Crescita e decrescita continue: scheda di esercizi con soluzioni (gratis, stampabile)

1.

Una sostanza decade in modo continuo con un tasso del 4% all'anno. Quale formula descrive la quantità

A

dopo

t

anni, partendo da

P

?

a) $A = Pe^{-0{,}04t}$
b) $A = P(1{,}04)^t$
c) $A = Pe^{0{,}04t}$
d) $A = Pe^{-4t}$

Risposta: $A = Pe^{-0{,}04t}$

La decrescita continua usa $A = Pe^{-kt}$ con $k = 0{,}04$ , quindi $A = Pe^{-0{,}04t}$ . $Pe^{0{,}04t}$ sarebbe una crescita, $P(1{,}04)^t$ è una crescita annuale e $Pe^{-4t}$ usa la percentuale invece del decimale.

2.

Nel modello

A = 250e^{0{,}07t}

, qual è il valore iniziale?

a) $0{,}07$
b) $e$
c) $250$
d) $267{,}5$

Risposta: $250$

Per $t = 0$ : $A = 250e^{0} = 250 \times 1 = 250$ . Il numero davanti a $e$ è il valore iniziale; $0{,}07$ è il tasso di crescita continuo.

3.

Usa

A = Pe^{rt}

con

P = 1000

,

r = 0{,}04

e

t = 5

. Usa

e^{0{,}2} \approx 1{,}2214

. Quanto vale

A

? Arrotonda a una cifra decimale.

Risposta: 1221.4

$rt = 0{,}04 \times 5 = 0{,}2$ , quindi $A = 1000e^{0{,}2} \approx 1000 \times 1{,}2214 = 1221{,}4$ .

4.

Una popolazione segue

N = 300e^{0{,}12t}

, con

t

in anni. Qual è il tasso di crescita continuo in percentuale? Scrivi solo il numero, senza il segno %.

Risposta: 12

In $Pe^{rt}$ il tasso è $r = 0{,}12$ . In percentuale: $0{,}12 \times 100 = 12\%$ . L'esponente è positivo, quindi la popolazione cresce.

5.

Investi 1500 € al 3% con capitalizzazione continua per 10 anni. Usa

e^{0{,}3} \approx 1{,}3499

. Quanto hai alla fine? Arrotonda all'euro.

Risposta: 2025

Scrivi il tasso del 3% come decimale. 0.03
Qual è l'esponente $rt$ ? 0.3
Quanto vale $A = 1500 \times 1{,}3499$ , arrotondato all'unità? 2025

6.

Una coltura di 400 batteri cresce in modo continuo del 25% all'ora. Quanti batteri ci sono dopo 4 ore? Usa

e \approx 2{,}71828

e arrotonda all'unità.

Risposta: 1087

Qual è l'esponente $0{,}25 \times 4$ ? 1
Quanto vale $400 \times e^{1}$ , arrotondato all'unità? 1087

7.

Che cosa descrive il modello

N = 50e^{-0{,}3t}

?

a)Crescita continua dello 0,3%
b)Decrescita continua del 30%
c)Decrescita continua del 3%
d)Crescita continua del 30%

Risposta: Decrescita continua del 30%

L'esponente $-0{,}3t$ è negativo, quindi il modello descrive una decrescita. Il tasso è $0{,}3 = 30\%$ per unità di tempo, partendo da 50.

8.

Due conti partono dallo stesso importo, con lo stesso tasso e la stessa durata. Uno capitalizza annualmente, l'altro in modo continuo. Quale finisce con più denaro?

a)Quello annuale
b)Quello continuo
c)Finiscono con lo stesso importo
d)Dipende dall'importo iniziale

Risposta: Quello continuo

Per ogni tasso positivo $e^{r} > 1 + r$ , quindi la capitalizzazione continua finisce sempre con un po' di più. Esempio: il 5% dà un fattore $1{,}05$ all'anno in annuale, ma $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ in continua, qualunque sia l'importo iniziale.

9.

200 grammi di una sostanza radioattiva decadono in modo continuo con un tasso del 5% all'anno. Usa

e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065

. Quanti grammi restano dopo 10 anni? Arrotonda a una cifra decimale.

Risposta: 121.3

L'esponente è $-0{,}05 \times 10 = -0{,}5$ , quindi $A = 200e^{-0{,}5} \approx 200 \times 0{,}6065 = 121{,}3$ grammi.

10.

Quanto devi versare ora, al 5% con capitalizzazione continua, per avere 10000 € tra 10 anni? Usa

e^{0{,}5} \approx 1{,}6487

e arrotonda all'euro.

Risposta: 6065

$rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ . Da $10000 = Pe^{0{,}5}$ si ottiene $P = \frac{10000}{1{,}6487} \approx 6065{,}38 \approx 6065$ €.

11.

Un paziente riceve 60 mg di un farmaco. Il corpo lo elimina in modo continuo con un tasso del 20% all'ora. Usa

e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488

. Quanti mg sono stati eliminati dopo 3 ore? Arrotonda a una cifra decimale.

Risposta: 27.1

Qual è l'esponente $-0{,}2 \times 3$ ? -0.6
Quanti mg restano? ( $60 \times 0{,}5488$ , una cifra decimale) 32.9
Quanti mg sono stati eliminati? (una cifra decimale) 27.1

12.

Investi 3000 € al 4% per 5 anni. Usa

1{,}04^{5} \approx 1{,}2167

ed

e^{0{,}2} \approx 1{,}2214

. Confronta la capitalizzazione annuale e quella continua. Arrotonda ogni importo all'euro.

Risposta: 14

Capitalizzazione annuale: $3000 \times 1{,}2167$ , arrotondato all'euro? 3650
Capitalizzazione continua: $3000 \times 1{,}2214$ , arrotondato all'euro? 3664
Quanti euro in più dà la capitalizzazione continua? 14

13.

Quanto devi versare oggi, al 4% con capitalizzazione continua, per avere 6000 € tra 5 anni? Usa la calcolatrice (

e \approx 2{,}71828

) e arrotonda il risultato finale all'euro.

Risposta: 4912

Qual è l'esponente $rt$ ? 0.2
Quanto vale $e^{0{,}2}$ , arrotondato a 4 cifre decimali? 1.2214
Quanto vale $P = \frac{6000}{e^{0{,}2}}$ , arrotondato all'euro? 4912

14.

Offerta A: 6% con capitalizzazione annuale. Offerta B: 5,85% con capitalizzazione continua. Usa

e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602

. Quale offerta dà più denaro dopo un anno?

a)Non si può decidere senza il versamento
b)Entrambe danno lo stesso
c)L'offerta B
d)L'offerta A

Risposta: L'offerta B

A moltiplica il denaro per $1{,}06$ , B per $e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602$ . Poiché $1{,}0602 > 1{,}06$ , l'offerta B è un po' migliore (circa il 6,02% all'anno), per qualsiasi versamento. Un tasso continuo più basso può battere un tasso annuale più alto.

15.

5000 € vengono investiti all'8% per 10 anni. Usa

1{,}08^{10} \approx 2{,}158925

ed

e^{0{,}8} \approx 2{,}225541

. Quanti euro in più dà la capitalizzazione continua rispetto a quella annuale? Arrotonda all'euro.

Risposta: 333

Continua: $5000 \times 2{,}225541 \approx 11127{,}71$ . Annuale: $5000 \times 2{,}158925 \approx 10794{,}63$ . Differenza: $11127{,}71 - 10794{,}63 = 333{,}08 \approx 333$ €.

16.

Vuoi investire 2000 € per 10 anni. La banca A paga il 5% con capitalizzazione annuale, la banca B il 4,9% con capitalizzazione continua. Usa

1{,}05^{10} \approx 1{,}6289

ed

e^{0{,}49} \approx 1{,}6323

. Arrotonda ogni importo all'euro. Quanti euro in più dà la banca migliore?

Risposta: 7

Banca A: $2000 \times 1{,}6289$ , arrotondato all'euro? 3258
Banca B: $2000 \times 1{,}6323$ , arrotondato all'euro? 3265
La banca B è migliore. Di quanti euro? 7

17.

Un campione di 500 grammi di una sostanza radioattiva decade in modo continuo del 2% all'anno. Usa

e^{-1} \approx 0{,}3679

. Quanti grammi restano dopo 50 anni? Arrotonda al grammo.

Risposta: 184

Qual è l'esponente $-0{,}02 \times 50$ ? -1
Che percentuale del campione resta? Arrotonda a una cifra decimale e scrivi senza il segno %. 36.8
Quanti grammi restano, arrotondati al grammo? 184

18.

Una coltura parte da 1000 batteri e cresce in modo continuo del 30% all'ora. Usa

e^{0{,}6} \approx 1{,}8221

ed

e^{1{,}2} \approx 3{,}3201

. Di quale fattore cresce la coltura dall'ora 2 all'ora 4? Trova prima il numero di batteri dopo 2 ore e dopo 4 ore (all'unità), poi dai il fattore con due cifre decimali.

Risposta: 1.82

Quanti batteri dopo 2 ore? ( $1000e^{0{,}6}$ ) 1822
Quanti batteri dopo 4 ore? ( $1000e^{1{,}2}$ ) 3320
Di quale fattore cresce la coltura dall'ora 2 all'ora 4? (due cifre decimali) 1.82