Circonferenze in forma canonica

Impara a scrivere e interpretare l'equazione di una circonferenza in forma canonica.

Avanzato25 minLezione
Scheda da stampare

Definizione

La forma canonica dell'equazione di una circonferenza è:
(x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Dove:
  • (h,k)(h, k) è il centro della circonferenza
  • rr è il raggio (sempre positivo)
Concetto chiave: Ogni punto (x,y)(x, y) sulla circonferenza dista esattamente rr unità dal centro.
Caso speciale: Quando il centro è nell'origine (0,0)(0, 0):
x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2

Prova subito

Qual è il centro della circonferenza (x−4)2+(y−7)2=16(x - 4)^2 + (y - 7)^2 = 16?

Esempi svolti

Trova il centro e il raggio della circonferenza: (x−3)2+(y+2)2=25(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
1

Confrontare con la forma canonica

Forma canonica: (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 → Far corrispondere il modello
2

Identificare h (coordinata x del centro)

(x−3)2(x - 3)^2 significa h=3h = 3
3

Identificare k (coordinata y del centro)

(y+2)2=(y−(−2))2(y + 2)^2 = (y - (-2))^2 significa k=−2k = -2
4

Trovare il raggio

r2=25r^2 = 25, quindi r=25=5r = \sqrt{25} = 5 → r=5r = 5

Errori comuni

Confondere i segni in (y+2)2(y + 2)^2

Perché è sbagliato: La forma canonica usa la sottrazione: (y−k)2(y - k)^2. Se vedi (y+2)2(y + 2)^2, questo equivale a (y−(−2))2(y - (-2))^2, quindi k=−2k = -2, non +2+2.

Corretto: Riscrivi sempre come sottrazione: (y+2)2=(y−(−2))2(y + 2)^2 = (y - (-2))^2, quindi k=−2k = -2.

Usare r2r^2 come raggio invece di rr

Perché è sbagliato: L'equazione fornisce r2r^2, non rr. Devi estrarre la radice quadrata.

Corretto: Se l'equazione mostra =49= 49, allora r2=49r^2 = 49 e r=7r = 7 (non 49).

Dimenticare di elevare al quadrato il raggio quando si scrivono le equazioni

Perché è sbagliato: Quando viene dato il raggio r=4r = 4, gli studenti scrivono =4= 4 invece di =16= 16.

Corretto: Eleva sempre al quadrato il raggio: se r=4r = 4, scrivi r2=16r^2 = 16 nell'equazione.

Visuale interattivo

Grafico della funzione

-10-50510-10-50510xyC(3; -2)
  • r² = 25
(x − h)² + (y − k)² = r²
  • Centro: (3; -2)

Grafico della funzione

-4-202468-505xyC(2; -1)(5; 3)
(x − 2)² + (y + 1)² = 25
  • Centro: (2; -1)
  • Lunghezza di (2; -1) – (5; 3): d = 5

Sandbox interattivo

Graficatore interattivo

-10-50510-10-50510xy

Tocca il grafico o passaci sopra con il mouse per leggere i valori.

Prova questi esempi:

y = -2 + sqrt(25 - (x - 3)^2)

y = -2 - sqrt(25 - (x - 3)^2)

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

15 esercizi
Problema 1 di 15
Facile
Qual è il centro della circonferenza (x−4)2+(y−7)2=16(x - 4)^2 + (y - 7)^2 = 16?

Perché è importante

Le equazioni delle circonferenze compaiono in tutta la matematica e nelle applicazioni reali:
  • GPS e Navigazione: Le torri cellulari usano circonferenze per triangolare la tua posizione
  • Ingegneria: Progettazione di ingranaggi, ruote e componenti circolari
  • Astronomia: Modellazione delle orbite planetarie (semplificate come circonferenze)
  • Architettura: Pianificazione di edifici circolari, cupole e arene
  • Fisica: Descrizione del moto circolare e della propagazione delle onde
Capire la forma canonica ti permette di identificare rapidamente le proprietà chiave di una circonferenza dalla sua equazione.

Applicazioni nel mondo reale

Triangolazione GPS

Le torri cellulari e i satelliti GPS usano circonferenze per localizzare la tua posizione. Ogni torre conosce la sua distanza dal tuo telefono, creando una circonferenza di posizioni possibili.

Esempio:

Una torre cellulare nella posizione (2,3)(2, 3) km rileva il tuo telefono a 55 km di distanza. Le tue possibili posizioni formano la circonferenza (x−2)2+(y−3)2=25(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25.

1Provaci tu stesso

Un faro di soccorso viene rilevato a 10 km da una stazione alle coordinate (0,0)(0, 0).

Quale equazione descrive tutte le possibili posizioni del faro?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Centro nell'origine, raggio 10:

Piste da corsa circolari

Gli architetti progettano piste circolari usando equazioni di circonferenze per garantire le dimensioni corrette.

Esempio:

Una pista di atletica ha un bordo interno con centro nell'origine e raggio 3030 metri: x2+y2=900x^2 + y^2 = 900. Il bordo esterno ha raggio 3535 metri: x2+y2=1225x^2 + y^2 = 1225.

2Provaci tu stesso

Una fontana circolare è progettata con centro a (5,5)(5, 5) metri da un angolo e raggio 33 metri.

Scrivi l'equazione del bordo della fontana.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Equazione in forma canonica:

Punti chiave

  • 1Forma canonica di una circonferenza: (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
  • 2(h,k)(h, k) è il centro, rr è il raggio
  • 3Attenzione ai segni: (y+2)2(y + 2)^2 significa k=−2k = -2
  • 4Il membro destro è r2r^2, non rr - estrai la radice quadrata per trovare il raggio
  • 5Circonferenza centrata nell'origine: x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2

Domande frequenti

La forma canonica usa la sottrazione perché è basata sulla formula della distanza. L'espressione (x−h)2+(y−k)2(x - h)^2 + (y - k)^2 calcola il quadrato della distanza da qualsiasi punto (x,y)(x, y) al centro (h,k)(h, k).
La forma canonica usa la sottrazione perché è basata sulla formula della distanza. L'espressione (x−h)2+(y−k)2(x - h)^2 + (y - k)^2 calcola il quadrato della distanza da qualsiasi punto (x,y)(x, y) al centro (h,k)(h, k).
No. Il raggio è sempre positivo perché rappresenta una distanza. Se r2=25r^2 = 25, allora r=5r = 5 (prendiamo la radice quadrata positiva).
Alcune equazioni devono essere riscritte. Per esempio, x2+y2−6x+4y=12x^2 + y^2 - 6x + 4y = 12 può essere convertita in forma canonica completando il quadrato. Questo è trattato nella lezione 'Conversione in forma canonica'.

Glossario

Forma canonica
L'equazione (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 dove (h,k)(h, k) è il centro e rr è il raggio
Centro
Il punto fisso (h,k)(h, k) equidistante da tutti i punti della circonferenza
Raggio
La distanza costante rr dal centro a qualsiasi punto della circonferenza
Sezione conica
Una curva formata dall'intersezione di un piano con un cono - circonferenze, ellissi, parabole e iperboli
Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

Altro su questo argomento

Introduzione alle sezioni coniche

Avanzato25 min

Introduzione alle ellissi

Avanzato25 min

Parabole in forma del vertice

Avanzato25 min

Ellissi in forma standard

Avanzato25 min