e $y < 5$ ". Con $\leq$ il valore 5 sarebbe incluso per errore.
4.
In una dimostrazione di $p \to q$ per contronominale inizi supponendo $\neg q$ . A che cosa devi arrivare alla fine?
1. a) $\neg p$
2. b) $p$ e $\neg q$ contemporaneamente
3. c) $q$
4. d)Una contraddizione qualsiasi
Risposta: $\neg p$
Una dimostrazione per contronominale dimostra $\neg q \to \neg p$ , quindi da $\neg q$ devi arrivare esattamente a $\neg p$ . Cercare una contraddizione qualsiasi, o supporre insieme $p$ e $\neg q$ , è la dimostrazione per assurdo.
5.
Per quale enunciato una dimostrazione per contronominale è chiaramente meglio di una diretta?
1. a)Se $n$ è pari, allora $n^2$ è pari
2. b)Se $a$ e $b$ sono pari, allora $a + b$ è pari
3. c)Se $5n + 1$ è pari, allora $n$ è dispari
4. d)Se $n$ è dispari, allora $n + 1$ è pari
Risposta: Se $5n + 1$ è pari, allora $n$ è dispari
Negli altri tre enunciati l'ipotesi è concreta ( $n = 2k$ , $a = 2m$ e $b = 2j$ , $n = 2k + 1$ ), quindi una dimostrazione diretta è rapida. " $5n + 1$ è pari" dice poco su $n$ , ma la contronominale è facile: se $n = 2k$ , allora $5n + 1 = 10k + 1 = 2(5k) + 1$ è dispari.
6.
Nella tavola di verità guarda la riga in cui $p$ è vera e $q$ è falsa. Qual è il valore di $\neg q \to \neg p$ in quella riga? Scrivi 1 per vero e 0 per falso.
Risposta: 0
Con $p$ vera e $q$ falsa: $\neg q$ è vera e $\neg p$ è falsa, quindi $\neg q \to \neg p$ è falsa (0). È proprio la riga in cui anche $p \to q$ è falsa: le due colonne coincidono.
7.
Dimostrazione per contronominale di "se $n^2$ è dispari, allora $n$ è dispari": supponi $n = 2k$ , quindi $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ . Per $k = 7$ , quanto vale $2k^2$ ?
Risposta: 98
$2k^2 = 2 \cdot 49 = 98$ . Verifica: $n = 14$ e $n^2 = 196 = 2 \cdot 98$ , che è pari, come dice la contronominale.
8.
Nella dimostrazione che un $n$ dispari dà un $n^2$ dispari scriviamo $n = 2k + 1$ e $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . Per $n = 9$ abbiamo $k = 4$ . Quanto vale $2k^2 + 2k$ ?
Risposta: 40
$2k^2 + 2k = 32 + 8 = 40$ . Verifica: $2 \cdot 40 + 1 = 81 = 9^2$ , un numero dispari.
9.
La contronominale di "se $x + y \geq 10$ , allora $x \geq 5$ o $y \geq 5$ " dice: se $x < 5$ e $y < 5$ , allora $x + y < 10$ . Per interi $x$ e $y$ con $x < 5$ e $y < 5$ , qual è il massimo valore possibile di $x + y$ ?
Risposta: 8
I valori più grandi sono $x = 4$ e $y = 4$ , quindi $x + y = 8$ , che è minore di 10, come prevede la contronominale.
10.
Per dimostrare "se $n^2 - 6n + 5$ è pari, allora $n$ è dispari" per contronominale, supponi $n = 2k$ . Allora $n^2 - 6n + 5 = 2(2k^2 - 6k + 2) + 1$ . Per $k = 3$ , quanto vale $2k^2 - 6k + 2$ ?
Risposta: 2
$2k^2 - 6k + 2 = 18 - 18 + 2 = 2$ . Verifica: $n = 6$ dà $36 - 36 + 5 = 5 = 2 \cdot 2 + 1$ , un numero dispari.
11.
Verifica la contronominale di "se $n^2$ è pari, allora $n$ è pari" con il numero dispari $n = 11$ .
Risposta: $121 = 2 \cdot 60 + 1$
1. Quanto vale $n^2$ ? 121
2. Scrivi $121 = 2m + 1$ . Quanto vale $m$ ? 60
3. Qual è il resto della divisione di $121$ per 2? 1
12.
Dimostra "se $3n + 2$ è dispari, allora $n$ è dispari" per contronominale e verificalo con $k = 4$ .
Risposta: 13
1. Supponi $n$ pari: $n = 2k$ . Per $k = 4$ , quanto vale $n$ ? 8
2. Quanto vale $3n + 2$ ? 26
3. In generale $3n + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1)$ . Quanto vale $3k + 1$ per $k = 4$ ? 13
13.
Contronominale di "se $xy$ è dispari, allora $x$ e $y$ sono dispari", caso " $x$ è pari". Segui la dimostrazione con $x = 6$ e $y = 7$ .
Risposta: 21
1. Scrivi $x = 2k$ . Quanto vale $k$ ? 3
2. Quanto vale $xy$ ? 42
3. La dimostrazione scrive $xy = 2(ky)$ . Quanto vale $ky$ ? 21
14.
Confronta le colonne $p \to q$ e $\neg q \to \neg p$ nella tavola di verità con 4 righe.
Risposta: 0
1. In quante delle 4 righe $p \to q$ è vera? 3
2. In quante righe $\neg q \to \neg p$ è vera? 3
3. In quante righe le due colonne hanno valori diversi? 0
15.
Dimostra per contronominale: per numeri reali $x$ , $y$ , $z$ , se $x + y + z \geq 30$ , allora $x \geq 10$ o $y \geq 10$ o $z \geq 10$ .
Risposta: $x + y + z < 30$
1. La tesi negata è " $x < 10$ e $y < 10$ e $z < 10$ ". Quante disuguaglianze supponi? 3
2. Somma le disuguaglianze: $x + y + z$ è minore di quale numero? 30
3. Può valere allora $x + y + z \geq 30$ ? Scrivi 1 per sì e 0 per no. 0
16.
Enunciato: se $n^2 - 6n + 5$ è pari, allora $n$ è dispari. Verifica la contronominale con $n = 2k$ e $k = 5$ .
Risposta: 22
1. Quanto vale $n$ ? 10
2. Quanto vale $n^2 - 6n + 5$ ? 45
3. Scrivi il risultato come $2m + 1$ . Quanto vale $m$ ? 22
17.
Dimostra per contronominale: se 7 numeri hanno una somma $S$ maggiore di 63, allora almeno uno di essi è maggiore di 9.
Risposta: $S \leq 63$
1. Tesi negata: ogni numero vale al massimo quale valore? 9
2. Qual è la somma massima possibile di 7 numeri così? 63
3. La somma può allora essere maggiore di 63? Scrivi 1 per sì e 0 per no. 0
18.
Dimostra "se $n^2$ non è divisibile per 3, allora $n$ non è divisibile per 3" per contronominale e verificalo con $k = 7$ .
Risposta: 147
1. Supponi $n$ divisibile per 3: $n = 3k$ . Per $k = 7$ , quanto vale $n$ ? 21
2. Quanto vale $n^2$ ? 441
3. In generale $n^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ . Quanto vale $3k^2$ per $k = 7$ ? 147