E se il cono è inclinato (un cono obliquo)?

La formula vale lo stesso, purché $h$ sia l'altezza perpendicolare dal vertice al piano della base. Un cono obliquo con la stessa base e la stessa altezza perpendicolare ha lo stesso volume di uno retto.

Quando devo lasciare il risultato in funzione di $\pi$?

Quando il problema chiede un risultato esatto o dice "in funzione di $\pi$", scrivilo come $48\pi$ cm³. Quando ti serve un numero per una situazione reale, moltiplica per $3{,}14$ (o usa il tasto $\pi$) e arrotonda come chiede il problema.

Come trovo l'altezza se conosco solo l'apotema?

Il raggio, l'altezza e l'apotema formano un triangolo rettangolo in cui l'apotema è l'ipotenusa. Quindi $h = \sqrt{l^2 - r^2}$. Per $r = 5$ e $l = 13$: $h = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

Risorse per insegnanti

Volume dei coni

Impara la formula del volume del cono V = (1/3)πr²h, perché un cono contiene un terzo di un cilindro e come usare l'altezza perpendicolare.

Intermedio25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Un cono è un solido con una base circolare piana che si restringe fino a un unico punto chiamato vertice. Pensa a un cono gelato, a un cappellino da festa o a un cono stradale.

La formula del volume

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Dove:

$r$ = raggio della base circolare
$h$ = altezza, la distanza perpendicolare dal vertice al centro della base
$\pi r^2$ = l'area di base

Perché un terzo?

Nella lezione sui cilindri hai imparato

V = \pi r^2 h

. Prendi un cilindro e un cono con la stessa base e la stessa altezza. Se riempi il cono d'acqua e la versi nel cilindro, servono esattamente 3 coni pieni per riempire il cilindro. Quindi il cono contiene un terzo del cilindro:

V_{\text{cono}} = \frac{1}{3} \times V_{\text{cilindro}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Attenzione: l'altezza

h

non è l'apotema

l

(la lunghezza lungo il lato inclinato). Il raggio, l'altezza e l'apotema formano un triangolo rettangolo, quindi

l^2 = r^2 + h^2

Prova subito

Quale formula dà il volume di un cono con raggio

r

e altezza

h

Esempi svolti

Un cono di cialda ha un raggio di 3 cm e un'altezza di 10 cm. Trova il suo volume in funzione di $\pi$ e poi con $\pi \approx 3{,}14$ , arrotondato ai decimi.

Scrivi la formula

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ → Formula pronta

Eleva il raggio al quadrato

$r^2 = 3^2 = 9$ → $r^2 = 9$

Moltiplica per l'altezza e dividi per 3

$\frac{1}{3} \times 9 \times 10 = \frac{90}{3} = 30$ → $V = 30\pi$ cm³

Usa $\pi \approx 3{,}14$

$30 \times 3{,}14 = 94{,}2$ → $V \approx 94{,}2$ cm³

Risposta: Il cono contiene esattamente $30\pi$ cm³, cioè circa $94{,}2$ cm³ di gelato (senza contare la pallina sopra!).

Errori comuni

Dimenticare $\frac{1}{3}$ e usare $V = \pi r^2 h$

Perché è sbagliato: Quella è la formula del cilindro. Un cono con la stessa base e la stessa altezza ne contiene solo un terzo, quindi il risultato viene 3 volte troppo grande.

Corretto: Scrivi sempre $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ e dividi per 3. Per $r = 3$ , $h = 10$ : $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 10 = 30\pi$ , non $90\pi$ .

Usare il diametro al posto del raggio

Perché è sbagliato: Il raggio è la metà del diametro. Elevando al quadrato il diametro, il risultato viene 4 volte troppo grande.

Corretto: Se il problema dà il diametro, dividilo prima per 2: un diametro di 8 cm significa $r = 4$ cm e $r^2 = 16$ , non $64$ .

Usare l'apotema come altezza

Perché è sbagliato: L'apotema segue il lato inclinato, quindi è sempre più lungo dell'altezza perpendicolare. Usarlo dà un volume troppo grande.

Corretto: L'altezza va dritta dal vertice al centro della base. Se conosci solo l'apotema $l$ , trova $h$ con $h^2 = l^2 - r^2$ .

Scrivere il risultato in unità quadrate, come cm²

Perché è sbagliato: Il volume è tridimensionale: $r \times r \times h$ moltiplica tre lunghezze.

Corretto: Il volume si esprime sempre in unità cubiche: cm³, m³, in³. Ricorda che $1$ cm³ $= 1$ mL.

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Seleziona forma

Rotazione X (20°)

Rotazione Y (30°)

Raggio (3)

Altezza (10)

Facce

Spigoli

Vertici

Volume

V = ⅓πr²h

V = ⅓π · 3² · 10 = 30π ≈ 94,25

94,25 cm³

Area di superficie

SA = πr² + πrl

SA = π · 3² + π · 3 · 10,44 ≈ 126,67

126,67 cm²

l = √(3² + 10²) ≈ 10,44

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Prova questi:

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Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Quale formula dà il volume di un cono con raggio $r$ e altezza $h$ ?

Perché è importante

I coni sono dappertutto, e conoscere il loro volume risponde a domande reali:

Cibo: quanto gelato sta in un cono? Quanti popcorn contiene un cono di carta?
Cucina e garage: quanto liquido resta in un imbuto prima di scendere?
Edilizia: quanti metri cubi di sabbia, ghiaia o sale antighiaccio ci sono in un mucchio a forma di cono?
Industria: i silos per il grano e le tramogge hanno spesso il fondo a forma di cono, quindi gli ingegneri usano il volume del cono per conoscerne la capacità.
Natura: i vulcani e i formicai hanno all'incirca la forma di un cono, perciò gli scienziati stimano il loro volume con questa formula.

La regola del terzo torna nella lezione sulle piramidi: imparandola qui, hai due formule al prezzo di una!

Applicazioni nel mondo reale

In gelateria

Le gelaterie scelgono la misura e il prezzo dei coni in base a quanto gelato ci sta dentro.

Esempio:

Un cono piccolo con raggio 2 cm e altezza 9 cm contiene $\frac{1}{3}\pi \times 4 \times 9 = 12\pi \approx 37{,}68$ cm³.

1Provaci tu stesso

Un cono di cialda grande ha un raggio di 3 cm e un'altezza di 12 cm. La gelateria lo riempie fino all'orlo.

Quanti centimetri cubi di gelato ci stanno dentro? Usa 3,14 per $\pi$ .

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $\frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 3^2 \times 12$ :

Bicchieri di carta al distributore d'acqua

Molti distributori d'acqua negli uffici usano bicchieri di carta a forma di cono. Costano poco da produrre e si impilano facilmente.

Esempio:

Un bicchiere conico di carta con raggio 3 cm e altezza 10 cm contiene $30\pi \approx 94{,}2$ cm³, cioè circa $94$ mL d'acqua.

2Provaci tu stesso

Un bicchiere di carta a forma di cono ha un raggio di 4 cm e un'altezza di 9 cm.

Quanti millilitri d'acqua contiene? Usa 3,14 per $\pi$ (1 cm³ = 1 mL).

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $\frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 4^2 \times 9$ :

Mucchi di sabbia e di sale antighiaccio

Quando sabbia, ghiaia o sale antighiaccio vengono versati dall'alto, formano un cono. Muratori e addetti alle strade usano la formula del cono per stimare quanto materiale c'è in un mucchio.

Esempio:

Un mucchio di sabbia con raggio 3 m e altezza 2 m contiene $6\pi \approx 18{,}84$ m³ di sabbia.

3Provaci tu stesso

Un mucchio di sale antighiaccio per l'inverno forma un cono con un diametro di 10 m e un'altezza di 3 m.

Quanti metri cubi di sale ci sono nel mucchio? Usa 3,14 per $\pi$ .

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dimezza il diametro, poi calcola $\frac{1}{3} \times 3{,}14 \times r^2 \times 3$ :

Punti chiave

1Il volume di un cono è $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ , cioè un terzo dell'area di base per l'altezza
2Un cono contiene esattamente un terzo di un cilindro con la stessa base e la stessa altezza
3Usa il raggio, non il diametro: dimezza il diametro prima di elevarlo al quadrato
4L'altezza $h$ è l'altezza perpendicolare, non l'apotema; se conosci l'apotema $l$ , usa $h^2 = l^2 - r^2$
5Dai risultati esatti in funzione di $\pi$ (come $30\pi$ cm³) oppure approssimati con $\pi \approx 3{,}14$ , arrotondati come chiede il problema
6Per trovare un'altezza mancante usa $h = \frac{3V}{\pi r^2}$ ; per un raggio mancante usa $r^2 = \frac{3V}{\pi h}$ e poi la radice quadrata

Domande frequenti

Un cono diventa sempre più stretto verso l'alto, quindi la maggior parte del suo volume sta vicino alla base. Puoi provarlo con acqua o riso: tre coni pieni riempiono un cilindro con la stessa base e la stessa altezza. Più avanti, con l'analisi, potrai dimostrare che il fattore è esattamente

\frac{1}{3}

. Le piramidi seguono la stessa regola del terzo.

Glossario

Cono: Un solido con una base circolare e una superficie curva che si chiude in un punto, il vertice
Vertice: La punta di un cono
Raggio: La distanza dal centro della base circolare al suo bordo, la metà del diametro
Altezza (altezza perpendicolare): La distanza in linea retta dal vertice al centro della base, perpendicolare alla base
Apotema: La distanza dal vertice al bordo della base lungo il lato inclinato; $l^2 = r^2 + h^2$
In funzione di $\pi$: Un risultato esatto che mantiene il simbolo $\pi$ , come $30\pi$ cm³, invece di un numero decimale arrotondato

Scheda formule

Volume dei coni

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Un terzo dell'area di base ($\pi r^2$) per l'altezza perpendicolare

Cono e cilindro

V_{\text{cono}} = \frac{1}{3} V_{\text{cilindro}}

Stessa base e stessa altezza: tre coni riempiono un cilindro

Altezza mancante

h = \frac{3V}{\pi r^2}

Moltiplica il volume per 3, poi dividi per l'area di base

Altezza dall'apotema

h = \sqrt{l^2 - r^2}

Teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo formato da $r$, $h$ e $l$

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