Proprietà dei logaritmi

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quanto vale $\log_6 1$ ?
1. a)non esiste
2. b)0
3. c)6
4. d)1
Risposta: 0
$6^0 = 1$ , quindi $\log_6 1 = 0$ . Il logaritmo di $1$ vale $0$ per ogni base ammessa.
2.
Calcola $\log_8 8$ .
Risposta: 1
$8^1 = 8$ , quindi $\log_8 8 = 1$ . Il logaritmo della base vale sempre $1$ .
3.
Calcola $\log_5 1 + \log_5 5 + \log_5 25$ .
Risposta: 3
1. Quanto vale $\log_5 1$ ? 0
2. Quanto vale $\log_5 5$ ? 1
3. Scrivi $25$ come potenza di $5$ . Quanto vale $\log_5 25$ ? 2
4. Somma i tre valori. 3
4.
Semplifica $\log_3(3^7)$ .
Risposta: 7
La base del logaritmo e la base della potenza sono entrambe $3$ , quindi si annullano e resta l'esponente: $\log_3(3^7) = 7$ .
5.
Semplifica $5^{\log_5 9}$ .
1. a)9
2. b)45
3. c)5
4. d) $\log_5 9$
Risposta: 9
$\log_5 9$ è l'esponente che trasforma $5$ in $9$ . Elevando $5$ a quell'esponente si ottiene $9$ .
6.
Calcola $\log 10000$ (logaritmo decimale, base 10).
Risposta: 4
1. Scrivi $10000$ come potenza di $10$ : $10000 = 10^{?}$ 4
2. Usa $\log(10^x) = x$ : quanto vale $\log 10000$ ? 4
7.
Calcola $\log_2 32$ .
Risposta: 5
$32 = 2^5$ , quindi $\log_2 32 = \log_2(2^5) = 5$ .
8.
Quale di questi logaritmi non esiste?
1. a) $\log_5 5$
2. b) $\log_3(-9)$
3. c) $\log_4 \frac{1}{4}$
4. d) $\log_2 1$
Risposta: $\log_3(-9)$
L'argomento $-9$ è negativo e nessuna potenza di $3$ è negativa, quindi $\log_3(-9)$ non esiste. Gli altri valgono $0$ , $-1$ e $1$ .
9.
Per quali $x$ esiste $\log_3(x - 4)$ ? Trova il più piccolo numero intero $x$ ammesso.
Risposta: 5
1. L'argomento $x - 4$ deve essere maggiore di quale numero? 0
2. Risolvi $x - 4 > 0$ : $x$ deve essere maggiore di quale numero? 4
3. Qual è il più piccolo numero intero $x$ ammesso? 5
10.
Calcola $\log_5 \frac{1}{25}$ .
Risposta: -2
$\frac{1}{25} = 5^{-2}$ , quindi $\log_5 \frac{1}{25} = \log_5(5^{-2}) = -2$ . L'argomento è positivo, il valore è negativo.
11.
Semplifica $2^{\log_2 5} \cdot 3^{\log_3 4}$ .
Risposta: 20
1. Quanto vale $2^{\log_2 5}$ ? 5
2. Quanto vale $3^{\log_3 4}$ ? 4
3. Moltiplica i due risultati. 20
12.
Se $\log_4 M = \log_4 20$ , quanto vale $M$ ?
1. a)4
2. b)5
3. c)20
4. d)80
Risposta: 20
Con la stessa base, logaritmi uguali significano argomenti uguali, quindi $M = 20$ .
13.
Risolvi $\log_3(x + 4) = \log_3 10$ .
Risposta: 6
1. Uguaglia gli argomenti: $x + 4 = ?$ 10
2. Ricava $x$ . 6
3. Controllo: quanto vale l'argomento $x + 4$ per questo $x$ ? 10
14.
Calcola $\log_3 \frac{1}{9} + 6^{\log_6 11}$ .
Risposta: 9
1. Scrivi $\frac{1}{9}$ come potenza di $3$ : $\frac{1}{9} = 3^{?}$ . Quanto vale quindi $\log_3 \frac{1}{9}$ ? -2
2. Quanto vale $6^{\log_6 11}$ ? 11
3. Somma i due valori. 9
15.
Quale affermazione è vera per ogni base ammessa $b$ ?
1. a) $\log_b 0 = 0$
2. b) $\log_b(b^x) = x$ per ogni $x$ reale
3. c) $\log_b 1 = 1$
4. d) $b^{\log_b x} = x$ per ogni $x$ reale
Risposta: $\log_b(b^x) = x$ per ogni $x$ reale
$\log_b(b^x) = x$ vale per ogni $x$ reale, perché $b^x$ è sempre positivo. $\log_b 1 = 0$ , non $1$ ; $b^{\log_b x} = x$ richiede $x > 0$ ; e $\log_b 0$ non esiste.
16.
Calcola $\log_2(8^4)$ . Prima scrivi $8$ come potenza di $2$ .
Risposta: 12
$8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$ , quindi $\log_2(8^4) = \log_2(2^{12}) = 12$ .
17.
Risolvi $\log_5(x^2 - 6) = \log_5 x$ .
Risposta: 3
1. Uguagliando gli argomenti si ottiene $x^2 - x - 6 = 0$ . Qual è la radice positiva? 3
2. Qual è la radice negativa? -2
3. Quanti dei due candidati rendono positivi entrambi gli argomenti? 1
4. Qual è la soluzione dell'equazione? 3
18.
Calcola $\log_4 8$ scrivendo $8$ come potenza di $4$ .
Risposta: 3/2
1. Scrivi $2$ come potenza di $4$ : $2 = 4^{?}$ (come frazione, per esempio 1/3) 1/2
2. Ora $8 = 2^3 = 4^{?}$ (come frazione) 3/2
3. Usa $\log_b(b^x) = x$ : quanto vale $\log_4 8$ ? 3/2