Guida per l'insegnante: Logaritmo naturale (ln)

Impara che cosa significa ln x, perché ln e = 1 e ln 1 = 0, come ln annulla e^x e come risolvere equazioni come e^x = 20 con la calcolatrice.

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10 domande su Logaritmi. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Definire il logaritmo naturale come il logaritmo in base $e$
Passare da $\ln x = y$ a $e^y = x$ e viceversa
Usare $\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$ , $\ln(e^x) = x$ ed $e^{\ln x} = x$ per semplificare espressioni
Calcolare logaritmi naturali con la calcolatrice e verificare il risultato
Risolvere semplici equazioni esponenziali della forma $ae^{kx} = b$ usando $\ln$

Prerequisiti

• La base naturale e: il numero $e \approx 2{,}71828$ e la funzione $e^x$
• Crescita e decrescita continue: modelli della forma $A = Pe^{rt}$
• Definizione di logaritmo: $\log_b y = x$ significa $b^x = y$
• Logaritmo decimale (base 10): il tasto LOG della calcolatrice

Spunti di discussione

1. La tua calcolatrice ha due tasti per i logaritmi, LOG e LN. Secondo te, perché ai matematici servono entrambi?
2. Senza calcolatrice, tra quali due numeri interi si trova $\ln 10$ ? Come lo sai?
3. Perché $\ln x$ è negativo quando $x$ è compreso tra 0 e 1?
4. Se $e^x$ e $\ln x$ si annullano a vicenda, come dovrebbe apparire un grafico rispetto all'altro?

Idee sbagliate comuni

$\ln$ è un numero che moltiplica $x$ (leggere $\ln x$ come $\ln \cdot x$ )

Rimedio: Sottolinea che $\ln$ è una funzione, come $\sqrt{\phantom{x}}$ . Leggi sempre $\ln x$ come una domanda: " $e$ elevato a che cosa dà $x$ ?" All'inizio scrivi $\ln(x)$ con le parentesi.

Il $\ln$ di un numero piccolo non può essere negativo

Rimedio: Mostra la tabella dei valori: $\ln 0{,}5 \approx -0{,}693$ perché $e^{-0{,}693} \approx 0{,}5$ . Gli esponenti negativi danno risultati tra 0 e 1, quindi il ln di questi numeri è negativo.

$e^x = k$ si risolve dividendo $k$ per $e$

Rimedio: Confronta con $x^2 = 9$ : un quadrato si annulla con la radice quadrata, non dividendo per 2. Allo stesso modo, $e^x$ si annulla con $\ln$ .

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Partire da una tabella di potenze di $e$ ( $e^0 = 1$ , $e^1 \approx 2{,}718$ , $e^2 \approx 7{,}389$ ) e leggere i valori di ln al contrario
• Esercitarsi solo sulle regole $\ln(e^x) = x$ ed $e^{\ln x} = x$ prima di usare la calcolatrice
• Usare una tabella a due colonne: forma esponenziale e forma ln

Per studenti a livello:

• Calcolare valori di ln con la calcolatrice e verificarli con $e^x$
• Risolvere equazioni della forma $ae^{kx} = b$
• Applicare $\ln$ a situazioni di crescita e decrescita continue

Per studenti avanzati:

• Spiegare la regola del 70 per il tempo di raddoppio usando $\ln 2 \approx 0{,}693$
• Confrontare $\ln x$ e $\log x$ per gli stessi valori e trovare il rapporto costante tra loro
• Indagare perché $\ln x$ cresce così lentamente: quanto deve essere grande $x$ perché $\ln x = 10$ ?

Allineamento agli standard

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Esprimere la soluzione di modelli esponenziali come logaritmo (base 2, 10 o e) e calcolarla con strumenti digitali
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprendere la relazione inversa tra potenze e logaritmi
HSF-BF.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.4)
Determinare funzioni inverse

Risorse della lezione

visualGrafici allo specchio
Grafico interattivo di $y = e^x$ e $y = \ln x$ , simmetrici rispetto alla retta $y = x$ , con punti corrispondenti
activityAbbinamento di coppie inverse
Abbinare carte come $\ln(e^4)$ , $e^{\ln 9}$ , $\ln 1$ e $\ln e$ ai loro valori
worksheetQuando succede?
Problemi di crescita e decrescita continue risolti con $\ln$ : batteri, risparmio, medicina

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Il logaritmo naturale è il logaritmo in base

e

, dove

e \approx 2{,}71828

è il numero di Nepero (o di Eulero). Invece di scrivere

\log_e x

, scriviamo

\ln x

(si legge "logaritmo naturale di x" o "elle enne di x").

\ln x = \log_e x

Come ogni logaritmo,

\ln x

risponde a una domanda: **"A quale potenza devo elevare

e

per ottenere

x

?"**

\ln x = y \iff e^y = x

Due valori da sapere a memoria:

$\ln 1 = 0$ , perché $e^0 = 1$
$\ln e = 1$ , perché $e^1 = e$

ln annulla e^x (e viceversa): la funzione

y = \ln x

è la funzione inversa di

y = e^x

, quindi

\ln(e^x) = x \quad \text{e} \quad e^{\ln x} = x \; (x > 0)

L'argomento deve essere positivo:

\ln x

esiste solo per

x > 0

, perché

e^y

non è mai zero né negativo. Il dominio di

y = \ln x

è quindi

x > 0

Esempi svolti

Calcola $\ln(e^5)$ senza calcolatrice.

Riformulare come domanda

$\ln(e^5)$ chiede: a quale potenza devo elevare $e$ per ottenere $e^5$ ? → $e^{?} = e^5$

Leggere l'esponente

La potenza che trasforma $e$ in $e^5$ è $5$ → $? = 5$

Usare la regola dell'inversa

$\ln$ annulla $e^x$ : $\ln(e^x) = x$ → $\ln(e^5) = 5$

Risposta: $\ln(e^5) = 5$

Errori comuni

Scrivere $\ln 1 = 1$ oppure $\ln e = 0$

Perché è sbagliato: È facile scambiare i due valori chiave. $\ln$ restituisce un esponente, non il numero stesso.

Corretto: $\ln 1 = 0$ perché $e^0 = 1$ , e $\ln e = 1$ perché $e^1 = e$ .

Calcolare il $\ln$ di zero o di un numero negativo, come $\ln 0$ o $\ln(-3)$

Perché è sbagliato: $e^y$ è sempre positivo, qualunque sia $y$ . Nessuna potenza di $e$ dà $0$ o un numero negativo.

Corretto: $\ln x$ esiste solo per $x > 0$ . La calcolatrice segnala un errore per $\ln 0$ e $\ln(-3)$ .

Premere LOG invece di LN sulla calcolatrice

Perché è sbagliato: LOG è il logaritmo decimale (base 10), LN è il logaritmo naturale (base $e$ ). Danno risultati diversi.

Corretto: $\log 10 = 1$ , ma $\ln 10 \approx 2{,}303$ . Usa LN ogni volta che la base è $e$ .

Risolvere $e^x = 20$ dividendo: $x = \frac{20}{e}$

Perché è sbagliato: $x$ è un esponente, non un fattore. Dividere per $e$ non annulla l'elevamento a potenza.

Corretto: Annulla $e^x$ con $\ln$ : $x = \ln 20 \approx 2{,}996$ .

Perché è importante

Il numero

e

compare ogni volta che qualcosa cresce o diminuisce in modo continuo, e

\ln

è lo strumento che fa scendere il tempo o il tasso dall'esponente:

Crescita continua: se dei batteri crescono secondo $N = 500e^{0{,}4t}$ , $\ln$ ti dice quando saranno 2000.
Denaro: con la capitalizzazione continua $A = Pe^{rt}$ , il tempo di raddoppio è $t = \frac{\ln 2}{r}$ .
Medicina: per quanto tempo un farmaco resta sopra un livello sicuro nel sangue si calcola con $\ln$ .
Scienze e analisi: $\ln x$ compare in fisica, in chimica e in ogni corso di analisi, perché $e^x$ e $\ln x$ hanno le derivate più semplici.

Senza

\ln

, un'equazione come

e^x = 20

si potrebbe risolvere solo per tentativi. Con

\ln

basta un passaggio:

x = \ln 20 \approx 2{,}996

Applicazioni nel mondo reale

Biologia: quando la coltura raggiungerà l'obiettivo?

Una coltura di batteri con molto nutrimento cresce in modo continuo secondo $N = N_0 e^{rt}$. Per sapere QUANDO raggiunge una certa dimensione, serve $\ln$ per far scendere $t$ dall'esponente.

Esempio:

Con $N = 1000e^{0{,}3t}$ , la coltura arriva a 3000 quando $e^{0{,}3t} = 3$ , cioè $0{,}3t = \ln 3$ e $t = \frac{\ln 3}{0{,}3} \approx 3{,}66$ ore.

1Provaci tu stesso

Una coltura parte da 500 batteri e cresce secondo $N = 500e^{0{,}4t}$ , con $t$ in ore.

Dopo quante ore ci sono 2000 batteri? Arrotonda a 2 cifre decimali.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $t = \frac{\ln 4}{0{,}4}$ :

Finanza: tempo di raddoppio con interesse continuo

Le banche confrontano le offerte di risparmio con la capitalizzazione continua, $A = Pe^{rt}$. Il tempo necessario per raddoppiare il capitale è $t = \frac{\ln 2}{r}$.

Esempio:

Al 7 % con capitalizzazione continua, il capitale raddoppia in $\frac{\ln 2}{0{,}07} \approx 9{,}90$ anni. Poiché $\ln 2 \approx 0{,}693$ , i banchieri usano la "regola del 70": 70 diviso il tasso in percentuale.

2Provaci tu stesso

Investi 1000 € al 5 % con capitalizzazione continua, quindi $A = 1000e^{0{,}05t}$ .

Dopo quanti anni avrai 2000 €? Arrotonda a 2 cifre decimali.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $t = \frac{\ln 2}{0{,}05}$ :

Medicina: quanto resta un farmaco nel sangue

Molti farmaci vengono eliminati in modo continuo, quindi la quantità nel sangue segue $C = C_0 e^{-kt}$. I medici usano $\ln$ per capire quando dare la dose successiva.

Esempio:

Un farmaco con $k = 0{,}25$ all'ora ha un tempo di dimezzamento di $\frac{\ln 2}{0{,}25} \approx 2{,}77$ ore: dopo questo tempo ne resta metà.

3Provaci tu stesso

Una paziente prende 100 mg di un farmaco. La quantità rimasta dopo $t$ ore è $C = 100e^{-0{,}25t}$ .

Dopo quante ore restano 40 mg? Arrotonda a 2 cifre decimali.

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $t = \frac{\ln 0{,}4}{-0{,}25}$ :

Punti chiave

1Il logaritmo naturale è il logaritmo in base $e \approx 2{,}71828$ : $\ln x = \log_e x$
2 $\ln x = y$ significa $e^y = x$ : ln dà la potenza di $e$ che produce $x$
3Valori chiave: $\ln 1 = 0$ e $\ln e = 1$
4 $\ln$ ed $e^x$ sono funzioni inverse: $\ln(e^x) = x$ ed $e^{\ln x} = x$ per $x > 0$
5 $\ln x$ esiste solo per $x > 0$ ; è negativo per $0 < x < 1$ e positivo per $x > 1$
6Per risolvere $e^x = k$ (con $k > 0$ ), applica ln a entrambi i membri: $x = \ln k$

Domande frequenti

Perché si chiama logaritmo naturale?

Perché la sua base

e

compare in modo naturale: nella crescita continua, nella capitalizzazione continua e in analisi, dove

e^x

\ln x

hanno le velocità di variazione più semplici. La "n" di

\ln

viene dal latino "logarithmus naturalis".

ln è la stessa cosa di log?

No.

\log x

(logaritmo decimale) ha base 10, mentre

\ln x

ha base

e

. Per esempio,

\log 100 = 2

\ln 100 \approx 4{,}605

. Entrambi rispondono allo stesso tipo di domanda, cambia solo la base.

Perché la mia calcolatrice dà errore con ln(0)?

Perché

e^y

è sempre positivo: non esiste una potenza di

e

che valga

0

o un numero negativo. Il grafico di

y = \ln x

sta solo a destra dell'asse

y

, che è un asintoto verticale.

Che legame c'è tra i grafici di $y = e^x$ e $y = \ln x$ ?

Sono simmetrici rispetto alla retta

y = x

, perché sono funzioni inverse. Il punto

(0, 1)

y = e^x

corrisponde al punto

(1, 0)

y = \ln x

, e

(1, e)

corrisponde a

(e, 1)

Glossario

Logaritmo naturale: Il logaritmo in base $e$ , scritto $\ln x$ ; $\ln x = y$ significa $e^y = x$
Numero di Nepero $e$: Il numero irrazionale $e \approx 2{,}71828$ , base della crescita continua
Funzione inversa: Una funzione che annulla l'effetto di un'altra; $\ln x$ ed $e^x$ sono funzioni inverse
Argomento: Il numero di cui si calcola il logaritmo, la $x$ in $\ln x$ ; deve essere positivo
Dominio: Tutti i valori ammessi della variabile; per $y = \ln x$ è $x > 0$
Equazione esponenziale: Un'equazione con l'incognita all'esponente, come $e^x = 20$

Scheda formule

Definizione

\ln x = \log_e x

Logaritmo in base $e \approx 2{,}71828$

Forma esponenziale

\ln x = y \iff e^y = x

Passare da una forma all'altra

Valori chiave

\ln 1 = 0, \quad \ln e = 1

Perché $e^0 = 1$ ed $e^1 = e$

Regole dell'inversa

\ln(e^x) = x, \quad e^{\ln x} = x

La seconda per $x > 0$

Risolvere $e^x = k$

x = \ln k

Solo per $k > 0$

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Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Biologia: quando la coltura raggiungerà l'obiettivo?

Finanza: tempo di raddoppio con interesse continuo

Medicina: quanto resta un farmaco nel sangue

Punti chiave

Domande frequenti

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Regole dell'inversa

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