Proprietà della potenza dei logaritmi

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale espressione è uguale a $\log_3(x^5)$ per $x > 0$ ?
1. a) $5 \log_3 x$
2. b) $(\log_3 x)^5$
3. c) $\log_3(5x)$
4. d) $\log_3 5 + \log_3 x$
Risposta: $5 \log_3 x$
Per la proprietà della potenza, $\log_3(x^5) = 5 \log_3 x$ . L'espressione $(\log_3 x)^5$ eleva alla quinta tutto il logaritmo, che è diverso.
2.
Calcola $\log_2(8^4)$ .
Risposta: 12
$\log_2(8^4) = 4 \log_2 8 = 4 \cdot 3 = 12$ . Verifica: $8^4 = 2^{12} = 4096$ .
3.
Calcola $\log_3(9^4)$ con la proprietà della potenza.
Risposta: 8
1. La proprietà della potenza dà $4 \log_3 9$ . Quanto vale $\log_3 9$ ? 2
2. Moltiplica: $4 \cdot \log_3 9 = ?$ 8
4.
Quale espressione è uguale a $\log \sqrt{x}$ per $x > 0$ ?
1. a) $2 \log x$
2. b) $\log \frac{x}{2}$
3. c) $\sqrt{\log x}$
4. d) $\frac{1}{2} \log x$
Risposta: $\frac{1}{2} \log x$
$\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$ . Una radice quadrata dimezza il logaritmo, non lo raddoppia.
5.
Calcola $\log_5(25^3)$ .
Risposta: 6
$\log_5(25^3) = 3 \log_5 25 = 3 \cdot 2 = 6$ .
6.
Calcola $\log \sqrt{1000}$ (base 10).
Risposta: 3/2
1. Scrivi $\sqrt{1000} = 1000^k$ . Quanto vale $k$ ? 1/2
2. Quanto vale $\log 1000$ ? 3
3. Proprietà della potenza: calcola $k \cdot \log 1000$ . 3/2
7.
Scrivi $3 \log x - 2 \log y$ come un unico logaritmo.
1. a) $\log(x^3 - y^2)$
2. b) $\frac{\log x^3}{\log y^2}$
3. c) $\log \frac{x^3}{y^2}$
4. d) $\log \frac{3x}{2y}$
Risposta: $\log \frac{x^3}{y^2}$
$3 \log x = \log x^3$ e $2 \log y = \log y^2$ , quindi $3 \log x - 2 \log y = \log x^3 - \log y^2 = \log \frac{x^3}{y^2}$ .
8.
Calcola $\log_4 \sqrt{64}$ . Scrivi il risultato come frazione o come numero decimale.
Risposta: 3/2
$\log_4 \sqrt{64} = \frac{1}{2} \log_4 64 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} = 1{,}5$ . Verifica: $\sqrt{64} = 8$ e $4^{1{,}5} = 8$ .
9.
Sviluppa $\log_2(x^3 y^5)$ nella forma $a \log_2 x + b \log_2 y$ , poi calcolane il valore per $x = 2$ e $y = 4$ .
Risposta: 13
1. Qual è il coefficiente $a$ di $\log_2 x$ ? 3
2. Qual è il coefficiente $b$ di $\log_2 y$ ? 5
3. Con $\log_2 2 = 1$ e $\log_2 4 = 2$ , calcola $3 \cdot 1 + 5 \cdot 2$ . 13
10.
Quale affermazione è vera?
1. a) $3 \log 100 = 8$
2. b) $\log(100^3) = 6$
3. c) $\log(100^3) = 8$
4. d) $(\log 100)^3 = 6$
Risposta: $\log(100^3) = 6$
$\log(100^3) = 3 \log 100 = 3 \cdot 2 = 6$ per la proprietà della potenza. Invece $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$ , perché lì è tutto il logaritmo a essere elevato al cubo.
11.
Se $\log_3 x = 2{,}5$ , quanto vale $\log_3(x^4)$ ?
Risposta: 10
$\log_3(x^4) = 4 \log_3 x = 4 \cdot 2{,}5 = 10$ . Non serve conoscere il valore di $x$ .
12.
Scrivi $2 \log 5 + \log 4$ come un unico logaritmo e calcolane il valore.
Risposta: 2
1. Proprietà della potenza al contrario: $2 \log 5 = \log ?$ 25
2. Proprietà del prodotto: $\log 25 + \log 4 = \log ?$ 100
3. Quanto vale $\log 100$ ? 2
13.
Sviluppa $\ln \dfrac{x^4}{\sqrt{y}}$ nella forma $a \ln x + c \ln y$ , poi calcolane il valore quando $\ln x = 1$ e $\ln y = 6$ .
Risposta: 1
1. Qual è il coefficiente $a$ di $\ln x$ ? 4
2. Qual è il coefficiente $c$ di $\ln y$ ? (Attenzione al segno.) -1/2
3. Calcola $4 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 6$ . 1
14.
Sviluppa $\ln \dfrac{x^2 \sqrt[3]{y}}{z^4}$ (tutte le variabili positive).
1. a) $2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y - 4 \ln z$
2. b) $2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y + 4 \ln z$
3. c) $2 \ln x + 3 \ln y - 4 \ln z$
4. d) $\frac{2}{3} \ln(xy) - 4 \ln z$
Risposta: $2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y - 4 \ln z$
Proprietà del quoziente, del prodotto, poi della potenza: $\ln x^2 + \ln y^{1/3} - \ln z^4 = 2 \ln x + \frac{1}{3} \ln y - 4 \ln z$ .
15.
Usa $\log 2 \approx 0{,}301$ e $\log 3 \approx 0{,}477$ per approssimare $\log 48$ . Scrivi 3 cifre decimali.
Risposta: 1.681
$\log 48 = \log(2^4 \cdot 3) = 4 \log 2 + \log 3 \approx 4 \cdot 0{,}301 + 0{,}477 = 1{,}204 + 0{,}477 = 1{,}681$ .
16.
Calcola $3 \log_2 4 - \frac{1}{2} \log_2 16$ condensandolo in un unico logaritmo.
Risposta: 4
1. $3 \log_2 4 = \log_2 4^3 = \log_2 ?$ 64
2. $\frac{1}{2} \log_2 16 = \log_2 16^{1/2} = \log_2 ?$ 4
3. Proprietà del quoziente: $\log_2 64 - \log_2 4 = \log_2 ?$ 16
4. Quanto vale $\log_2 16$ ? 4
17.
Usa $\ln 2 \approx 0{,}693$ e $\ln 3 \approx 1{,}099$ per approssimare $\ln \sqrt{72}$ . Usa solo questi valori e non arrotondare.
Risposta: 2.1385
1. $72 = 2^a \cdot 3^2$ . Quanto vale $a$ ? 3
2. $\ln 72 = 3 \ln 2 + 2 \ln 3$ . Calcola $3 \cdot 0{,}693 + 2 \cdot 1{,}099$ . 4.277
3. $\ln \sqrt{72} = \frac{1}{2} \ln 72$ . Calcola la metà di $4{,}277$ . 2.1385
18.
Quante cifre ha $3^{50}$ ? Usa $\log 3 \approx 0{,}477$ .
Risposta: 24
1. Proprietà della potenza: $\log(3^{50}) = 50 \log 3$ . Calcola $50 \cdot 0{,}477$ . 23.85
2. Qual è la parte intera di quel risultato? 23
3. Aggiungi 1. Quante cifre ha $3^{50}$ ? 24