Guida per l'insegnante: La base naturale e

Scopri da dove viene il numero e, perché vale circa 2,71828 e come si comporta la funzione esponenziale naturale y = e^x.

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Quiz di classe

10 domande su Funzioni esponenziali. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Spiegare come nasce il numero e come limite di (1 + 1/n)^n
Calcolare l'interesse composto per diverse frequenze di capitalizzazione e descrivere il limite a cui si avvicina
Calcolare espressioni con e usando l'approssimazione e ≈ 2,71828
Descrivere il grafico di y = e^x e confrontarlo con y = 2^x e y = 3^x
Riconoscere che e è irrazionale e usare correttamente le approssimazioni

Prerequisiti

• Introduzione alle funzioni esponenziali: la forma f(x) = a · b^x, valore iniziale e base
• Crescita esponenziale: fattore di crescita e la formula A(t) = A_0(1 + r)^t
• Formula dell'interesse composto A = P(1 + r/n)^(nt)
• Esponenti negativi ed esponente zero

Spunti di discussione

1. Se gli interessi venissero aggiunti ogni secondo, diventeresti infinitamente ricco? Perché sì o perché no?
2. Perché secondo te (1 + 1/n)^n non si riduce semplicemente a 1, anche se 1 + 1/n si avvicina a 1?
3. Sia e sia pi greco sono costanti irrazionali. Quali altre costanti famose conosci, e da dove vengono?
4. Senza calcolatrice, come potresti mostrare che e^x deve stare tra 2^x e 3^x?

Idee sbagliate comuni

La successione (1 + 1/n)^n cresce all'infinito perché l'esponente cresce all'infinito

Rimedio: Fai calcolare i valori per n = 10, 100, 1000 e 1000000 e osservare quanto poco aggiunge ogni nuovo valore. Chiedi se una somma di aumenti sempre più piccoli debba per forza diventare infinita.

e è un'incognita da ricavare, come x

Rimedio: Confronta e con pi greco: sono entrambi numeri fissi indicati con una lettera perché le loro cifre decimali non finiscono mai. Riscrivi e^x come 2,71828^x in alcuni esercizi per chiarirlo.

La capitalizzazione continua fa guadagnare moltissimo denaro in più

Rimedio: Mostra la tabella per il 12 % su 1000 €: quella giornaliera dà 1127,47 € e quella continua 1127,50 €. La differenza è di pochi centesimi.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Partire dalla tabella di (1 + 1/n)^n e far completare a mano solo n = 1 e n = 2
• Fornire e ≈ 2,71828 e i valori e^2 ≈ 7,389 ed e^-1 ≈ 0,368 su una scheda di riferimento
• Usare il simulatore di interessi per cambiare il periodo di capitalizzazione invece di calcolare le potenze a mano

Per studenti a livello:

• Calcolare l'interesse composto con capitalizzazione annuale, trimestrale, mensile e giornaliera e confrontare
• Calcolare espressioni come 3e^2 ed e^0,5 con la calcolatrice
• Disegnare y = 2^x, y = e^x e y = 3^x sugli stessi assi partendo da una tabella di valori

Per studenti avanzati:

• Esplorare la serie e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ... e confrontare quanto velocemente si avvicina a e
• Studiare (1 + r/n)^n per r = 2 e r = 0,5 e congetturare il limite (e^r)
• Cercare perché 1/e compare nel problema del Babbo Natale segreto (permutazioni senza punti fissi)

Allineamento agli standard

HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.E)
Rappresentare graficamente funzioni esponenziali e logaritmiche mostrando le intersezioni con gli assi e il comportamento agli estremi
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Costruire funzioni lineari ed esponenziali a partire da un grafico, una descrizione o due coppie di valori
HSA-SSE.B.3c (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.3.C)
Usare le proprietà delle potenze per trasformare espressioni di funzioni esponenziali

Risorse della lezione

visualEsplorare la frequenza di capitalizzazione
Impostare 1000 € al 100 % per un anno e passare dalla capitalizzazione annuale a quella giornaliera per vedere il totale avvicinarsi a 2718,28 €
activityA caccia del numero e
I gruppi calcolano (1 + 1/n)^n per n = 1, 2, 10, 100, 1000, 1000000 e riportano i risultati su un grafico
worksheetCalcolare e^x
Esercitarsi a calcolare espressioni con e e a confrontare e^x con 2^x e 3^x

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

La base naturale

e

è un numero speciale, circa

2{,}71828

. Compare quando calcoli l'espressione

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

per valori di

n

sempre più grandi:

$n$	$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
$1$	$2$
$2$	$2{,}25$
$12$	$\approx 2{,}61304$
$365$	$\approx 2{,}71457$
$1\,000\,000$	$\approx 2{,}71828$

I valori continuano a crescere, ma non superano mai un certo limite. Quel limite è il numero

e

e \approx 2{,}718281828\ldots

Punti chiave:

$e$ è irrazionale: le sue cifre decimali non finiscono mai e non si ripetono mai, quindi $2{,}71828$ è solo un'approssimazione
$e$ è compreso tra $2$ e $3$ , quindi il grafico della funzione esponenziale naturale $y = e^x$ sta tra i grafici di $y = 2^x$ e $y = 3^x$
Come ogni funzione $y = b^x$ , passa per $(0, 1)$ , perché $e^0 = 1$
La base $e$ è così usata che $e^x$ viene spesso chiamata semplicemente la funzione esponenziale

Esempi svolti

Calcola $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ per $n = 1$ , $n = 2$ e $n = 12$ . Che cosa noti?

Poni $n = 1$

$\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2$

Poni $n = 2$

$\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$

Poni $n = 12$ (con la calcolatrice)

$\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1{,}083333^{12} \approx 2{,}61304$

Confronta con valori di $n$ più grandi

$n = 365$ dà $\approx 2{,}71457$ , $n = 1\,000\,000$ dà $\approx 2{,}71828$ → I valori crescono sempre più lentamente

Risposta: I risultati $2$ , $2{,}25$ , $2{,}61304$ , ... continuano ad aumentare, ma si stabilizzano vicino a $e \approx 2{,}71828$ e non lo superano mai.

Errori comuni

Pensare che $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ cresca senza limite, oppure che si riduca a $1$

Perché è sbagliato: Due effetti si contrastano: $1 + \frac{1}{n}$ si avvicina a $1$ , ma l'esponente $n$ diventa più grande. Nessuno dei due vince del tutto.

Corretto: Verificalo con una tabella: $2$ , $2{,}25$ , $2{,}613$ , $2{,}7146$ , $2{,}71828$ . I valori aumentano ma si stabilizzano su $e \approx 2{,}71828$ .

Trattare $e$ come una variabile, come $x$

Perché è sbagliato: In algebra le lettere indicano di solito incognite, quindi alcuni studenti cercano di ricavare $e$ o di sostituirla con altri numeri.

Corretto: $e$ è una costante fissa, proprio come $\pi$ . In $y = e^x$ la variabile è $x$ ; $e \approx 2{,}71828$ non cambia mai.

Calcolare $e^2$ come $2e \approx 5{,}437$

Perché è sbagliato: Un esponente indica una moltiplicazione ripetuta, non una moltiplicazione per l'esponente.

Corretto: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$ .

Scrivere $e = 2{,}71828$ o $e = 2{,}72$ come se fosse esatto

Perché è sbagliato: $e$ è irrazionale, quindi nessun numero decimale finito e nessuna frazione è esattamente uguale a $e$ .

Corretto: Scrivi $e \approx 2{,}71828$ e arrotonda solo alla fine del calcolo, con la precisione richiesta.

Perché è importante

Il numero

e

compare ovunque qualcosa cresca o diminuisca in proporzione alla sua grandezza attuale:

Banche: quando gli interessi vengono aggiunti sempre più spesso (ogni mese, ogni giorno, ogni secondo), il risultato si avvicina a un limite basato su $e$ . Si chiama capitalizzazione continua
Biologia: i batteri e le colture cellulari che crescono senza pause sono descritti con $e^x$
Fisica e chimica: il decadimento radioattivo, il raffreddamento e la carica di un condensatore usano potenze di $e$
Probabilità: se molte persone pescano dei nomi per un Babbo Natale segreto, la probabilità che nessuno peschi il proprio nome è circa $\frac{1}{e} \approx 0{,}368$
Analisi: $e^x$ è l'unica funzione esponenziale il cui tasso di variazione in ogni punto è uguale al suo stesso valore, e per questo è la scelta naturale nelle scienze

Ecco perché le calcolatrici scientifiche hanno un tasto

e^x

, e perché le lezioni successive (crescita continua, modelli di popolazione) usano la base

e

Applicazioni nel mondo reale

Banche e frequenza di capitalizzazione

Le banche indicano un tasso annuo, ma possono aggiungere gli interessi ogni anno, ogni mese o ogni giorno. Più spesso vengono aggiunti, più il risultato si avvicina al limite continuo basato su $e$.

Esempio:

Al 12 % annuo, 1000 € diventano 1120,00 € con capitalizzazione annuale e circa 1127,50 € con capitalizzazione continua ( $1000 \cdot e^{0{,}12}$ ).

1Provaci tu stesso

Depositi 1000 € al 12 % annuo, con capitalizzazione mensile, per un anno.

Quanto c'è sul conto dopo un anno, arrotondato al centesimo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{12}\right)^{12}$ :

Colture cellulari in crescita

Le cellule di una coltura di laboratorio si dividono in ogni momento, non una volta al giorno, quindi i biologi descrivono la loro crescita con la base $e$: $N = N_0 e^{kt}$.

Esempio:

Una coltura di 200 cellule descritta da $N = 200e^{t}$ ( $t$ in ore) ha $200e^{1} \approx 544$ cellule dopo 1 ora.

2Provaci tu stesso

Una coltura parte da 200 cellule ed è descritta da $N = 200e^{t}$ , con $t$ in ore.

Circa quante cellule ci sono dopo 2 ore?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $200 \cdot e^2$ :

Babbo Natale segreto e 1/e

In un Babbo Natale segreto in cui ognuno pesca un nome da un cappello, la probabilità che nessuno peschi il proprio nome è quasi esattamente $\frac{1}{e}$ appena il gruppo supera poche persone.

Esempio:

In una classe di 25 studenti, la probabilità che nessuno peschi il proprio nome è circa $0{,}368$ , quindi in circa il 63 % dei casi bisogna ripetere l'estrazione.

3Provaci tu stesso

Un gruppo numeroso pesca i nomi per un Babbo Natale segreto. La probabilità che nessuno peschi il proprio nome è $\frac{1}{e}$ .

Qual è la probabilità, in percentuale, che almeno una persona peschi il proprio nome?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $1 - \frac{1}{e}$ :

Punti chiave

1Quando $n$ cresce, $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ si avvicina sempre di più al numero $e \approx 2{,}71828$
2 $e$ è irrazionale: $2{,}71828$ è un'approssimazione, non il valore esatto
3Capitalizzare più spesso (ogni anno, ogni mese, ogni giorno) rende di più, ma l'importo si avvicina a un limite: la capitalizzazione continua
4La funzione esponenziale naturale $y = e^x$ passa per $(0, 1)$ e ha l'asse x come asintoto orizzontale
5Poiché $2 < e < 3$ , il grafico di $y = e^x$ sta tra i grafici di $y = 2^x$ e $y = 3^x$
6La crescita continua usa $A = Pe^{rt}$ , che studierai nella lezione Crescita e decrescita continue

Domande frequenti

Perché e si chiama base naturale?

Perché compare da sola in natura e in finanza ogni volta che qualcosa cresce in modo continuo e non a scatti. In analisi,

e^x

è l'unica funzione esponenziale la cui pendenza in ogni punto è uguale al suo stesso valore, e questo rende le formule in base

e

le più semplici.

Chi ha scoperto e?

Jakob Bernoulli lo trovò intorno al 1683 studiando l'interesse composto, proprio come in questa lezione. Leonhard Euler in seguito lo chiamò

e

, ne dimostrò molte proprietà e ne calcolò molte cifre decimali. Per questo si chiama numero di Eulero; in Italia è detto anche numero di Nepero, in onore di John Napier, che studiò i logaritmi.

e è la stessa cosa della costante di Eulero?

No. Il numero

e \approx 2{,}71828

è la base della funzione esponenziale naturale. La costante di Eulero-Mascheroni

\gamma \approx 0{,}5772

è un altro numero, che viene dalla teoria dei numeri. In questo argomento si usa solo

e

Come si usa e sulla calcolatrice?

La maggior parte delle calcolatrici scientifiche ha un tasto

e^x

. Anche la calcolatrice di questa lezione ha

e

: scrivi e^0.5 per

e^{0{,}5}

, che dà circa

1{,}6487

. Senza il tasto

e

, scrivi 2.71828 al suo posto, per esempio 2.71828^0.5.

Glossario

Numero di Nepero e: La costante irrazionale $e \approx 2{,}71828$ , limite di $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ quando $n$ cresce
Funzione esponenziale naturale: La funzione $f(x) = e^x$ , una funzione esponenziale di base $e$
Numero irrazionale: Un numero che non si può scrivere come frazione; le sue cifre decimali non finiscono mai e non si ripetono mai (esempi: $e$ , $\pi$ , $\sqrt{2}$ )
Frequenza di capitalizzazione: Quante volte all'anno gli interessi vengono aggiunti al saldo, indicata con $n$ (annuale $n = 1$ , mensile $n = 12$ , giornaliera $n = 365$ )
Capitalizzazione continua: Il limite quando gli interessi vengono aggiunti sempre più spesso; l'importo è $A = Pe^{rt}$

Scheda formule

Definizione di e

e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828

Per $n$ molto grande, $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ è molto vicino a $e$.

Funzione esponenziale naturale

f(x) = e^x

Passa per $(0, 1)$, è sempre positiva, asintoto orizzontale $y = 0$, sta tra $2^x$ e $3^x$.

Interesse composto

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = capitale iniziale, $r$ = tasso annuo in forma decimale, $n$ = capitalizzazioni all'anno, $t$ = anni.

Capitalizzazione continua

A = Pe^{rt}

Il limite dell'interesse composto quando $n$ cresce senza limite.

Altro su questo argomento

Guida per l'insegnante: La base naturale e

Usa questa lezione in classe

Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Banche e frequenza di capitalizzazione

Colture cellulari in crescita

Babbo Natale segreto e 1/e

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Definizione di e

Funzione esponenziale naturale

Interesse composto

Capitalizzazione continua

Altro su questo argomento

Introduzione alle funzioni esponenziali

Crescita esponenziale

Grafici delle funzioni esponenziali

Decrescita esponenziale