Limite destro e limite sinistro

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Che cosa significa $x \to 3^-$ ?
1. a) $x$ si avvicina a $3$ con valori minori di $3$
2. b) $x$ si avvicina a $3$ con valori maggiori di $3$
3. c) $x$ vale esattamente $3$
4. d) $x$ assume il valore $-3$
Risposta: $x$ si avvicina a $3$ con valori minori di $3$
$x \to 3^-$ significa che $x$ si avvicina a $3$ da sinistra: $2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ ; ... Questi valori sono minori di $3$ , e $x$ non è mai uguale a $3$ .
2.
Sia $f(x) = x + 1$ per $x < 1$ e $f(x) = x + 3$ per $x \ge 1$ . Trova $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ .
Risposta: 2
Per $x < 1$ la funzione è $x + 1$ , che si avvicina a $1 + 1 = 2$ . Quindi $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ .
3.
Sia $f(x) = x + 1$ per $x < 1$ e $f(x) = x + 3$ per $x \ge 1$ . Trova $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ .
Risposta: 4
Per $x > 1$ la funzione è $x + 3$ , che si avvicina a $1 + 3 = 4$ . Quindi $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ .
4.
Trova $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}$ .
Risposta: 1
Per $x$ positivo, $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$ . A destra di $0$ la funzione vale sempre $1$ , quindi il limite destro è $1$ .
5.
Sia $f(x) = x + 1$ per $x < 1$ e $f(x) = x + 3$ per $x \ge 1$ . Quanto vale $\lim_{x \to 1} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)4
3. c)non esiste
4. d)6
Risposta: non esiste
Il limite sinistro è $2$ e il limite destro è $4$ . Poiché $2 \neq 4$ , il limite non esiste. Il valore $f(1) = 4$ non cambia nulla.
6.
Sia $f(x) = 2x$ per $x < 2$ e $f(x) = x + 6$ per $x \ge 2$ . Quanto è grande il salto in $x = 2$ (limite destro meno limite sinistro)?
Risposta: 4
1. Trova $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ 4
2. Trova $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ 8
3. Limite destro meno limite sinistro: 4
7.
Supponi che $\lim_{x \to 4^-} f(x) = 5$ , $\lim_{x \to 4^+} f(x) = 5$ e $f(4) = 1$ . Quale affermazione è vera?
1. a) $\lim_{x \to 4} f(x) = 6$
2. b) $\lim_{x \to 4} f(x)$ non esiste
3. c) $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$
4. d) $\lim_{x \to 4} f(x) = 1$
Risposta: $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$
Entrambi i limiti unilaterali valgono $5$ , quindi $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$ . Il punto $f(4) = 1$ è fuori dalla curva e non cambia il limite.
8.
Sia $g(x) = x^2 + 1$ per $x < 3$ e $g(x) = 2x + 5$ per $x \ge 3$ . Trova $\lim_{x \to 3^-} g(x)$ .
Risposta: 10
Per $x < 3$ , $g(x) = x^2 + 1 \to 3^2 + 1 = 10$ . (Da destra $2x + 5 \to 11$ , quindi il limite in $3$ non esiste.)
9.
Sia $h(x) = x^2 - 1$ per $x < 3$ , $h(3) = 0$ e $h(x) = 2x + 2$ per $x > 3$ . Trova $\lim_{x \to 3} h(x)$ .
Risposta: 8
1. Trova $\lim_{x \to 3^-} h(x)$ 8
2. Trova $\lim_{x \to 3^+} h(x)$ 8
3. I due lati coincidono. Quanto vale $\lim_{x \to 3} h(x)$ ? 8
10.
Esiste $\lim_{x \to 5} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ ?
Risposta: Il limite non esiste: da sinistra $-1$ , da destra $1$ .
1. Trova $\lim_{x \to 5^+} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ 1
2. Trova $\lim_{x \to 5^-} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ -1
3. Il limite da entrambi i lati esiste? no
11.
Per quale funzione il limite sinistro e il limite destro in $x = 0$ sono uguali?
1. a) $f(x) = \frac{|x|}{x}$
2. b) $f(x) = \frac{x}{|x|} + 1$
3. c) $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$
4. d) $f(x) = \frac{2|x|}{x}$
Risposta: $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$
$\frac{x^2}{|x|} = |x|$ , che si avvicina a $0$ da entrambi i lati. Le altre fanno un salto: $\frac{|x|}{x}$ dà $-1$ e $1$ , $\frac{x}{|x|} + 1$ dà $0$ e $2$ , $\frac{2|x|}{x}$ dà $-2$ e $2$ .
12.
Sia $p(x) = 4 - x$ per $x \le 2$ e $p(x) = x^2 + 1$ per $x > 2$ . Quanto è grande il salto in $x = 2$ (limite destro meno limite sinistro)?
Risposta: 3
1. Trova $\lim_{x \to 2^-} p(x)$ 2
2. Trova $\lim_{x \to 2^+} p(x)$ 5
3. Quanto vale $p(2)$ ? 2
4. Limite destro meno limite sinistro: 3
13.
Sia $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ per $x < 1$ e $f(x) = 3x - 1$ per $x \ge 1$ . Trova $\lim_{x \to 1} f(x)$ .
Risposta: 2
1. Per $x < 1$ : $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + \square$ . Che cosa va nel riquadro? 1
2. Trova $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ 2
3. Trova $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ 2
4. Quanto vale $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? 2
14.
Sia $f(x) = kx + 1$ per $x < 2$ e $f(x) = x^2 + 3$ per $x \ge 2$ . Trova $k$ in modo che $\lim_{x \to 2} f(x)$ esista.
Risposta: 3
1. Trova $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ 7
2. Il limite sinistro è $2k + 1$ . Da $2k + 1 = 7$ , quanto vale $2k$ ? 6
3. Quanto vale $k$ ? 3
15.
Esiste $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ ?
Risposta: Il limite non esiste: da sinistra $-6$ , da destra $6$ .
1. Trova $\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ 6
2. Trova $\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ -6
3. Il limite da entrambi i lati esiste? no
16.
Sia $f(x) = cx$ per $x < 2$ e $f(x) = x^2 + c$ per $x \ge 2$ . Per quale valore di $c$ esiste $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)8
3. c)-4
4. d)4
Risposta: 4
Limite sinistro: $2c$ . Limite destro: $2^2 + c = 4 + c$ . Da $2c = 4 + c$ si ottiene $c = 4$ . Verifica: sinistra $8$ , destra $8$ .
17.
Trova $\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 - 16}{|x - 4|}$ .
Risposta: -8
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ . Per $x < 4$ , $\frac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 4)} = -(x + 4) \to -8$ .
18.
Sia $f(x) = x^2$ per $x < 1$ , $f(x) = 2x - 1$ per $1 \le x < 3$ e $f(x) = 10 - x$ per $x \ge 3$ . Trova $\lim_{x \to 1} f(x)$ , poi il salto in $x = 3$ (limite destro meno limite sinistro).
Risposta: 2
1. Trova $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ 1
2. Trova $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ 1
3. I due lati coincidono. Quanto vale $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? 1
4. Trova $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ 5
5. Trova $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ 7
6. Limite destro meno limite sinistro in $x = 3$ : 2