Guida per l'insegnante: Decrescita esponenziale

Impara come una grandezza diminuisce di una percentuale costante, usa la formula y = a(1 - r)^t e risolvi problemi di svalutazione, farmaci e raffreddamento.

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10 domande su Funzioni esponenziali. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Scrivere modelli di decrescita esponenziale della forma $y = a(1 - r)^t$ a partire da una diminuzione percentuale
Distinguere il tasso di decrescita dal fattore di decadimento e passare dall'uno all'altro
Riconoscere crescita o decrescita dalla base di una funzione esponenziale
Calcolare valori e la percentuale rimanente dopo $n$ periodi in contesti di svalutazione, farmaci e raffreddamento
Confrontare diminuzione lineare ed esponenziale e spiegare perché i loro grafici sono diversi

Prerequisiti

• Introduzione alle funzioni esponenziali: la forma $f(x) = a \cdot b^x$
• Crescita esponenziale: fattore di crescita $1 + r$ e aumento percentuale
• Trasformare percentuali in numeri decimali
• Calcolare potenze con la calcolatrice

Spunti di discussione

1. Un negozio dice che un telefono 'perde il 20 % ogni anno'. Dopo 5 anni non varrà più niente? Perché sì o perché no?
2. Perché un'auto nuova perde più soldi nel primo anno che nel quinto?
3. Preferiresti che un debito calasse di 100 € al mese o del 10 % al mese? La risposta dipende dall'importo del debito?
4. Perché un medico potrebbe dirti di prendere un farmaco ogni 8 ore invece che una volta al giorno?
5. Ti viene in mente qualcosa che decresce in modo esponenziale ma non arriva mai del tutto a zero?

Idee sbagliate comuni

Una diminuzione del 15 % significa che la base è 0,15

Rimedio: Chiedi 'quale parte rimane?' dopo un periodo. Con 100 unità e una perdita del 15 %, ne restano 85, quindi il moltiplicatore è 0,85. Fai dire agli studenti 'perdo 15, conservo 85' prima di scrivere qualsiasi formula.

Una diminuzione percentuale toglie la stessa cifra a ogni periodo

Rimedio: Costruisci due tabelle affiancate partendo da 1000: togliere 200 ogni anno o moltiplicare per 0,8 ogni anno. Gli studenti vedono che le perdite percentuali diminuiscono (200, 160, 128...) mentre quelle lineari restano uguali.

La decrescita esponenziale finisce a zero dopo abbastanza periodi

Rimedio: Usa il visualizzatore di successioni con ragione 0,8 e molti termini. Ogni barra è l'80 % della precedente, quindi non può mai essere zero. Collega questo all'asintoto orizzontale $y = 0$ .

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Partire da fattori che danno numeri semplici (0,5; 0,8; 0,9) e da tabelle brevi prima di usare la formula
• Usare la frase 'perdo r, conservo 1 - r' e una tabella a due colonne (perso, conservato) per ogni problema
• Permettere una calcolatrice con espressioni preparate come 1000 × 0,8^3

Per studenti a livello:

• Modellare problemi di svalutazione, farmaci e raffreddamento con $y = a(1 - r)^t$
• Calcolare la percentuale rimanente dopo $n$ periodi
• Confrontare una diminuzione lineare e una esponenziale e trovare quando una supera l'altra

Per studenti avanzati:

• Trovare il tasso di decrescita da due dati usando le radici, per esempio $b^2 = 0{,}81$
• Indagare quanto tempo serve per perdere metà del valore (anticipo del tempo di dimezzamento)
• Approfondire il legame tra il modello semplice di raffreddamento e la legge di raffreddamento di Newton

Allineamento agli standard

HSF-LE.A.1c (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1.C)
Riconoscere situazioni in cui una grandezza cresce o decresce di una percentuale costante per intervallo unitario
HSF-IF.C.8b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.8.B)
Usare le proprietà delle potenze per interpretare espressioni di funzioni esponenziali e classificarle come crescita o decrescita esponenziale
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Interpretare i parametri di una funzione lineare o esponenziale in un contesto

Risorse della lezione

visualBarre della decrescita geometrica
Visualizzatore di successioni con primo termine 100 e ragione 0,8: gli studenti vedono ogni barra ridursi del 20 % e leggono la percentuale rimanente
activitySvalutazione in concessionaria
I gruppi ricevono prezzi di auto e tassi di perdita annuali, costruiscono tabelle di decrescita e decidono quale auto mantiene meglio il suo valore
activityLineare o esponenziale?
Smistamento di carte con tabelle e descrizioni tra diminuzione di una cifra fissa e diminuzione di una percentuale fissa
worksheetLa decrescita nella vita di tutti i giorni
Problemi di svalutazione, farmaci e raffreddamento con l'arrotondamento indicato

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Si ha decrescita esponenziale quando una grandezza diminuisce della stessa percentuale in ogni periodo di uguale durata. La quantità persa è ogni volta più piccola, perché ogni nuova perdita è una percentuale di ciò che è rimasto.

y = a(1 - r)^t

Dove:

$a$ = valore iniziale (la quantità all'istante $t = 0$ )
$r$ = tasso di decrescita, la percentuale persa in ogni periodo, scritta come numero decimale ( $15\% \to r = 0{,}15$ )
$1 - r$ = fattore di decadimento $b$ , la parte che si conserva in ogni periodo ( $1 - 0{,}15 = 0{,}85$ )
$t$ = numero di periodi

Nella forma generale

y = a \cdot b^t

capisci il tipo dalla base:

$b > 1$ : crescita esponenziale
$0 < b < 1$ : decrescita esponenziale

Dopo

t

periodi, la frazione che rimane è

(1 - r)^t

, qualunque sia la quantità iniziale.

Esempi svolti

Per ogni funzione, stabilisci se mostra crescita o decrescita e trova la variazione percentuale per periodo: $f(t) = 300 \cdot 0{,}92^t$ e $g(t) = 50 \cdot 1{,}03^t$ .

Guarda la base di $f$

$b = 0{,}92$ e $0 < 0{,}92 < 1$ → $f$ è una decrescita

Trova il tasso di decrescita di $f$

$r = 1 - b = 1 - 0{,}92 = 0{,}08$ → $f$ perde l' $8\%$ per periodo

Guarda la base di $g$

$b = 1{,}03 > 1$ , quindi $r = 1{,}03 - 1 = 0{,}03$ → $g$ cresce del $3\%$ per periodo

Leggi i valori iniziali

$f(0) = 300 \cdot 0{,}92^0 = 300$ e $g(0) = 50$ → Valori iniziali $300$ e $50$

Risposta: $f$ è una decrescita esponenziale dell' $8\%$ per periodo (parte da $300$ ); $g$ è una crescita esponenziale del $3\%$ per periodo (parte da $50$ ).

Errori comuni

Usare il tasso di decrescita come base: scrivere $25000 \cdot 0{,}15^t$ per una perdita del $15\%$

Perché è sbagliato: $0{,}15^t$ conserva solo il $15\%$ ogni anno, cioè una perdita dell' $85\%$ all'anno. La base deve essere la parte che si conserva.

Corretto: Fattore di decadimento $= 1 - r$ . Una diminuzione del $15\%$ dà $25000 \cdot 0{,}85^t$ .

Togliere la stessa cifra a ogni periodo: 'il 20 % di 1000 è 200, quindi dopo 5 anni il valore è 0'

Perché è sbagliato: Questo è un ragionamento lineare. La perdita di ogni anno è il $20\%$ del valore attuale, non di quello iniziale, quindi le perdite diminuiscono.

Corretto: Moltiplica per $0{,}8$ ogni anno: $1000 \to 800 \to 640 \to 512 \to 409{,}6 \to 327{,}68$ . Dopo 5 anni rimangono $327{,}68$ .

Calcolare $a \cdot 1 - r^t$ invece di $a(1 - r)^t$

Perché è sbagliato: L'esponente riguarda tutto il fattore di decadimento. $1 - 0{,}15^2 = 0{,}9775$ , ma $(1 - 0{,}15)^2 = 0{,}7225$ .

Corretto: Calcola prima $1 - r$ , poi elevalo alla $t$ e infine moltiplica per $a$ .

Credere che una grandezza che decresce arrivi prima o poi esattamente a zero

Perché è sbagliato: Moltiplicando un numero positivo per un fattore come $0{,}8$ si ottiene sempre un numero positivo.

Corretto: Nel modello $y = a(1 - r)^t$ i valori si avvicinano sempre di più a $0$ (asintoto orizzontale $y = 0$ ) ma non lo raggiungono mai.

Perché è importante

La decrescita esponenziale descrive molte cose che diminuiscono nel tempo:

Svalutazione: un'auto o un telefono nuovo perde ogni anno una percentuale del suo valore, quindi perde più soldi all'inizio
Farmaci: il corpo elimina ogni ora una percentuale fissa di un farmaco, e questo decide ogni quanto serve una dose
Raffreddamento: una bevanda calda si raffredda in fretta all'inizio e poi sempre più lentamente avvicinandosi alla temperatura della stanza
Luce e suono: ogni metro d'acqua o di muro assorbe una percentuale della luce o del suono che lo attraversa

Conoscere la formula della decrescita ti permette di prevedere valori, confrontare offerte (una cifra fissa in meno all'anno o una percentuale in meno) e capire perché alcune cose non arrivano mai del tutto a zero.

Applicazioni nel mondo reale

Svalutazione di telefoni e portatili

I dispositivi elettronici perdono ogni anno una percentuale del loro valore. I siti dell'usato e le assicurazioni usano modelli di decrescita per stimare quanto vale un dispositivo usato.

Esempio:

Un portatile da 1000 € che perde il $30\%$ all'anno vale $1000 \cdot 0{,}7^2 = 490$ € dopo 2 anni.

1Provaci tu stesso

Un telefono nuovo costa 1200 € e perde il $25\%$ del suo valore ogni anno.

Quanto vale il telefono dopo 2 anni?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa la formula della decrescita: $1200 \cdot 0{,}75^2$

Dosaggio dei farmaci

Medici e farmacisti usano la decrescita esponenziale per sapere quanto farmaco rimane nel corpo e quando prendere la dose successiva.

Esempio:

Se il corpo elimina il $15\%$ di un farmaco ogni ora, dopo 4 ore $0{,}85^4 \approx 0{,}522$ , quindi rimane circa il $52{,}2\%$ della dose.

2Provaci tu stesso

Un paziente prende 200 mg di un farmaco. Il corpo elimina ogni ora il $30\%$ della quantità rimasta.

Quanti milligrammi rimangono dopo 4 ore?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola: $200 \cdot 0{,}7^4$

Bevande che si raffreddano

Ingegneri e tecnologi alimentari descrivono il raffreddamento con una decrescita: la differenza di temperatura tra un oggetto e la stanza diminuisce di una percentuale ogni minuto.

Esempio:

Caffè a $90°C$ in una stanza a $20°C$ : se la differenza di $70$ diminuisce del $10\%$ al minuto, dopo 1 minuto è $63$ , quindi il caffè è a $83°C$ .

3Provaci tu stesso

Una tazza di tè è a $80°C$ in una stanza a $20°C$ . In un modello semplice la differenza di temperatura diminuisce del $20\%$ ogni minuto.

Che temperatura ha il tè dopo 3 minuti?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola: $20 + 60 \cdot 0{,}8^3$

Punti chiave

1La decrescita esponenziale segue $y = a(1 - r)^t$ : la grandezza perde la stessa percentuale in ogni periodo
2Il tasso di decrescita $r$ è la percentuale persa; il fattore di decadimento $1 - r$ è la parte conservata (una diminuzione del $15\%$ dà $0{,}85$ )
3In $y = a \cdot b^t$ , una base $0 < b < 1$ indica decrescita e $b > 1$ indica crescita
4Dopo $t$ periodi la frazione rimanente è $(1 - r)^t$ ; moltiplica per $100\%$ per avere la percentuale rimanente
5La diminuzione lineare toglie sempre la stessa cifra e può arrivare a zero; quella esponenziale perde sempre meno e si avvicina soltanto a zero
6Arrotonda solo alla fine e indica l'arrotondamento (al centesimo, a una cifra decimale)

Domande frequenti

Qual è la differenza tra tasso di decrescita e fattore di decadimento?

Il tasso di decrescita

r

è ciò che perdi in ogni periodo (per esempio

15\% = 0{,}15

). Il fattore di decadimento è ciò che conservi:

1 - r = 0{,}85

. È il fattore di decadimento il numero che va nella base della potenza.

Come distinguo crescita e decrescita guardando solo la formula?

Guarda la base

b

y = a \cdot b^t

. Se

b > 1

, la grandezza cresce (per esempio

1{,}04

significa

+4\%

). Se

0 < b < 1

, decresce (per esempio

0{,}96

significa

-4\%

Una grandezza che decresce arriva mai a zero?

Nel modello no. In ogni periodo si conserva una frazione fissa di un numero positivo, quindi il risultato resta positivo. Il grafico si avvicina sempre di più alla retta

y = 0

, il suo asintoto orizzontale. Nella vita reale si smette di contare quando la quantità è troppo piccola per avere importanza.

Che cos'è il tempo di dimezzamento?

Il tempo di dimezzamento è il tempo necessario perché rimanga esattamente la metà della grandezza. È un caso particolare della decrescita esponenziale con una sua formula, trattato nella lezione Problemi sul tempo di dimezzamento.

Glossario

Decrescita esponenziale: Una diminuzione della stessa percentuale in periodi uguali, descritta da $y = a(1 - r)^t$
Tasso di decrescita: La percentuale persa per periodo, scritta come numero decimale $r$ (per esempio $0{,}15$ per il $15\%$ )
Fattore di decadimento: La parte conservata in ogni periodo, $b = 1 - r$ , con $0 < b < 1$
Valore iniziale: La quantità $a$ al tempo $t = 0$
Svalutazione: La perdita di valore di un oggetto, come un'auto o un telefono, nel corso del tempo
Asintoto orizzontale: La retta $y = 0$ a cui il grafico di una decrescita si avvicina senza mai toccarla

Scheda formule

Formula della decrescita esponenziale

y = a(1 - r)^t

$a$ = valore iniziale, $r$ = tasso di decrescita in forma decimale, $1 - r$ = fattore di decadimento, $t$ = numero di periodi.

Fattore di decadimento dalla percentuale

b = 1 - r

Una diminuzione del $p\%$ per periodo dà $b = 1 - \frac{p}{100}$. Esempio: $15\% \to 0{,}85$.

Percentuale rimanente

(1 - r)^t \times 100\%

La percentuale della quantità iniziale che rimane dopo $t$ periodi, qualunque sia la quantità iniziale.

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Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

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Bevande che si raffreddano

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Domande frequenti

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