Proprietà del quoziente dei logaritmi

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale espressione è uguale a $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ (per $M, N > 0$ )?
1. a) $\log_b M + \log_b N$
2. b) $\log_b M - \log_b N$
3. c) $\dfrac{\log_b M}{\log_b N}$
4. d) $\log_b N - \log_b M$
Risposta: $\log_b M - \log_b N$
Proprietà del quoziente: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ . Il quoziente di logaritmi $\dfrac{\log_b M}{\log_b N}$ è un'altra cosa, e $\log_b N - \log_b M$ ha l'ordine sbagliato.
2.
Sviluppa $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right)$ per $x > 0$ .
1. a) $\log_3 x - \log_3 7$
2. b) $\log_3 7 - \log_3 x$
3. c) $\dfrac{\log_3 x}{\log_3 7}$
4. d) $\log_3(x - 7)$
Risposta: $\log_3 x - \log_3 7$
Il numeratore è $x$ e il denominatore è $7$ , quindi $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right) = \log_3 x - \log_3 7$ .
3.
Calcola $\log_2 48 - \log_2 3$ .
Risposta: 4
$\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2\left(\dfrac{48}{3}\right) = \log_2 16 = 4$ , perché $2^4 = 16$ .
4.
Calcola $\log 5000 - \log 5$ (logaritmo decimale, base 10).
Risposta: 3
$\log 5000 - \log 5 = \log\left(\dfrac{5000}{5}\right) = \log 1000 = 3$ , perché $10^3 = 1000$ .
5.
Calcola $\log_3 162 - \log_3 2$ .
Risposta: 4
1. Condensa: $\log_3 162 - \log_3 2 = \log_3 \square$ . Quale numero va nel riquadro? 81
2. $3^{\square} = 81$ . Qual è l'esponente, cioè quanto vale $\log_3 81$ ? 4
6.
Quale affermazione è vera?
1. a) $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \log 10$
2. b) $\dfrac{\log 100}{\log 10} = 1$
3. c) $\log(100 - 10) = \log 100 - \log 10$
4. d) $\log 100 - \log 10 = \log 10$
Risposta: $\log 100 - \log 10 = \log 10$
$\log 100 - \log 10 = 2 - 1 = 1 = \log 10$ (proprietà del quoziente: $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10$ ). Le altre sono false: $\dfrac{\log 100}{\log 10} = 2$ e $\log 90 \approx 1{,}954 \neq 1$ .
7.
Sai che $\log_2 x = 7$ . Trova $\log_2\left(\dfrac{x}{32}\right)$ .
Risposta: 2
1. Sviluppa: $\log_2\left(\dfrac{x}{32}\right) = \log_2 x - \log_2 32$ . Quanto vale $\log_2 32$ ? 5
2. Sostituisci $\log_2 x = 7$ : quanto fa $7 - 5$ ? 2
8.
Calcola $\log_6 72 - \log_6 2$ .
Risposta: 2
$\log_6 72 - \log_6 2 = \log_6\left(\dfrac{72}{2}\right) = \log_6 36 = 2$ ( $6^2 = 36$ ).
9.
Scrivi $\log 300 - \log 3$ come unico logaritmo e calcolalo.
Risposta: 2
1. $\log 300 - \log 3 = \log \square$ . Quale numero va nel riquadro? 100
2. Quanto vale $\log 100$ ? 2
10.
Scrivi $\log a + \log b - \log c$ come unico logaritmo ( $a, b, c > 0$ ).
1. a) $\log(a + b - c)$
2. b) $\log(abc)$
3. c) $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$
4. d) $\log\left(\dfrac{ac}{b}\right)$
Risposta: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$
Proprietà del prodotto: $\log a + \log b = \log(ab)$ . Proprietà del quoziente: $\log(ab) - \log c = \log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ .
11.
Usa $\log 2 \approx 0{,}3$ e $\log 5 \approx 0{,}7$ (logaritmo decimale, base 10) per calcolare un valore approssimato di $\log\left(\dfrac{2}{5}\right)$ .
Risposta: -0.4
1. $\log\left(\dfrac{2}{5}\right) = \log 2 - \log 5$ . Qual è il valore del primo termine, $\log 2$ ? 0.3
2. Sottrai: quanto fa $0{,}3 - 0{,}7$ ? -0.4
12.
Usa $\log 3 \approx 0{,}477$ e $\log 12 \approx 1{,}079$ (logaritmo decimale, base 10) per calcolare un valore approssimato di $\log 4$ . Scrivi il risultato con 3 cifre decimali.
Risposta: 0.602
$4 = \dfrac{12}{3}$ , quindi $\log 4 = \log 12 - \log 3 \approx 1{,}079 - 0{,}477 = 0{,}602$ (la calcolatrice dà $0{,}60206$ ).
13.
Calcola $\log_2 24 + \log_2 4 - \log_2 3$ .
Risposta: 5
1. Proprietà del prodotto: $\log_2 24 + \log_2 4 = \log_2 \square$ . Quale numero va nel riquadro? 96
2. Proprietà del quoziente: $\log_2 96 - \log_2 3 = \log_2 \square$ . Quale numero va nel riquadro? 32
3. Quanto vale $\log_2 32$ ? 5
14.
Dati $\log_b x = 4$ , $\log_b y = 1{,}5$ e $\log_b z = 2$ , trova $\log_b\left(\dfrac{xy}{z}\right)$ .
Risposta: 3.5
1. Numeratore: $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$ . Qual è il suo valore? 5.5
2. Sottrai $\log_b z$ : quanto fa $5{,}5 - 2$ ? 3.5
15.
Sviluppa completamente $\log_2\left(\dfrac{16}{xy}\right)$ ( $x, y > 0$ ).
1. a) $4 + \log_2 x - \log_2 y$
2. b) $4 - \log_2 x + \log_2 y$
3. c) $4 - \log_2 x - \log_2 y$
4. d) $\dfrac{4}{\log_2 x + \log_2 y}$
Risposta: $4 - \log_2 x - \log_2 y$
$\log_2\left(\dfrac{16}{xy}\right) = \log_2 16 - (\log_2 x + \log_2 y) = 4 - \log_2 x - \log_2 y$
16.
Calcola $\log_5 50 + \log_5 10 - \log_5 4$ .
Risposta: 3
$\log_5 50 + \log_5 10 - \log_5 4 = \log_5\left(\dfrac{500}{4}\right) = \log_5 125 = 3$ ( $5^3 = 125$ )
17.
Dati $\log_b M = 6$ , $\log_b N = 2{,}5$ e $\log_b P = 1$ , trova $\log_b\left(\dfrac{M}{NP}\right)$ .
Risposta: 2.5
1. Denominatore: $\log_b(NP) = \log_b N + \log_b P$ . Qual è il suo valore? 3.5
2. $\log_b\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log_b M - \log_b(NP)$ . Quanto fa $6 - 3{,}5$ ? 2.5
18.
Mostra che $\dfrac{\log 1000}{\log 10}$ non è uguale a $\log\left(\dfrac{1000}{10}\right)$ : quanto vale $\dfrac{\log 1000}{\log 10} - \log\left(\dfrac{1000}{10}\right)$ ?
Risposta: 1
1. Quanto vale $\dfrac{\log 1000}{\log 10}$ ? 3
2. Quanto vale $\log\left(\dfrac{1000}{10}\right)$ ? 2
3. Quanto vale la differenza $3 - 2$ ? 1