Guida per l'insegnante: Limiti per sostituzione diretta

Calcola i limiti con l'algebra: sostituisci il valore quando puoi e, se ottieni 0/0, scomponi e semplifica oppure razionalizza prima.

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10 domande su Limiti. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Calcolare limiti di polinomi e funzioni razionali per sostituzione diretta
Spiegare quali teoremi sui limiti giustificano la sostituzione diretta e quando il teorema del quoziente non vale
Riconoscere la forma indeterminata 0/0 e distinguerla da non nullo su 0
Risolvere 0/0 scomponendo e semplificando un fattore comune
Risolvere 0/0 con una radice moltiplicando per il coniugato

Prerequisiti

• «Introduzione ai limiti» e «Notazione dei limiti»
• «Calcolare i limiti dal grafico» e «Calcolare i limiti con la tabella dei valori»
• Scomporre trinomi e differenze di quadrati
• Semplificare frazioni algebriche e calcolare con le radici quadrate

Spunti di discussione

1. Perché il metodo della tabella della lezione precedente e la sostituzione diretta danno lo stesso numero per un polinomio?
2. Se la sostituzione dà $\frac{0}{0}$ , che cosa ti dice su numeratore e denominatore come polinomi?
3. Riesci a inventare due limiti diversi che danno entrambi $\frac{0}{0}$ ma hanno risultati diversi?
4. Perché è lecito moltiplicare una frazione per $\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}$ ?

Idee sbagliate comuni

$\frac{0}{0}$ vale 0, vale 1 oppure significa che il limite non esiste

Rimedio: Mostra $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2$ , $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0$ e $\lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2}$ (nessun limite finito): tutti e tre partono come $\frac{0}{0}$ . Fai controllare ciascuno con una tabella dei valori.

Semplificare $(x - a)$ significa dividere per zero

Rimedio: Sottolinea che il limite non usa mai $x = a$ . Disegna $\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$ e $x + 2$ : sono la stessa retta, tranne il buco in $x = 3$ .

Ogni 0 al denominatore significa scomporre e semplificare

Rimedio: Proponi $\lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x - 2}$ : la sostituzione dà $\frac{3}{0}$ , non si semplifica nulla e il grafico mostra un asintoto verticale invece di un buco.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Iniziare solo con limiti di polinomi, poi razionali con denominatore non nullo
• Dare un diagramma di flusso: sostituisci, poi numero / non nullo su 0 / 0 su 0
• Ripassare la scomposizione dei trinomi con un breve riscaldamento prima degli esempi 0/0

Per studenti a livello:

• Mescolare i tre possibili risultati della sostituzione in una stessa serie
• Controllare ogni risposta con la calcolatrice sostituendo valori come 2,99 e 3,01
• Usare i grafici per trovare il buco la cui altezza è il limite

Per studenti avanzati:

• Calcolare $\lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^2 - 4}{h}$ e collegarlo alle derivate
• Scomporre somme e differenze di cubi, come $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$
• Razionalizzare limiti con la radice al denominatore, come $\lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$

Allineamento agli standard

HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Usare la struttura di un'espressione per trovare modi di riscriverla
HSA-APR.D.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.APR.D.6)
Riscrivere semplici espressioni razionali in forme diverse
HSN-RN.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.RN.A.2)
Riscrivere espressioni con radicali ed esponenti razionali usando le proprietà delle potenze

Risorse della lezione

visualEsploratore di buchi
Grafici di $(x^2 - x - 6)/(x - 3)$ e $(\sqrt{x} - 2)/(x - 4)$ con il buco evidenziato e una tabella di valori vicini
activitySostituisci, classifica, risolvi
Gli studenti sostituiscono in 12 carte di limiti, le classificano in numero, non nullo su 0 e 0/0, poi risolvono le carte 0/0
worksheetScomporre o razionalizzare?
Limiti 0/0 misti in cui gli studenti scelgono prima il metodo e poi calcolano

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

La sostituzione diretta consiste nel trovare un limite semplicemente sostituendo il valore nella funzione:

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Funziona per ogni funzione polinomiale e per ogni funzione razionale il cui denominatore non si annulla in

x = a

. I loro grafici lì non hanno buchi, quindi il valore a cui la funzione tende è proprio il valore che assume.

Perché funziona: i teoremi sui limiti. Se

\lim_{x \to a} f(x)

\lim_{x \to a} g(x)

esistono, i limiti si possono separare:

somma e differenza: $\lim (f \pm g) = \lim f \pm \lim g$
prodotto per una costante: $\lim (c \cdot f) = c \cdot \lim f$
prodotto: $\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$
quoziente: $\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$ , solo se $\lim g \neq 0$
potenza: $\lim f^n = (\lim f)^n$

Che cosa ti dice la sostituzione:

un numero, come $\frac{5}{5} = 1$ : quel numero è il limite
$\frac{\text{non nullo}}{0}$ , come $\frac{3}{0}$ : nessun limite finito (il grafico ha un asintoto verticale, vedi la lezione «Limiti infiniti»)
$\frac{0}{0}$ : la forma indeterminata 0/0. NON è una risposta. Ti dice che prima devi riscrivere l'espressione.

Come risolvere 0/0:

1.Scomporre e semplificare: numeratore e denominatore hanno un fattore comune $(x - a)$ . Semplificalo, poi sostituisci di nuovo.
2.Razionalizzare: con una radice come $\sqrt{x} - 2$ , moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato $\sqrt{x} + 2$ , semplifica, poi sostituisci di nuovo.

Semplificare è lecito perché il limite guarda solo valori di

x

vicini ad

a

, mai

x = a

stesso, quindi

x - a \neq 0

Esempi svolti

Calcola $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3)$ .

Riconosci il tipo di funzione

$x^2 - 2x + 3$ è un polinomio, definito per ogni $x$ → La sostituzione diretta funziona

Sostituisci $x = 3$

$3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = 9 - 6 + 3$ → $6$

Scrivi il limite

$\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$ → Il limite è $6$

Risposta: $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$ . Nel primo grafico il punto $(3, 6)$ sta sulla curva e i valori della tabella si avvicinano a $6$ .

Errori comuni

Fermarsi a $\frac{0}{0}$ e rispondere "il limite è 0", "1" o "non esiste"

Perché è sbagliato: $\frac{0}{0}$ non è un numero né una risposta finale. Dice solo che numeratore e denominatore hanno un fattore comune che nasconde il vero valore.

Corretto: Considera $\frac{0}{0}$ un segnale: scomponi e semplifica (o razionalizza), poi sostituisci di nuovo. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = 5$ .

Semplificare addendi invece di fattori, come $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{x - 9}{-3}$

Perché è sbagliato: Puoi semplificare solo un fattore che moltiplica tutto il numeratore e tutto il denominatore. Una $x$ dentro una somma non è un fattore di questo tipo.

Corretto: Prima scomponi: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ , quindi il limite per $x \to 3$ è $6$ .

Trattare $\frac{3}{0}$ come $\frac{0}{0}$ e provare a scomporre

Perché è sbagliato: Quando solo il denominatore è zero, non c'è nessun fattore comune da semplificare. I valori crescono illimitatamente vicino a quella $x$ .

Corretto: $\frac{\text{non nullo}}{0}$ significa nessun limite finito (asintoto verticale). Solo $\frac{0}{0}$ richiede di scomporre o razionalizzare.

Moltiplicare solo il numeratore per il coniugato

Perché è sbagliato: Moltiplicare una sola parte cambia il valore della frazione. Si può moltiplicare per $\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}$ , che vale 1.

Corretto: Moltiplica numeratore E denominatore per il coniugato, e lascia il denominatore scomposto così puoi semplificare $(x - 4)$ .

Perché è importante

Nelle lezioni «Calcolare i limiti dal grafico» e «Calcolare i limiti con la tabella dei valori» hai stimato i limiti guardando. La sostituzione diretta dà il valore esatto in pochi secondi, ed è il metodo che userai più spesso in analisi.

Derivate: ogni derivata parte come un limite della forma $\frac{0}{0}$ , per esempio $\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 9}{h}$ . Scomporre e semplificare è proprio il modo per risolverlo.
Fisica: la velocità istantanea è il limite delle velocità medie e si trova scomponendo un rapporto incrementale.
Continuità: una funzione è continua in $a$ esattamente quando lì la sostituzione diretta funziona (lezione «Continuità»).
Buchi nei grafici: il fattore che semplifichi mostra dove una funzione razionale ha un buco, e il limite ti dà la sua altezza.

Sapere quando puoi sostituire, e cosa fare quando ottieni

\frac{0}{0}

, ti evita risposte sbagliate come "il limite è 0" o "il limite non esiste".

Applicazioni nel mondo reale

Velocità istantanea

Il tachimetro mostra la velocità in un istante. In fisica la si ottiene come limite delle velocità medie su intervalli di tempo sempre più brevi, e questo limite parte sempre come 0/0.

Esempio:

Un carrello si muove in modo che la sua posizione sia $s(t) = t^2 + 3t$ metri dopo $t$ secondi. La sua velocità media tra il secondo 2 e l'istante $t$ è $\frac{s(t) - s(2)}{t - 2} = \frac{t^2 + 3t - 10}{t - 2}$ . Scomponendo si ottiene $\frac{(t - 2)(t + 5)}{t - 2} = t + 5$ .

1Provaci tu stesso

La posizione del carrello è $s(t) = t^2 + 3t$ metri. La sua velocità all'istante $t = 2$ secondi è $\lim_{t \to 2} \frac{t^2 + 3t - 10}{t - 2}$ .

Qual è la velocità del carrello a $t = 2$ secondi, in metri al secondo?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scomponi, semplifica e sostituisci: la velocità è

Piastrelle quadrate che crescono

Designer e ingegneri si chiedono quanto velocemente cambia un'area quando cambia una lunghezza. Per un quadrato di lato $x$ l'area è $x^2$, e il tasso di variazione per una certa misura è un limite della forma 0/0.

Esempio:

Una piastrella quadrata di lato $x$ cm ha area $A(x) = x^2$ cm². Quando il lato passa da 5 cm a $x$ cm, l'area varia in media di $\frac{x^2 - 25}{x - 5}$ cm² per ogni cm di lato.

2Provaci tu stesso

La rapidità con cui cresce l'area della piastrella quando il lato misura esattamente 5 cm è $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$ .

Di quanti cm² per cm cresce l'area con un lato di 5 cm?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scomponi $x^2 - 25$ , semplifica e sostituisci: il tasso è

Ritmo di crescita di una pianta

I biologi descrivono la crescita con funzioni radice quadrata. Il ritmo di crescita in un certo giorno è un limite che va razionalizzato.

Esempio:

Una piantina è alta $h(t) = \sqrt{t}$ dm dopo $t$ giorni. La sua crescita media tra il giorno 9 e il giorno $t$ è $\frac{\sqrt{t} - 3}{t - 9}$ dm al giorno.

3Provaci tu stesso

Il ritmo di crescita nel giorno 9 è $\lim_{t \to 9} \frac{\sqrt{t} - 3}{t - 9}$ . Moltiplicando numeratore e denominatore per $\sqrt{t} + 3$ diventa $\lim_{t \to 9} \frac{1}{\sqrt{t} + 3}$ .

Qual è il ritmo di crescita nel giorno 9, in dm al giorno?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sostituisci nell'espressione semplificata: il ritmo è

Punti chiave

1Per i polinomi, $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ : basta sostituire
2Per le funzioni razionali, sostituisci quando il denominatore non è 0 in $x = a$
3I teoremi sui limiti permettono di separare un limite in somme, prodotti, quozienti (limite del denominatore diverso da 0) e potenze
4 $\frac{0}{0}$ è una forma indeterminata, mai la risposta: prima riscrivi l'espressione
5Scomponi e semplifica il fattore comune $(x - a)$ , oppure moltiplica per il coniugato se c'è una radice, poi sostituisci di nuovo
6 $\frac{\text{non nullo}}{0}$ significa nessun limite finito (asintoto verticale), non un buco

Domande frequenti

Perché posso semplificare $(x - 3)$ se vale 0 in $x = 3$ ?

Un limite per

x \to 3

usa solo valori di

x

vicini a 3, mai

x = 3

stesso. Per tutti questi valori

x - 3 \neq 0

, quindi semplificare è lecito. Le due espressioni coincidono ovunque tranne che in

x = 3

, e quel singolo punto non conta per il limite.

Se ottengo $\frac{0}{0}$ , il limite esiste?

Non puoi ancora dirlo.

\frac{0}{0}

può nascondere qualsiasi valore:

\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2

\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0

. Prima semplifica, poi decidi.

Quando devo razionalizzare invece di scomporre?

Quando lo 0 viene da una differenza con una radice quadrata, come

\sqrt{x} - 2

\sqrt{x + 4} - 2

. Moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato (stessi termini, segno opposto in mezzo), perché

(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4

non ha più radici.

Il limite è la stessa cosa del valore della funzione?

Per i polinomi e per le funzioni razionali con denominatore diverso da 0, sì: è esattamente ciò che dice la sostituzione diretta. In un buco il valore della funzione non esiste, ma il limite sì (le lezioni «Continuità» e «Tipi di discontinuità» approfondiscono).

Glossario

Sostituzione diretta: Trovare $\lim_{x \to a} f(x)$ calcolando $f(a)$ ; funziona per i polinomi e per le funzioni razionali il cui denominatore non si annulla in $a$
Teoremi sui limiti: Regole che separano il limite di una somma, differenza, prodotto, quoziente o potenza nei limiti delle sue parti
Forma indeterminata 0/0: Il risultato $\frac{0}{0}$ dopo la sostituzione; non dà un valore e significa che l'espressione va riscritta
Coniugato: Il coniugato di $\sqrt{x} - b$ è $\sqrt{x} + b$ ; il loro prodotto $x - b^2$ non contiene radici
Razionalizzare: Moltiplicare numeratore e denominatore per un coniugato per eliminare una radice da una differenza

Scheda formule

Sostituzione diretta

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Per i polinomi, e per le funzioni razionali quando il denominatore non è 0 in $a$

Teorema del quoziente

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}

Solo se $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$

Scomporre e semplificare

\frac{(x - a) \cdot p(x)}{(x - a) \cdot q(x)} = \frac{p(x)}{q(x)}

Da usare quando la sostituzione dà $\frac{0}{0}$, poi sostituisci di nuovo

Prodotto per il coniugato

(\sqrt{x} - b)(\sqrt{x} + b) = x - b^2

Per razionalizzare un limite 0/0 con una radice quadrata

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Perché è importante

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