Volume dei coni

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale formula dà il volume di un cono con raggio $r$ e altezza $h$ ?
1. a) $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
2. b) $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
3. c) $V = 2\pi r h$
4. d) $V = \pi r^2 h$
Risposta: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
La formula del cono è $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ . $\pi r^2 h$ è il cilindro, $\frac{4}{3}\pi r^3$ la sfera e $2\pi r h$ la superficie laterale di un cilindro, non un volume.
2.
Un cilindro ha un volume di 90 cm³. Un cono ha la stessa base e la stessa altezza. Qual è il volume del cono in cm³?
Risposta: 30
Il cono contiene un terzo del cilindro: $90 \div 3 = 30$ cm³.
3.
Un cono ha raggio 3 cm e altezza 5 cm. Il suo volume è $\square\,\pi$ cm³. Quale numero va nella casella?
Risposta: 15
$V = \frac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 5 = \frac{45}{3}\pi = 15\pi$ cm³.
4.
Un cono stradale ha una base con un diametro di 10 cm. Quale valore metti al posto di $r$ nella formula del volume?
1. a)20 cm
2. b)2,5 cm
3. c)5 cm
4. d)10 cm
Risposta: 5 cm
$r = 10 \div 2 = 5$ cm. Con 10 cm, $r^2$ sarebbe 4 volte troppo grande.
5.
Calcola il volume di un cono con raggio 2 cm e altezza 6 cm. Usa $\pi \approx 3{,}14$ e dai il risultato in cm³ (non serve arrotondare).
Risposta: 25.12
1. Quanto vale $r^2$ ? 4
2. Quanto vale $r^2 \times h$ ? 24
3. Dividi per 3. Che cosa ottieni? 8
4. Moltiplica per 3,14. Qual è il volume in cm³? 25.12
6.
Un cappellino da festa è un cono con raggio 3 cm e altezza 4 cm. Il suo volume è $\square\,\pi$ cm³. Trova il numero nella casella.
Risposta: 12
1. Quanto vale $r^2$ ? 9
2. Quanto vale $r^2 \times h$ ? 36
3. Dividi per 3. Quale numero va davanti a $\pi$ ? 12
7.
Un cono ha un raggio di 6 cm e un apotema di 10 cm. Qual è la sua altezza perpendicolare?
1. a)8 cm
2. b)4 cm
3. c)10 cm
4. d)16 cm
Risposta: 8 cm
$h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ , quindi $h = 8$ cm. L'apotema (10 cm) è l'ipotenusa, quindi l'altezza deve essere più corta.
8.
Un mucchio di ghiaia è un cono con un diametro di 4 m e un'altezza di 3 m. Quanti m³ di ghiaia ci sono nel mucchio? Usa $\pi \approx 3{,}14$ e arrotonda ai centesimi.
Risposta: 12.56
$r = 2$ m. $V = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 2^2 \times 3 = 3{,}14 \times 4 = 12{,}56$ m³.
9.
Un cono gelato ha un diametro di 6 cm e un'altezza di 11 cm. Calcola il suo volume con $\pi \approx 3{,}14$ , arrotondato ai decimi di cm³.
Risposta: 103.6
1. Quanto misura il raggio in cm? 3
2. Quanto vale $r^2 \times h$ ? 99
3. Dividi per 3. Che cosa ottieni? 33
4. Moltiplica per 3,14 (non arrotondare ancora). 103.62
5. Arrotonda ai decimi. 103.6
10.
Raddoppi l'altezza di un cono e lasci uguale il raggio. Che cosa succede al suo volume?
1. a)Triplica
2. b)Resta uguale
3. c)Raddoppia
4. d)Diventa 4 volte più grande
Risposta: Raddoppia
Il volume è proporzionale ad $h$ , quindi raddoppiando $h$ raddoppia $V$ . Esempio: $r = 3$ , $h = 4$ dà $12\pi$ ; $h = 8$ dà $24\pi$ .
11.
Un cono ha un volume di $12\pi$ cm³ e un raggio di 3 cm. Qual è la sua altezza in cm?
Risposta: 4
$3\pi h = 12\pi$ , quindi $h = 12 \div 3 = 4$ cm. Verifica: $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 4 = 12\pi$ .
12.
Un imbuto da cucina è un cono con raggio 5 cm e altezza 9 cm. Quanti cm³ contiene quando è pieno? Usa $\pi \approx 3{,}14$ (non serve arrotondare).
Risposta: 235.5
1. Quanto vale $r^2$ ? 25
2. Quanto vale $r^2 \times h$ ? 225
3. Dividi per 3. Che cosa ottieni? 75
4. Moltiplica per 3,14. Quanti cm³? 235.5
13.
Un cilindro e un cono hanno entrambi raggio 4 cm e altezza 6 cm. Il cilindro contiene $\square\,\pi$ cm³ in più del cono. Trova il numero nella casella.
Risposta: 64
1. Il cilindro ha $\square\,\pi$ cm³. Quale numero? 96
2. Il cono ha $\square\,\pi$ cm³. Quale numero? 32
3. Sottrai. Quale numero va davanti a $\pi$ ? 64
14.
Raddoppi il raggio di un cono e lasci uguale l'altezza. Come si confronta il nuovo volume con quello di prima?
1. a)8 volte più grande
2. b)4 volte più grande
3. c)2 volte più grande
4. d)3 volte più grande
Risposta: 4 volte più grande
$(2r)^2 = 4r^2$ , quindi il volume diventa 4 volte più grande. Esempio: $r = 3$ , $h = 4$ dà $12\pi$ ; $r = 6$ , $h = 4$ dà $48\pi$ .
15.
Un cono ha raggio 5 cm e apotema 13 cm. Il suo volume è $\square\,\pi$ cm³. Quale numero va nella casella?
Risposta: 100
$h^2 = 169 - 25 = 144$ , quindi $h = 12$ . $V = \frac{1}{3}\pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ cm³.
16.
Un cono ha un volume di 301,44 cm³ e un'altezza di 8 cm. Trova il suo raggio in cm. Usa $\pi \approx 3{,}14$ .
Risposta: 6
1. Quanto vale $3 \times V$ ? 904.32
2. Quanto vale $\pi \times h$ con $\pi \approx 3{,}14$ ? 25.12
3. Dividi per ottenere $r^2$ . 36
4. Quanto vale $r$ ? 6
17.
Una tenda a forma di cono ha un raggio di 9 dm e un apotema di 15 dm. Calcola il suo volume in dm³. Usa $\pi \approx 3{,}14$ (non serve arrotondare).
Risposta: 1017.36
1. Quanto vale $h^2 = l^2 - r^2$ ? 144
2. Quanto misura l'altezza $h$ in dm? 12
3. Quanto vale $\frac{1}{3} \times r^2 \times h$ ? 324
4. Moltiplica per 3,14. Qual è il volume in dm³? 1017.36
18.
Dei bicchieri di carta a forma di cono hanno raggio 3 cm e altezza 10 cm. Quanti bicchieri pieni servono per riempire del tutto una caraffa da 1 litro (1000 cm³)? Usa $\pi \approx 3{,}14$ .
Risposta: 11
1. Quanto vale $\frac{1}{3} \times r^2 \times h$ ? 30
2. Qual è il volume di un bicchiere in cm³? 94.2
3. $1000 \div 94{,}2 \approx 10{,}6$ . Quanti bicchieri pieni ti servono? 11