La base naturale e

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale numero è la migliore approssimazione di $e$ ?
1. a)2,5
2. b)1,41421
3. c)3,14159
4. d)2,71828
Risposta: 2,71828
$e \approx 2{,}71828$ . Il numero $3{,}14159$ è $\pi$ , $1{,}41421$ è $\sqrt{2}$ , e $2{,}5$ è troppo piccolo.
2.
Se $f(x) = e^x$ , quanto vale $f(0)$ ?
1. a) $0$
2. b) $1$
3. c) $e$
4. d) $-1$
Risposta: $1$
$f(0) = e^0 = 1$ . Per questo il grafico di $y = e^x$ interseca l'asse y in $(0, 1)$ .
3.
Per $x > 0$ , dove si trova il grafico di $y = e^x$ ?
1. a)Sopra $y = 2^x$ e sotto $y = 3^x$
2. b)Esattamente sul grafico di $y = 3^x$
3. c)Sopra $y = 2^x$ e sopra $y = 3^x$
4. d)Sotto $y = 2^x$ e sotto $y = 3^x$
Risposta: Sopra $y = 2^x$ e sotto $y = 3^x$
Poiché $2 < e < 3$ , per $x > 0$ vale $2^x < e^x < 3^x$ . Per esempio in $x = 2$ : $4 < 7{,}389 < 9$ .
4.
Che cosa succede a $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ quando $n$ diventa sempre più grande?
1. a)Si avvicina sempre di più a $1$
2. b)Si avvicina sempre di più a $e \approx 2{,}71828$
3. c)Si avvicina sempre di più a $2$
4. d)Cresce senza limite
Risposta: Si avvicina sempre di più a $e \approx 2{,}71828$
I valori sono $2$ , $2{,}25$ , $2{,}613$ , $2{,}7146$ , ... Continuano ad aumentare ma si stabilizzano su $e \approx 2{,}71828$ : non crescono senza limite e non tornano a $1$ o $2$ .
5.
Usando $e \approx 2{,}71828$ , quale valore è più vicino a $e^3$ ?
1. a) $27$
2. b) $20{,}09$
3. c) $8{,}15$
4. d) $9$
Risposta: $20{,}09$
$e^3 \approx 2{,}71828^3 \approx 20{,}09$ . Il valore $8{,}15$ è $3e$ (un errore tipico), mentre $9 = 3^2$ e $27 = 3^3$ usano la base sbagliata. Poiché $e < 3$ , $e^3$ deve essere minore di $27$ .
6.
Calcola $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ per $n = 2$ .
Risposta: 2.25
$\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$ . È il secondo valore della tabella che si avvicina a $e$ .
7.
Il grafico di $y = e^x$ interseca l'asse y nel punto $(0, b)$ . Quanto vale $b$ ?
Risposta: 1
In $x = 0$ : $y = e^0 = 1$ , quindi $b = 1$ . Ogni funzione $y = b^x$ passa per $(0, 1)$ .
8.
Usando $e^2 \approx 7{,}389$ , calcola $3e^2$ . Arrotonda ai decimi.
Risposta: 22.2
$3e^2 \approx 3 \cdot 7{,}389 = 22{,}167$ , che arrotondato dà $22{,}2$ .
9.
Usando $e \approx 2{,}718$ , calcola $e^{-1} = \frac{1}{e}$ . Arrotonda a tre cifre decimali.
Risposta: 0.368
$e^{-1} = \frac{1}{e} \approx \frac{1}{2{,}718} \approx 0{,}36792$ , che arrotondato dà $0{,}368$ .
10.
Si mettono 1000 € su un conto che paga il 100 % di interesse annuo, con capitalizzazione trimestrale ( $n = 4$ ). Quanto c'è sul conto dopo un anno? Arrotonda al centesimo.
Risposta: 2441.41
$1{,}25^4 = 2{,}44140625$ , quindi $A = 1000 \cdot 2{,}44140625 = 2441{,}40625 \approx 2441{,}41$ €. È più che con la capitalizzazione annuale (2000 €) e meno del limite continuo $1000e \approx 2718{,}28$ €.
11.
Calcola $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ per $n = 4$ . Arrotonda il risultato finale a quattro cifre decimali.
Risposta: 2.4414
1. Quanto vale $1 + \frac{1}{4}$ in forma decimale? 1.25
2. Eleva al quadrato: $1{,}25^2 = ?$ 1.5625
3. Eleva di nuovo al quadrato: $1{,}5625^2$ , arrotondato a quattro cifre decimali 2.4414
12.
Sia $f(x) = e^x$ . Trova $f(0)$ , $f(1)$ e $f(2)$ , poi verifica come crescono i valori. Usa $e \approx 2{,}71828$ ed $e^2 \approx 7{,}389$ .
Risposta: 2.72
1. Quanto vale $f(0) = e^0$ ? 1
2. Quanto vale $f(1) = e^1$ , arrotondato a tre cifre decimali? 2.718
3. Quanto vale $f(2) = e^2$ (usa il valore dato)? 7.389
4. Dividi $f(2)$ per $f(1)$ : $\frac{7{,}389}{2{,}718}$ , arrotondato a due cifre decimali 2.72
13.
Confronta $2^2$ , $e^2$ e $3^2$ usando $e^2 \approx 7{,}389$ . Quanto dista $e^2$ da ciascuno degli altri due valori?
Risposta: 1.611
1. Quanto vale $2^2$ ? 4
2. Quanto vale $3^2$ ? 9
3. Di quanto $e^2$ è maggiore di $2^2$ ? ( $7{,}389 - 4$ ) 3.389
4. Di quanto $e^2$ è minore di $3^2$ ? ( $9 - 7{,}389$ ) 1.611
14.
Si investono 1000 € al 10 % annuo per un anno, con capitalizzazione semestrale ( $n = 2$ ). Confronta il risultato con la capitalizzazione continua, usando $e^{0{,}1} \approx 1{,}10517$ .
Risposta: 2.67
1. Qual è il tasso di interesse per semestre in forma decimale? 0.05
2. Qual è il fattore di crescita in un anno, $1{,}05^2$ ? 1.1025
3. Quanto c'è sul conto con la capitalizzazione semestrale? 1102.5
4. Quanto c'è con la capitalizzazione continua? ( $1000 \cdot 1{,}10517$ , arrotondato al centesimo) 1105.17
5. Qual è la differenza tra i due importi? 2.67
15.
Calcola $4e^{0{,}5}$ con la calcolatrice, scrivendo $e$ come $2{,}71828$ . Arrotonda il risultato finale ai centesimi.
Risposta: 6.59
1. Quanto vale $e^{0{,}5} = \sqrt{e}$ , arrotondato a quattro cifre decimali? (scrivi 2.71828^0.5) 1.6487
2. Moltiplica per $4$ : $4 \cdot 1{,}6487 = ?$ 6.5948
3. Arrotonda $6{,}5948$ ai centesimi 6.59
16.
1000 € fruttano il 100 % di interesse annuo, con capitalizzazione giornaliera ( $n = 365$ ), per un anno. Di quanto il risultato è inferiore al limite continuo $1000e$ ? Usa $e \approx 2{,}71828$ , arrotonda entrambi gli importi al centesimo e dai la differenza in euro.
Risposta: 3.71
1. Calcola $\left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365}$ , arrotondato a quattro cifre decimali 2.7146
2. Quanto c'è sul conto dopo un anno, arrotondato al centesimo? 2714.57
3. Quanto vale il limite continuo $1000e$ , arrotondato al centesimo? 2718.28
4. Qual è la differenza tra i due importi? 3.71
17.
Mostra che in $x = -1$ il valore di $e^x$ sta ancora tra $2^x$ e $3^x$ . Usa $e \approx 2{,}718$ e arrotonda a tre cifre decimali.
Risposta: 0.368
1. Quanto vale $2^{-1}$ ? 0.5
2. Quanto vale $3^{-1}$ , arrotondato a tre cifre decimali? 0.333
3. Quanto vale $e^{-1} = \frac{1}{2{,}718}$ , arrotondato a tre cifre decimali? Dovrebbe stare tra le tue due risposte. 0.368
18.
Si investono 1000 € al 12 % annuo per un anno. Quanto ottieni in più con la capitalizzazione continua ( $A = Pe^{rt}$ ) rispetto a quella annuale? Usa $e^{0{,}12} \approx 1{,}1275$ .
Risposta: 7.5
1. Quanto vale l'esponente $rt$ ? 0.12
2. Qual è l'importo con la capitalizzazione continua? ( $1000 \cdot 1{,}1275$ ) 1127.5
3. Qual è l'importo con la capitalizzazione annuale? ( $1000 \cdot 1{,}12$ ) 1120
4. Quanto in più dà la capitalizzazione continua? 7.5