Limiti per sostituzione diretta

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale limite puoi calcolare subito per sostituzione diretta?
1. a) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1}$
2. b) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$
3. c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$
4. d) $\lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{x^2 - 25}$
Risposta: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1}$
In $x = 1$ il denominatore $x + 1$ vale $2 \neq 0$ , quindi $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1} = \frac{4}{2} = 2$ . Gli altri tre danno $\frac{0}{0}$ e vanno prima semplificati.
2.
Calcola $\lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 4)$ .
Risposta: 14
$3 \cdot 2^2 - 2 + 4 = 12 - 2 + 4 = 14$ .
3.
Calcola $\lim_{x \to 4} (x^2 - 3x + 1)$ per sostituzione diretta.
Risposta: 5
1. Quanto vale $x^2$ in $x = 4$ ? 16
2. Quanto vale $-3x$ in $x = 4$ ? -12
3. Somma tutto: $16 - 12 + 1$ . Qual è il limite? 5
4.
La sostituzione diretta in $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ dà $\frac{0}{0}$ . Che cosa devi concludere?
1. a)Il limite non esiste
2. b)Il limite è 1
3. c)Prima semplificare, poi sostituire di nuovo
4. d)Il limite è 0
Risposta: Prima semplificare, poi sostituire di nuovo
$\frac{0}{0}$ non dice ancora nulla sul limite. Scomponendo si ottiene $\frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = x + 4$ , quindi il limite è $8$ .
5.
Calcola $\lim_{x \to -1} \frac{2x^2 + 6}{x + 3}$ .
Risposta: 4
Numeratore: $2 \cdot (-1)^2 + 6 = 8$ . Denominatore: $-1 + 3 = 2$ . Limite: $\frac{8}{2} = 4$ .
6.
Calcola $\lim_{x \to 2} \frac{x + 6}{x^2 + 1}$ . Scrivi il risultato come frazione.
Risposta: 8/5
1. Quanto vale il denominatore $x^2 + 1$ in $x = 2$ ? 5
2. Quanto vale il numeratore $x + 6$ in $x = 2$ ? 8
3. Il denominatore non è 0. Qual è il limite? (frazione) 8/5
7.
Calcola $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$ .
Risposta: 10
$\frac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5} = x + 5$ , e $5 + 5 = 10$ .
8.
Calcola $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ .
Risposta: -6
1. Quanto vale il numeratore $x^2 - 9$ in $x = -3$ ? 0
2. Quanto vale il denominatore $x + 3$ in $x = -3$ ? 0
3. È $\frac{0}{0}$ , quindi scomponi: $x^2 - 9 = (x + 3)(x - \square)$ . Quale numero va nella casella? 3
4. Semplificando $(x + 3)$ resta $x - 3$ . Qual è il limite? -6
9.
Quanto vale $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}$ ?
1. a) $1$
2. b) $-1$
3. c) $0$
4. d) $5$
Risposta: $1$
La sostituzione dà $\frac{0}{0}$ . $\frac{(x + 2)(x + 3)}{x + 2} = x + 3$ , e $-2 + 3 = 1$ .
10.
Calcola $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$ .
Risposta: 6
1. Quanto vale il numeratore $x^2 - 2x - 8$ in $x = 4$ ? 0
2. Anche il denominatore è 0. Scomponi: $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + \square)$ . Quale numero va nella casella? 2
3. Dopo la semplificazione resta $x + 2$ . Qual è il limite? 6
11.
Per calcolare $\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}$ , moltiplichi numeratore e denominatore per:
1. a) $x + 9$
2. b) $\sqrt{x}$
3. c) $\sqrt{x} - 3$
4. d) $\sqrt{x} + 3$
Risposta: $\sqrt{x} + 3$
$(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) = x - 9$ , che si semplifica con il denominatore: il limite diventa $\frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{6}$ .
12.
Calcola $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}$ .
Risposta: 2
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x - 3)} = \frac{x + 3}{x}$ , e $\frac{3 + 3}{3} = 2$ .
13.
Calcola $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 1}$ .
Risposta: 2
1. Quanto vale il numeratore $x^2 + 2x - 3$ in $x = 1$ ? 0
2. Quanto vale il denominatore $x^2 - 1$ in $x = 1$ ? 0
3. Semplificando $(x - 1)$ resta $\frac{x + 3}{x + 1}$ . Quanto vale il nuovo numeratore $x + 3$ in $x = 1$ ? 4
4. Quanto vale il nuovo denominatore $x + 1$ in $x = 1$ ? 2
5. Qual è il limite? 2
14.
Quanto vale $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ ?
1. a) $\frac{2}{3}$
2. b) $0$
3. c) $\frac{3}{2}$
4. d) $1$
Risposta: $\frac{3}{2}$
$\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ , e in $x = 1$ : $\frac{3}{2}$ .
15.
Calcola $\lim_{x \to 25} \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 25}$ razionalizzando.
Risposta: 1/10
1. Quanto vale il numeratore $\sqrt{x} - 5$ in $x = 25$ ? 0
2. $(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5) = x - \square$ . Quale numero va nella casella? 25
3. Semplificando $(x - 25)$ resta $\frac{1}{\sqrt{x} + 5}$ . Quanto vale $\sqrt{x} + 5$ in $x = 25$ ? 10
4. Qual è il limite? (frazione) 1/10
16.
Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ . Scrivi il risultato come frazione o come numero decimale.
Risposta: 1/4
Dopo aver razionalizzato: $\frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$ , e in $x = 0$ : $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ .
17.
Calcola $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ .
Risposta: 12
1. Quanto vale il numeratore $x^3 - 8$ in $x = 2$ ? 0
2. $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + \square)$ . Quale numero va nella casella? 4
3. Dopo la semplificazione resta $x^2 + 2x + 4$ . Qual è il limite? 12
18.
Calcola $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}$ .
Risposta: 1/4
1. Quanto vale il numeratore $\sqrt{x + 3} - 2$ in $x = 1$ ? 0
2. $(\sqrt{x + 3} - 2)(\sqrt{x + 3} + 2) = (x + 3) - \square$ . Quale numero va nella casella? 4
3. Semplificando $(x - 1)$ resta $\frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2}$ . Quanto vale $\sqrt{x + 3} + 2$ in $x = 1$ ? 4
4. Qual è il limite? (frazione) 1/4