Decrescita esponenziale

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale funzione rappresenta una decrescita esponenziale?
1. a) $y = 40 \cdot 0{,}75^t$
2. b) $y = 40 \cdot 1{,}2^t$
3. c) $y = 40 \cdot 3^t$
4. d) $y = 40 + 0{,}75t$
Risposta: $y = 40 \cdot 0{,}75^t$
In $y = 40 \cdot 0{,}75^t$ la base è $0{,}75$ , e $0 < 0{,}75 < 1$ , quindi è una decrescita (il $25\%$ per periodo). $1{,}2$ e $3$ sono basi di crescita, e $40 + 0{,}75t$ è lineare, non esponenziale.
2.
Una grandezza diminuisce del $15\%$ ogni anno. Qual è il fattore di decadimento $b$ ? Scrivilo come numero decimale.
Risposta: 0.85
$b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ . Ogni anno si conserva l' $85\%$ della grandezza.
3.
Di quale percentuale diminuisce $f(t) = 500 \cdot 0{,}6^t$ a ogni periodo?
1. a)6%
2. b)60%
3. c)0,4%
4. d)40%
Risposta: 40%
$r = 1 - 0{,}6 = 0{,}4 = 40\%$ . La funzione conserva il $60\%$ e perde il $40\%$ a ogni periodo.
4.
La funzione 1 è $y = 150 \cdot 1{,}04^t$ e la funzione 2 è $y = 150 \cdot 0{,}96^t$ . Quale rappresenta una decrescita?
Risposta: 2
1. Qual è la base della funzione 1? 1.04
2. Qual è la base della funzione 2? 0.96
3. Di quale percentuale diminuisce la funzione 2 a ogni periodo? Scrivi solo il numero. 4
4. Quale funzione rappresenta una decrescita? Scrivi 1 o 2. 2
5.
Un modello esponenziale ha fattore di decadimento $0{,}93$ . Qual è il tasso di decrescita in percentuale? Scrivi solo il numero (per esempio 5 per il $5\%$ ).
Risposta: 7
$r = 1 - 0{,}93 = 0{,}07 = 7\%$ . La grandezza perde il $7\%$ per periodo.
6.
Un portatile costa 1000 € e perde il $20\%$ del suo valore ogni anno. Quanto vale dopo 2 anni (in €)?
Risposta: 640
1. Qual è il fattore di decadimento? 0.8
2. Calcola $0{,}8^2$ 0.64
3. Moltiplica: $1000 \cdot 0{,}64$ 640
7.
Un telefono costa 600 € e perde il $20\%$ del suo valore ogni anno. Quale espressione dà il suo valore dopo $t$ anni?
1. a) $600 \cdot 1{,}2^t$
2. b) $600 \cdot 0{,}8^t$
3. c) $600 - 0{,}2t$
4. d) $600 \cdot 0{,}2^t$
Risposta: $600 \cdot 0{,}8^t$
Perdere il $20\%$ significa conservare l' $80\%$ , quindi il valore è $600 \cdot 0{,}8^t$ . $0{,}2^t$ conserverebbe solo il $20\%$ , $1{,}2^t$ è una crescita e $600 - 0{,}2t$ è lineare.
8.
Analizza il modello $f(t) = 2000 \cdot 0{,}7^t$ e calcola $f(2)$ .
Risposta: 980
1. Qual è il valore iniziale? 2000
2. Qual è il fattore di decadimento? 0.7
3. Qual è il tasso di decrescita in percentuale? Scrivi solo il numero. 30
4. Calcola $f(2)$ 980
9.
Una grandezza perde il $20\%$ a ogni periodo. Che percentuale della quantità iniziale rimane dopo 4 periodi? Scrivi solo il numero, con due cifre decimali.
Risposta: 40.96
$0{,}8^4 = 0{,}4096$ , quindi rimane il $40{,}96\%$ della quantità iniziale, qualunque essa sia.
10.
Un'auto viene comprata a 20000 € e perde il $10\%$ del suo valore ogni anno. Quanto vale dopo 3 anni (in €)?
Risposta: 14580
1. Qual è il fattore di decadimento? 0.9
2. Calcola $0{,}9^3$ 0.729
3. Moltiplica: $20000 \cdot 0{,}729$ 14580
11.
Quale affermazione su $y = 80 \cdot 0{,}75^t$ NON è vera?
1. a)Il valore iniziale è 80
2. b)Arriva a 0 dopo 4 periodi
3. c)Dopo un periodo, y = 60
4. d)Diminuisce del 25% a ogni periodo
Risposta: Arriva a 0 dopo 4 periodi
Il valore iniziale è $80$ , il tasso è $1 - 0{,}75 = 25\%$ , e $80 \cdot 0{,}75 = 60$ . Ma $80 \cdot 0{,}75^4 \approx 25{,}31$ , non $0$ : una decrescita esponenziale non arriva mai a zero.
12.
Una paziente prende 500 mg di un farmaco. Il corpo elimina ogni ora il $10\%$ della quantità rimasta. Quanti milligrammi rimangono dopo 5 ore? Arrotonda al milligrammo intero.
Risposta: 295
1. Qual è il fattore di decadimento? 0.9
2. Calcola $0{,}9^5$ , arrotondato a quattro cifre decimali 0.5905
3. Moltiplica per 500 e arrotonda al milligrammo intero 295
13.
Una macchina vale 10000 €. Modello A: perde 1500 € all'anno. Modello B: perde il $15\%$ all'anno. Quale modello dà il valore più alto dopo 5 anni?
1. a)Modello B (circa 4437)
2. b)Entrambi danno lo stesso valore
3. c)Modello A (2500)
4. d)Entrambi valgono 0
Risposta: Modello B (circa 4437)
Modello A: $10000 - 7500 = 2500$ . Modello B: $10000 \cdot 0{,}85^5 \approx 10000 \cdot 0{,}4437 \approx 4437$ . Il modello esponenziale è più alto, perché le sue perdite annuali diminuiscono.
14.
Un caffè è a $85°C$ in una stanza a $20°C$ . In un modello semplice, la differenza tra il caffè e la stanza diminuisce del $10\%$ ogni minuto. Che temperatura ha il caffè dopo 3 minuti, in °C? Arrotonda a una cifra decimale.
Risposta: 67.4
Differenza: $65 \cdot 0{,}9^3 = 65 \cdot 0{,}729 = 47{,}385$ . Temperatura: $20 + 47{,}385 = 67{,}385 \approx 67{,}4°C$ .
15.
Una macchina costa 12000 €. Piano A: perde 1500 € all'anno. Piano B: perde il $20\%$ all'anno. Dopo 4 anni, di quanti euro il valore del piano A supera quello del piano B?
Risposta: 1084.8
1. Qual è il valore con il piano A dopo 4 anni? 6000
2. Calcola $0{,}8^4$ 0.4096
3. Qual è il valore con il piano B dopo 4 anni? 4915.2
4. Di quanto è più alto il piano A? 1084.8
16.
Il valore di una bicicletta scende da 400 a 324 in 2 anni, perdendo la stessa percentuale ogni anno. Qual è la diminuzione percentuale annua? Scrivi solo il numero.
Risposta: 10
$b^2 = \frac{324}{400} = 0{,}81$ , quindi $b = 0{,}9$ . Il tasso di decrescita è $1 - 0{,}9 = 0{,}1 = 10\%$ . Verifica: $400 \to 360 \to 324$ .
17.
Uno scooter costa 1000 € e perde il $20\%$ del suo valore ogni anno. Dopo quanti anni interi vale per la prima volta meno di 450 €?
Risposta: 4
1. Valore dopo 1 anno? 800
2. Valore dopo 2 anni? 640
3. Valore dopo 3 anni? 512
4. Valore dopo 4 anni? 409.6
5. Dopo quanti anni interi il valore scende per la prima volta sotto 450? 4
18.
Un paziente riceve 800 mg di un farmaco. Ogni ora il corpo elimina il $40\%$ della quantità ancora presente. Quanti milligrammi rimangono dopo 3 ore, e che percentuale della dose è?
Risposta: 172.8
1. Qual è il fattore di decadimento? 0.6
2. Calcola $0{,}6^3$ 0.216
3. Quanti milligrammi rimangono? 172.8
4. Che percentuale della dose rimane? Scrivi solo il numero. 21.6