Guida per l'insegnante: Limite destro e limite sinistro

Impara a trovare il limite sinistro e il limite destro da grafici e funzioni definite a tratti, e a decidere quando un limite esiste.

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10 domande su Limiti. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Tradurre $x \to a^-$ e $x \to a^+$ in valori concreti di $x$ dal lato giusto di $a$ (come $2{,}99$ e $3{,}01$ per $a = 3$ )
Leggere limite sinistro e limite destro su un grafico con pallini vuoti e pieni
Calcolare i limiti unilaterali di funzioni definite a tratti e di espressioni con valore assoluto
Decidere se un limite esiste confrontando i limiti unilaterali
Trovare una costante che renda uguali i limiti unilaterali di una funzione definita a tratti

Prerequisiti

• Introduzione ai limiti e Notazione dei limiti (il significato di $\lim_{x \to a} f(x)$ )
• Calcolare i limiti dal grafico e Calcolare i limiti con la tabella dei valori
• Limiti per sostituzione diretta
• Funzioni definite a tratti e valore assoluto

Spunti di discussione

1. Perché una funzione può avere un valore in $x = a$ ma non avere limite lì?
2. La tariffa di un parcheggio salta a ogni ora piena. Che cosa dicono il limite sinistro e il limite destro a un'automobilista?
3. Sai disegnare un grafico in cui entrambi i limiti unilaterali in $x = 2$ valgono $3$ , ma $f(2) = 5$ ?
4. Perché serve la parola "e" nella regola: il limite esiste se entrambi i limiti unilaterali esistono e sono uguali?

Idee sbagliate comuni

Il limite è l'ordinata del pallino pieno

Rimedio: Mostra l'esempio 3: il grafico si avvicina a $4$ da entrambi i lati mentre $g(2) = 7$ . Fai coprire il punto $x = a$ con un dito e chiedi verso quale altezza va ciascun lato.

$a^-$ indica un numero negativo

Rimedio: Scrivi alla lavagna $3^- \to 2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ e $3^+ \to 3{,}1$ ; $3{,}01$ ; $3{,}001$ . Fai notare che $3^-$ è ancora vicino a $+3$ .

Se esistono entrambi i limiti unilaterali, il limite esiste

Rimedio: Usa $\frac{|x|}{x}$ : entrambi i limiti unilaterali esistono ( $-1$ e $1$ ), eppure non c'è un unico valore. Sottolinea che i due numeri devono anche essere uguali.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Iniziare con funzioni a gradini con tratti orizzontali, così ogni limite unilaterale si legge direttamente
• Usare tabelle dei valori con $x = 0{,}9$ ; $0{,}99$ ; $0{,}999$ e $1{,}1$ ; $1{,}01$ ; $1{,}001$ accanto al grafico
• Colorare il tratto sinistro e quello destro con colori diversi

Per studenti a livello:

• Calcolare limiti unilaterali di funzioni a tratti date solo con formule
• Semplificare $\frac{|x - a|}{x - a}$ ed espressioni simili su ciascun lato
• Spiegare a parole perché un limite esiste o non esiste

Per studenti avanzati:

• Trovare costanti che diano a una funzione a tratti un limite nel punto di raccordo
• Studiare funzioni con tre tratti e due punti di raccordo
• Anticipazione: confrontare $\lim_{x \to 0^-}$ e $\lim_{x \to 0^+}$ di $\frac{|x|}{x}$ con le pendenze di $|x|$ su ciascun lato

Allineamento agli standard

AP Calculus LIM-1.A (AP.CALC.LIM-1.A)
Rappresentare i limiti con la notazione corretta, compresi i limiti unilaterali
AP Calculus LIM-1.C (AP.CALC.LIM-1.C)
Stimare i limiti di funzioni da grafici e tabelle, compresi i limiti unilaterali
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Rappresentare graficamente funzioni definite a tratti, comprese le funzioni a gradini e le funzioni valore assoluto

Risorse della lezione

visualGrafico con cursore del salto
Sposta il cursore $b$ per traslare il tratto destro; il pannello dei limiti mostra quando i due lati si incontrano
activitySinistra o destra?
Gli studenti dividono schede con valori di $x$ come $2{,}99$ e $3{,}01$ nei gruppi $x \to 3^-$ e $x \to 3^+$
worksheetEsercizi sui limiti a tratti
Trovare limite sinistro, destro e in $a$ di funzioni a tratti e con valore assoluto

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Un limite unilaterale guarda una funzione da un solo lato di un punto.

Il limite sinistro $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ significa: quando $x$ si avvicina ad $a$ con valori minori di $a$ (per esempio $1{,}9$ ; $1{,}99$ ; $1{,}999$ per $a = 2$ ), $f(x)$ si avvicina a $L$ .
Il limite destro $\lim_{x \to a^+} f(x) = M$ significa: quando $x$ si avvicina ad $a$ con valori maggiori di $a$ (per esempio $2{,}1$ ; $2{,}01$ ; $2{,}001$ ), $f(x)$ si avvicina a $M$ .

Conosci già questa notazione dalla lezione Notazione dei limiti: il piccolo segno indica il lato e non fa parte del numero, quindi

3^-

non è

-3

. In questa lezione calcoli questi limiti e li usi per decidere se

\lim_{x \to a} f(x)

esiste.

La regola fondamentale collega i limiti unilaterali e il limite (da entrambi i lati):

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = L \text{ e } \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Se i due limiti unilaterali sono diversi, il limite in

a

non esiste. Il valore

f(a)

non conta mai per questi limiti: la funzione può non essere definita in

a

oppure avere lì un valore completamente diverso.

Esempi svolti

Il grafico di $f$ mostra la retta $y = x + 1$ per $x < 1$ (pallino vuoto in $(1, 2)$ ) e la retta $y = x + 3$ per $x \ge 1$ (pallino pieno in $(1, 4)$ ). Trova $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ e $\lim_{x \to 1} f(x)$ .

Segui il grafico da sinistra

Percorri la parte sinistra verso $x = 1$ : le altezze si avvicinano al pallino vuoto in $y = 2$ → $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$

Segui il grafico da destra

Percorri la parte destra verso $x = 1$ : le altezze si avvicinano a $y = 4$ → $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$

Confronta i due lati

$2 \neq 4$ , quindi il grafico fa un salto in $x = 1$ → I limiti unilaterali sono diversi

Decidi sul limite in $1$

Limiti unilaterali diversi significano che non c'è un unico valore a cui la funzione si avvicina. Il pallino pieno $f(1) = 4$ non cambia nulla → $\lim_{x \to 1} f(x)$ non esiste

Risposta: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ , quindi $\lim_{x \to 1} f(x)$ non esiste (anche se $f(1) = 4$ ).

Errori comuni

Prendere il pallino pieno $f(a)$ come limite

Perché è sbagliato: Un limite descrive le altezze a cui il grafico si avvicina vicino ad $a$ , non l'altezza in $a$ . Nell'esempio 1, $f(1) = 4$ , ma da sinistra il grafico si avvicina a $2$ .

Corretto: Segui ogni lato del grafico fino ad $a$ e ignora il punto in $x = a$ . Usa $f(a)$ solo quando la domanda chiede il valore della funzione.

Leggere $x \to 3^-$ come " $x$ tende a $-3$ "

Perché è sbagliato: Il piccolo segno meno è scritto dopo il numero, come esponente. Indica il lato, non il segno del numero.

Corretto: $x \to 3^-$ significa $x = 2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ ; ... (valori minori di $3$ ). $x \to 3^+$ significa $x = 3{,}1$ ; $3{,}01$ ; $3{,}001$ ; ...

Usare per entrambi i lati il tratto che contiene $x = a$

Perché è sbagliato: In $f(x) = x + 1$ per $x < 1$ e $f(x) = x + 3$ per $x \ge 1$ , il tratto $x + 3$ descrive solo il lato destro. Il lato sinistro è sempre dato dal tratto per $x < 1$ .

Corretto: Per $x \to a^-$ usa la formula per i valori appena sotto $a$ ; per $x \to a^+$ quella per i valori appena sopra $a$ . Il segno $\le$ o $\ge$ decide solo $f(a)$ .

Dire che il limite esiste perché esistono entrambi i limiti unilaterali

Perché è sbagliato: Nell'esempio 1 esistono entrambi i limiti unilaterali ( $2$ e $4$ ), ma sono numeri diversi, quindi non c'è un unico valore $L$ .

Corretto: Il limite in $a$ esiste solo se entrambi i limiti unilaterali esistono e sono uguali.

Perché è importante

I limiti unilaterali sono lo strumento per le funzioni che cambiano regola in un punto:

Funzioni definite a tratti: scaglioni fiscali, tariffe telefoniche e prezzi di spedizione cambiano formula in certi valori, e devi studiare ogni lato separatamente
Salti: una tariffa di parcheggio che passa da 3 € a 5 € dopo un'ora ha limite sinistro e limite destro diversi
Valori assoluti: espressioni come $\frac{|x|}{x}$ si comportano diversamente per $x$ negativi e positivi
Continuità: nelle lezioni Continuità e Tipi di discontinuità userai i limiti unilaterali per classificare ogni interruzione di un grafico
Analisi: le derivate di funzioni come $|x|$ si studiano con limite destro e limite sinistro

Quando un grafico ha un'interruzione, la prima domanda è sempre: che cosa succede a sinistra, e che cosa succede a destra?

Applicazioni nel mondo reale

Tariffe dei parcheggi

Molti parcheggi fanno pagare ogni ora iniziata, quindi il prezzo fa un salto a ogni ora piena. I limiti unilaterali descrivono il prezzo appena prima e appena dopo il salto.

Esempio:

Un parcheggio costa $P(t) = 3$ € per $0 < t \le 1$ ora e $P(t) = 5$ € per $1 < t \le 2$ ore. Appena prima di un'ora paghi 3 €, appena dopo 5 €.

1Provaci tu stesso

Il parcheggio usa $P(t) = 3$ per $0 < t \le 1$ e $P(t) = 5$ per $1 < t \le 2$ ( $t$ in ore, prezzo in €).

Di quanti euro salta il prezzo in $t = 1$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Limite destro meno limite sinistro in $t = 1$ :

Costruire una rampa senza gradino

Chi collega una rampa a una piattaforma deve fare in modo che le altezze dei due lati coincidano. Altrimenti resta un gradino su cui si può inciampare.

Esempio:

Una rampa ha altezza $h(x) = 0{,}2x$ metri per $0 \le x < 5$ , e in $x = 5$ inizia una piattaforma di altezza costante $c$ . Rampa e piattaforma si uniscono senza gradino esattamente quando $\lim_{x \to 5^-} h(x) = c$ .

2Provaci tu stesso

La rampa ha altezza $h(x) = 0{,}2x$ per $0 \le x < 5$ e la piattaforma altezza $c$ per $x \ge 5$ (tutte le lunghezze in metri).

Quale altezza $c$ della piattaforma evita il gradino in $x = 5$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

L'altezza della piattaforma deve essere uguale al limite sinistro in $x = 5$ :

Piani dati per il cellulare

Un piano dati ha spesso un prezzo fisso fino a una soglia e poi un supplemento per ogni gigabyte. I limiti unilaterali mostrano se il prezzo fa un salto alla soglia.

Esempio:

Un piano costa $C(g) = 10$ € per $0 \le g \le 5$ GB e $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ € per $g > 5$ . Appena sopra 5 GB il prezzo comincia a salire, ma parte da 10.

3Provaci tu stesso

Il piano costa $C(g) = 10$ per $0 \le g \le 5$ e $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ per $g > 5$ ( $g$ in GB, prezzo in €).

Quanto vale $\lim_{g \to 5} C(g)$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Trova entrambi i limiti unilaterali in $g = 5$ e confrontali:

Punti chiave

1 $\lim_{x \to a^-} f(x)$ è il limite sinistro: $x$ si avvicina ad $a$ con valori minori di $a$
2 $\lim_{x \to a^+} f(x)$ è il limite destro: $x$ si avvicina ad $a$ con valori maggiori di $a$
3 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ esattamente quando entrambi i limiti unilaterali esistono e valgono entrambi $L$
4Se i limiti unilaterali sono diversi (un salto), il limite in $a$ non esiste
5In una funzione definita a tratti, usa a sinistra il tratto per i valori appena sotto $a$ e a destra il tratto per i valori appena sopra $a$
6Il valore $f(a)$ (pallino vuoto o pieno) non cambia mai un limite

Domande frequenti

Può esistere un limite unilaterale quando il limite in $a$ non esiste?

Sì, ed è il caso tipico di un salto. Per

\frac{|x|}{x}

0

esistono entrambi i limiti unilaterali (

-1

1

), ma il limite in

0

non esiste, perché sono diversi.

È il pallino pieno o il pallino vuoto a decidere il limite?

Nessuno dei due. Pallini vuoti e pieni mostrano solo il valore

f(a)

. I limiti vengono dalla curva su ciascun lato, mentre si avvicina a

x = a

E se la funzione è definita solo da un lato?

Allora ha senso un solo limite unilaterale. Per

\sqrt{x}

0

non ci sono valori a sinistra, quindi usiamo

\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0

. Al bordo del dominio, il limite unilaterale è la domanda naturale.

Un limite unilaterale può essere infinito?

Sì. Per esempio

\frac{1}{x}

cresce senza limite per

x \to 0^+

. Questi casi sono trattati nella lezione Limiti infiniti; in questa lezione tutti i limiti unilaterali sono numeri.

Glossario

Limite unilaterale: Un limite che usa solo valori di $x$ da un lato di $a$
Limite sinistro: Il valore a cui si avvicina $f(x)$ per $x \to a^-$ , con valori minori di $a$
Limite destro: Il valore a cui si avvicina $f(x)$ per $x \to a^+$ , con valori maggiori di $a$
Limite in $a$ (da entrambi i lati): Il limite usuale $\lim_{x \to a} f(x)$ ; esiste solo se limite sinistro e limite destro sono uguali
Funzione definita a tratti: Una funzione data da formule diverse su intervalli diversi di $x$
Discontinuità di salto: Un'interruzione in cui entrambi i limiti unilaterali esistono ma sono diversi, così il grafico fa un salto

Scheda formule

Limite sinistro

\lim_{x \to a^-} f(x)

$x$ si avvicina ad $a$ da sinistra (valori minori di $a$)

Limite destro

\lim_{x \to a^+} f(x)

$x$ si avvicina ad $a$ da destra (valori maggiori di $a$)

Quando il limite esiste

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Entrambi i limiti unilaterali devono esistere ed essere uguali

Valore assoluto per lati

|x - a| = x - a

per

x > a

|x - a| = -(x - a)

per

x < a

Usala per semplificare le espressioni con valore assoluto su ciascun lato

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Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Tariffe dei parcheggi

Costruire una rampa senza gradino

Piani dati per il cellulare

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Limite sinistro

Limite destro

Quando il limite esiste

Valore assoluto per lati

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