Logaritmo naturale (ln)

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Qual è il valore di $\ln 1$ ?
1. a) $0$
2. b) $e$
3. c) $-1$
4. d) $1$
Risposta: $0$
$\ln 1 = 0$ perché $e^0 = 1$ . Ogni numero (tranne 0) elevato a 0 dà 1.
2.
Calcola $\ln(e^7)$ senza calcolatrice.
Risposta: 7
$\ln(e^7)$ chiede quale potenza di $e$ dà $e^7$ . La risposta è l'esponente: $\ln(e^7) = 7$ .
3.
Calcola $\ln(e^{-3}) + \ln(e^{8})$ senza calcolatrice.
Risposta: 5
1. Quanto vale $\ln(e^{-3})$ ? -3
2. Quanto vale $\ln(e^{8})$ ? 8
3. Somma i due risultati. Qual è la somma? 5
4.
Quale espressione significa la stessa cosa di $\ln x$ ?
1. a) $\log_2 x$
2. b) $\log_e x$
3. c) $\log_{10} x$
4. d) $e^x$
Risposta: $\log_e x$
$\ln x$ è il logaritmo in base $e$ , quindi $\ln x = \log_e x$ . $\log_{10} x$ è il logaritmo decimale ed $e^x$ è la funzione inversa di $\ln x$ .
5.
Semplifica $e^{\ln 12}$ .
Risposta: 12
$\ln 12$ è la potenza di $e$ che dà $12$ . Elevando $e$ proprio a quella potenza si ritorna a $12$ : $e^{\ln 12} = 12$ .
6.
Calcola $4\ln e - 3\ln 1$ .
Risposta: 4
1. Quanto vale $\ln e$ ? 1
2. Quanto vale $\ln 1$ ? 0
3. Quanto fa $4 \cdot 1 - 3 \cdot 0$ ? 4
7.
Risolvi $\ln x = 2$ . Scrivi $x$ arrotondato a 2 cifre decimali.
Risposta: 7.39
1. Scrivi in forma esponenziale: $x = e^{\square}$ . Quale numero va nel riquadro? 2
2. Calcola $e^2$ , arrotondato a 2 cifre decimali. 7.39
8.
Quale di queste espressioni non ha un valore reale?
1. a) $\ln(-4)$
2. b) $\ln(e^{-2})$
3. c) $\ln 1$
4. d) $\ln 0{,}5$
Risposta: $\ln(-4)$
$\ln(-4)$ non ha un valore reale perché $e^y$ è sempre positivo. Le altre esistono: $\ln 0{,}5 \approx -0{,}693$ , $\ln 1 = 0$ e $\ln(e^{-2}) = -2$ . Un RISULTATO negativo va bene, solo l'argomento deve essere positivo.
9.
Usa la calcolatrice per trovare $\ln 50$ . Arrotonda a 3 cifre decimali.
Risposta: 3.912
$\ln 50 = 3{,}91202...$ , quindi $\ln 50 \approx 3{,}912$ . Verifica: $e^{3{,}912} \approx 50{,}0$ .
10.
Risolvi $e^x = 15$ . Arrotonda a 3 cifre decimali.
Risposta: 2.708
1. Applica $\ln$ a entrambi i membri: $x = \ln \square$ . Quale numero va nel riquadro? 15
2. Calcola $\ln 15$ , arrotondato a 3 cifre decimali. 2.708
11.
Qual è la soluzione esatta di $e^x = 9$ ?
1. a) $x = \ln 9$
2. b) $x = \frac{9}{e}$
3. c) $x = e^9$
4. d) $x = \log 9$
Risposta: $x = \ln 9$
Applica $\ln$ a entrambi i membri: $\ln(e^x) = \ln 9$ , quindi $x = \ln 9 \approx 2{,}197$ . Dividere per $e$ non annulla una potenza, e $\log 9$ usa la base 10, non $e$ .
12.
Calcola $\ln \sqrt{e}$ . Scrivi il risultato come frazione o come numero decimale.
Risposta: 1/2
$\sqrt{e} = e^{1/2}$ , e $\ln(e^{1/2}) = \frac{1}{2}$ . Quindi $\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2} = 0{,}5$ .
13.
Risolvi $4e^x = 36$ . Arrotonda a 3 cifre decimali.
Risposta: 2.197
1. Dividi entrambi i membri per 4. A che cosa è uguale $e^x$ ? 9
2. Applica $\ln$ a entrambi i membri. Quanto vale $x = \ln 9$ , arrotondato a 3 cifre decimali? 2.197
3. Verifica: quanto vale $4e^{2{,}197}$ , arrotondato all'unità? 36
14.
Calcola $e^{\ln 5} \cdot \ln(e^4)$ senza calcolatrice.
Risposta: 20
1. Quanto vale $e^{\ln 5}$ ? 5
2. Quanto vale $\ln(e^4)$ ? 4
3. Moltiplica i due risultati. Qual è il prodotto? 20
15.
Quale valore di $x$ risolve $e^{2x} = 7$ ?
1. a) $x = 2\ln 7$
2. b) $x = \frac{\ln 7}{2}$
3. c) $x = \frac{7}{2e}$
4. d) $x = \ln \frac{7}{2}$
Risposta: $x = \frac{\ln 7}{2}$
$\ln(e^{2x}) = 2x$ , quindi $2x = \ln 7$ e $x = \frac{\ln 7}{2} \approx 0{,}973$ . Attenzione: $\frac{\ln 7}{2}$ non è uguale a $\ln \frac{7}{2} \approx 1{,}253$ .
16.
Risolvi $e^x = 0{,}2$ . Arrotonda a 3 cifre decimali.
Risposta: -1.609
Applica $\ln$ a entrambi i membri: $x = \ln 0{,}2 = -1{,}60943...$ , quindi $x \approx -1{,}609$ . È negativo perché $0{,}2 < 1$ . Verifica: $e^{-1{,}609} \approx 0{,}200$ .
17.
Risolvi $e^{3x} = 50$ . Arrotonda a 3 cifre decimali.
Risposta: 1.304
1. Applica $\ln$ a entrambi i membri: $3x = \ln 50$ . Quanto vale $\ln 50$ , arrotondato a 4 cifre decimali? 3.9120
2. Dividi per 3. Quanto vale $x$ , arrotondato a 3 cifre decimali? 1.304
18.
La popolazione di una città cresce secondo $P = 2000e^{0{,}03t}$ , con $t$ in anni. Dopo quanti anni raggiungerà 5000 abitanti? Arrotonda a 2 cifre decimali.
Risposta: 30.54
1. Dividi $5000 = 2000e^{0{,}03t}$ per 2000. A che cosa è uguale $e^{0{,}03t}$ ? 2.5
2. Applica $\ln$ a entrambi i membri: $0{,}03t = \ln 2{,}5$ . Quanto vale $\ln 2{,}5$ , arrotondato a 4 cifre decimali? 0.9163
3. Dividi per 0,03. Quanto vale $t$ , arrotondato a 2 cifre decimali? 30.54