Volume delle sfere

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale formula dà il volume di una sfera di raggio $r$ ?
1. a) $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
2. b) $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
3. c) $V = \pi r^2 h$
4. d) $V = 4\pi r^2$
Risposta: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
Il volume della sfera è $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ . $4\pi r^2$ ha solo $r^2$ (non è un volume), $\pi r^2 h$ è il cilindro e $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ il cono.
2.
Una sfera ha raggio $3$ cm. Il suo volume è $V = \square\,\pi$ cm³. Quale numero va nel riquadro?
Risposta: 36
$r^3 = 27$ e $\frac{4}{3} \times 27 = 36$ , quindi $V = 36\pi$ cm³.
3.
Un pallone ha un diametro di $10$ cm. Quale valore di $r$ metti in $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ ?
1. a) $2{,}5$ cm
2. b) $5$ cm
3. c) $20$ cm
4. d) $10$ cm
Risposta: $5$ cm
$r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ cm. Con $10$ il volume sarebbe $8$ volte troppo grande.
4.
Calcola il volume di una sfera di raggio $6$ m. Lascia il risultato in funzione di $\pi$ .
Risposta: $288\pi$ m³
1. Quanto fa $r^3 = 6^3$ ? 216
2. Quanto fa $\frac{4}{3} \times 216$ ? 288
5.
Una sfera ha un volume di $500$ cm³. Viene tagliata esattamente a metà passando per il centro. Qual è il volume di una semisfera, in cm³?
Risposta: 250
La semisfera ha lo stesso raggio, ma metà del volume: $500 \div 2 = 250$ cm³.
6.
Una palla ha un diametro di $6$ cm. Calcola il suo volume con $\pi \approx 3{,}14$ . Arrotonda ai centesimi.
Risposta: 113.04
1. Qual è il raggio in cm? 3
2. $V = \square\,\pi$ : quanto fa $\frac{4}{3} \times r^3$ ? 36
3. Qual è il volume in cm³ con $\pi \approx 3{,}14$ ? 113.04
7.
Il raggio di una sfera viene raddoppiato. Che cosa succede al suo volume?
1. a)Raddoppia
2. b)Diventa 8 volte più grande
3. c)Diventa 4 volte più grande
4. d)Diventa 6 volte più grande
Risposta: Diventa 8 volte più grande
$(2r)^3 = 8r^3$ , quindi il volume viene moltiplicato per $2^3 = 8$ . Esempio: $r = 1$ dà $\frac{4}{3}\pi$ , $r = 2$ dà $\frac{32}{3}\pi$ .
8.
Una biglia ha raggio $1{,}5$ cm. Il suo volume è $V = \square\,\pi$ cm³. Quale numero va nel riquadro? (Scrivilo come numero decimale.)
Risposta: 4.5
$r^3 = 3{,}375$ e $\frac{4}{3} \times 3{,}375 = 4{,}5$ , quindi $V = 4{,}5\pi$ cm³ (circa $14{,}13$ cm³ con $3{,}14$ ).
9.
Un'insalatiera è una semisfera con raggio interno di $9$ cm. Quanto può contenere? Usa $\pi \approx 3{,}14$ e arrotonda ai centesimi.
Risposta: 1526.04
1. Quanto fa $r^3 = 9^3$ ? 729
2. Semisfera: $V = \square\,\pi$ . Quanto fa $\frac{2}{3} \times 729$ ? 486
3. Qual è il volume in cm³ con $\pi \approx 3{,}14$ ? 1526.04
10.
Una sfera ha un volume di $288\pi$ cm³. Qual è il suo raggio in cm?
Risposta: 6
$\frac{4}{3} r^3 = 288$ , quindi $r^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 216$ e $r = \sqrt[3]{216} = 6$ cm.
11.
Una sfera entra esattamente in un cilindro (stesso raggio, e l'altezza del cilindro è uguale al diametro della sfera). Quale frazione del volume del cilindro occupa la sfera?
1. a) $\frac{1}{3}$
2. b) $\frac{2}{3}$
3. c) $\frac{3}{4}$
4. d) $\frac{1}{2}$
Risposta: $\frac{2}{3}$
Cilindro: $\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ . Sfera: $\frac{4}{3}\pi r^3$ . Rapporto: $\frac{4}{3} \div 2 = \frac{2}{3}$ . È il famoso risultato di Archimede.
12.
Un pallone da basket ha un diametro di $24$ cm. Calcola il suo volume con $\pi \approx 3{,}14$ . Arrotonda al cm³ intero.
Risposta: 7235
1. Qual è il raggio in cm? 12
2. Quanto fa $12^3$ ? 1728
3. $V = \square\,\pi$ : quanto fa $\frac{4}{3} \times 1728$ ? 2304
4. Qual è il volume in cm³, arrotondato all'intero? 7235
13.
Un serbatoio d'acqua rotondo è una sfera con un diametro di $2$ m. Calcola il suo volume con $\pi \approx 3{,}14$ . Arrotonda ai centesimi di m³.
Risposta: 4.19
1. Qual è il raggio in m? 1
2. Quanto fa $r^3$ ? 1
3. Quanto fa $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 1$ , arrotondato ai centesimi? 4.19
14.
Una sfera ha un volume di $972\pi$ cm³. Trova il suo raggio.
Risposta: $r = 9$ cm
1. Dividi entrambi i membri di $\frac{4}{3}\pi r^3 = 972\pi$ per $\pi$ : $\frac{4}{3} r^3 = \square$ 972
2. Moltiplica per $\frac{3}{4}$ : quanto fa $r^3$ ? 729
3. Calcola la radice cubica: quanto vale $r$ in cm? 9
15.
Una palla di raggio $6$ cm è imballata in una scatola cilindrica di raggio $6$ cm e altezza $12$ cm. Quanto spazio resta vuoto nella scatola? Lascia il risultato in funzione di $\pi$ .
Risposta: $144\pi$ cm³
1. Cilindro: $V = \pi r^2 h = \square\,\pi$ . Quanto fa $6^2 \times 12$ ? 432
2. Palla: $V = \square\,\pi$ . Quanto fa $\frac{4}{3} \times 6^3$ ? 288
3. Spazio vuoto $= \square\,\pi$ cm³. Quanto fa $432 - 288$ ? 144
16.
Che cosa contiene di più: una sfera di raggio $3$ cm o un cubo con spigolo di $5$ cm? (Usa $\pi \approx 3{,}14$ .)
1. a)La sfera
2. b)Non si può stabilire
3. c)Contengono la stessa quantità
4. d)Il cubo
Risposta: Il cubo
Sfera: $36\pi \approx 113{,}04$ cm³. Cubo: $5^3 = 125$ cm³. Il cubo contiene di più, anche se la sfera è larga $6$ cm.
17.
Otto palline di cioccolato, ognuna di raggio $1$ cm, vengono fuse per formare una sola palla grande. Qual è il raggio della palla grande?
Risposta: $R = 2$ cm
1. Una pallina: $V = \frac{4}{3}\pi \times \square$ . Quanto fa $1^3$ ? 1
2. Per la palla grande vale $\frac{4}{3}\pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi$ . Quanto fa $R^3$ ? 8
3. Quanto vale $R$ in cm? 2
18.
Una cupola a forma di semisfera ha un volume di $144\pi$ m³. Qual è il suo raggio in m?
Risposta: 6
$\frac{2}{3} r^3 = 144$ , quindi $r^3 = 144 \times \frac{3}{2} = 216$ e $r = \sqrt[3]{216} = 6$ m.