Guida per l'insegnante: Proprietà del quoziente dei logaritmi

Scopri perché il logaritmo di un quoziente è una differenza di logaritmi e usa la proprietà per sviluppare e condensare espressioni.

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10 domande su Logaritmi. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Enunciare la proprietà del quoziente dei logaritmi e le condizioni su $M$ , $N$ e la base
Spiegare perché la proprietà deriva dalla proprietà delle potenze $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$
Sviluppare logaritmi di quozienti in differenze, anche insieme alla proprietà del prodotto
Condensare somme e differenze di logaritmi in un unico logaritmo e calcolarlo
Riconoscere e correggere gli errori $\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ e $\log(M - N) = \log M - \log N$

Prerequisiti

• Definizione di logaritmo: $\log_b y = x$ significa $b^x = y$
• Proprietà del prodotto dei logaritmi: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$
• Proprietà delle potenze, soprattutto $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$
• Calcolare logaritmi di potenze esatte come $\log_2 32$ o $\log 1000$

Spunti di discussione

1. La proprietà del prodotto trasforma una moltiplicazione in una somma. Prima di vedere la proprietà del quoziente, che cosa pensi che succeda a una divisione?
2. Perché il riferimento $I_0$ scompare quando si sottraggono due livelli in decibel?
3. $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ è uguale a $\log\left(\dfrac{N}{M}\right)$ ? Che relazione c'è tra i due?
4. Una compagna scrive $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \log 10$ . Come la convinceresti, con un solo calcolo, che è sbagliato?

Idee sbagliate comuni

Pensare che una frazione di due logaritmi si semplifichi come il logaritmo di una frazione

Rimedio: Metti $\dfrac{\log 100}{\log 10}$ e $\log\left(\dfrac{100}{10}\right)$ uno accanto all'altro e calcolali entrambi ( $2$ contro $1$ ). Sottolinea dove si trova la linea di frazione: dentro il logaritmo o tra due logaritmi.

Credere che il logaritmo si distribuisca su una sottrazione, cioè $\log(M - N) = \log M - \log N$

Rimedio: Fai verificare con la calcolatrice ( $\log 90$ contro $1$ ) e confronta con $\sqrt{a - b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}$ . Le proprietà collegano solo operazioni DENTRO il logaritmo (moltiplicare, dividere) con operazioni FUORI (sommare, sottrarre).

Sommare il logaritmo di un secondo fattore del denominatore, come in $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$

Rimedio: Chiedi agli studenti di scrivere prima $\log M - \log(NP)$ con le parentesi e poi di togliere la parentesi. Verifica con numeri come $M = 100$ , $N = 2$ , $P = 5$ .

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Lavorare all'inizio solo con potenze esatte ( $\log_2 32 - \log_2 4$ ) così che ogni passo si possa verificare a mano
• Colorare numeratore e denominatore e usare gli stessi colori per i termini con più e con meno
• Verificare sempre l'espressione riscritta con un esempio alla calcolatrice prima di proseguire

Per studenti a livello:

• Sviluppare quozienti con variabili, come $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right)$
• Combinare la proprietà del quoziente e quella del prodotto nelle due direzioni
• Usare valori dati come $\log_b 2$ e $\log_b 5$ per trovare $\log_b 2{,}5$ o $\log_b 0{,}4$

Per studenti avanzati:

• Dimostrare la proprietà del quoziente a partire da quella del prodotto usando $\dfrac{M}{N} = M \cdot \dfrac{1}{N}$
• Spiegare con la proprietà del quoziente perché il grafico di $y = \log\left(\dfrac{x}{a}\right)$ è quello di $y = \log x$ traslato verso il basso di $\log a$
• Ricavare la formula della differenza in decibel tra due suoni e applicarla a dati reali

Allineamento agli standard

HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprendere la relazione inversa tra potenze e logaritmi e usarla per risolvere problemi con logaritmi e potenze
HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Usare la struttura di un'espressione per individuare modi di riscriverla
HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Esprimere la soluzione di un modello esponenziale come logaritmo e calcolarla

Risorse della lezione

visualGrafici sovrapposti
Disegna $y = \log\left(\dfrac{x}{a}\right)$ e $y = \log x - \log a$ con un cursore per $a$ : le curve coincidono, mentre $y = \dfrac{\log x}{\log a}$ no
activitySmistamento di carte vero o falso
Gli studenti verificano affermazioni come $\log(M - N) = \log M - \log N$ con la calcolatrice e le dividono in proprietà e trappole
worksheetSviluppare e condensare
Esercizi a coppie: sviluppare un quoziente, poi condensare il risultato e verificare di tornare all'espressione iniziale

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

La proprietà del quoziente dei logaritmi dice: il logaritmo di un quoziente è il logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore.

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

La proprietà vale per

M > 0

N > 0

e una base

b > 0

con

b \neq 1

Perché funziona: un logaritmo è un esponente. Poni

\log_b M = x

\log_b N = y

, quindi

M = b^x

N = b^y

. Quando si dividono potenze con la stessa base, gli esponenti si sottraggono:

\dfrac{M}{N} = \dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y} \quad\Rightarrow\quad \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = x - y = \log_b M - \log_b N

È la gemella della proprietà del prodotto (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

): moltiplicare dentro il logaritmo diventa sommare fuori, e dividere dentro diventa sottrarre fuori.

Esempio:

\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4 = 5 - 2 = 3

, e infatti

\log_2 8 = 3

Puoi usare la proprietà in due direzioni:

Sviluppare: dividere il logaritmo di un quoziente in una differenza, $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right) = \log_3 x - \log_3 7$
Condensare: scrivere una differenza come unico logaritmo, $\log 500 - \log 5 = \log 100 = 2$

Esempi svolti

Mostra che $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ .

Calcolare direttamente il membro di sinistra

$\dfrac{32}{4} = 8$ e $2^3 = 8$ → $\log_2 8 = 3$

Calcolare ogni logaritmo del membro di destra

$2^5 = 32$ e $2^2 = 4$ → $\log_2 32 = 5$ , $\log_2 4 = 2$

Sottrarre

$5 - 2 = 3$

Confrontare i due membri

Membro di sinistra $3$ , membro di destra $3$ → I due membri sono uguali

Risposta: Entrambi i membri valgono $3$ , quindi $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ .

Errori comuni

Scrivere $\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Perché è sbagliato: Un quoziente di due logaritmi non è il logaritmo di un quoziente. Prova: $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$ , ma $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$ .

Corretto: La proprietà trasforma una divisione DENTRO il logaritmo in una sottrazione: $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M - \log N$ . La frazione $\dfrac{\log M}{\log N}$ non ha scorciatoie di questo tipo.

Scrivere $\log(M - N) = \log M - \log N$

Perché è sbagliato: La proprietà riguarda un quoziente dentro il logaritmo, non una differenza. Prova: $\log(100 - 10) = \log 90 \approx 1{,}954$ , ma $\log 100 - \log 10 = 1$ .

Corretto: Non esiste alcuna proprietà che divida $\log(M - N)$ . Solo $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ diventa $\log M - \log N$ .

Sottrarre nell'ordine sbagliato: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b N - \log_b M$

Perché è sbagliato: La sottrazione non è commutativa, quindi l'ordine conta. $\log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) = \log_2 4 = 2$ , ma $\log_2 2 - \log_2 8 = 1 - 3 = -2$ .

Corretto: Prima il numeratore, meno il denominatore: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ .

Scrivere $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$

Perché è sbagliato: Sia $N$ sia $P$ sono al denominatore, quindi si sottraggono entrambi i logaritmi. Il $+$ tratta $P$ come se fosse al numeratore.

Corretto: $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log(NP) = \log M - \log N - \log P$ . Usa le parentesi: $\log M - (\log N + \log P)$ .

Perché è importante

La proprietà del quoziente trasforma una divisione in una sottrazione, ed è proprio ciò di cui hanno bisogno molte formule:

Confrontare due misure: decibel, pH e scala Richter confrontano una grandezza con un valore di riferimento tramite $\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ . La proprietà del quoziente mostra che la differenza tra due livelli dipende solo dal rapporto tra le due grandezze.
Suono: due suoni le cui intensità stanno nel rapporto $1000$ differiscono di $10 \log 1000 = 30$ decibel, indipendentemente da quanto sono forti.
Chimica: due soluzioni le cui concentrazioni di ioni idrogeno differiscono di un fattore $100$ distano esattamente $2$ sulla scala del pH.
Semplificare espressioni: sviluppare $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ in $\log a + \log b - \log c$ rende molto più semplici i calcoli successivi (e l'analisi).
Risolvere equazioni: condensare $\log_3 x - \log_3 4$ in $\log_3\left(\dfrac{x}{4}\right)$ è spesso il primo passo per risolvere un'equazione logaritmica.

Insieme alla proprietà del prodotto e alla proprietà della potenza, la proprietà del quoziente ti permette di riscrivere quasi ogni espressione logaritmica nella forma che ti serve.

Applicazioni nel mondo reale

Confrontare livelli sonori in decibel

Il livello sonoro è $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ decibel, dove $I$ è l'intensità e $I_0$ un riferimento fisso. Per la proprietà del quoziente, la differenza tra due livelli è $10(\log I_A - \log I_B) = 10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$: il riferimento $I_0$ si semplifica.

Esempio:

Un suono 100 volte più intenso di un altro è più forte di $10 \log 100 = 20$ decibel.

1Provaci tu stesso

Un altoparlante produce un'intensità di $I_A = 0{,}01$ W/m², una strada tranquilla $I_B = 0{,}00001$ W/m².

Di quanti decibel l'altoparlante è più forte della strada?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$ :

Confrontare l'acidità con il pH

In chimica $\text{pH} = -\log[H^+]$, dove $[H^+]$ è la concentrazione di ioni idrogeno. Per la proprietà del quoziente, la differenza di pH tra due soluzioni è il logaritmo del rapporto tra le loro concentrazioni.

Esempio:

Il caffè ha $[H^+] = 10^{-5}$ e l'acqua pura $10^{-7}$ . La differenza di pH è $\log\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-7}}\right) = \log 100 = 2$ (pH 5 contro pH 7).

2Provaci tu stesso

Il succo di pomodoro ha $[H^+] = 10^{-4}$ e l'acqua pura ha $[H^+] = 10^{-7}$ .

Di quanto il pH del succo di pomodoro è più basso di quello dell'acqua?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $\log\left(\dfrac{10^{-4}}{10^{-7}}\right)$ :

Confrontare terremoti sulla scala Richter

La magnitudo Richter è $M = \log\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$, dove $A$ è l'ampiezza del movimento del suolo e $A_0$ un'ampiezza di riferimento. Per due terremoti misurati alla stessa distanza, la proprietà del quoziente dà $M_1 - M_2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$.

Esempio:

Se un terremoto ha un'ampiezza 10 volte maggiore di un altro, la sua magnitudo è più alta di $\log 10 = 1$ .

3Provaci tu stesso

Due terremoti vengono registrati alla stessa distanza. Il primo ha ampiezza $A_1 = 50000$ micrometri, il secondo $A_2 = 500$ micrometri. Il secondo terremoto ha magnitudo $4$ .

Qual è la magnitudo del primo terremoto?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $4 + \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$ :

Punti chiave

1Proprietà del quoziente: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ per $M, N > 0$
2Deriva dalla proprietà delle potenze $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$ : dividendo potenze si sottraggono gli esponenti
3Sviluppare divide il logaritmo di un quoziente in una differenza; condensare scrive una differenza come unico logaritmo
4Prima il numeratore: si sottrae sempre il logaritmo del denominatore
5Con la proprietà del prodotto: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$ e $\log\left(\dfrac{a}{bc}\right) = \log a - \log b - \log c$
6 $\dfrac{\log M}{\log N}$ e $\log(M - N)$ NON sono uguali a $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Domande frequenti

I due logaritmi devono avere la stessa base?

Sì.

\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

funziona solo quando entrambi i termini hanno la stessa base

b

. Una differenza come

\log_2 8 - \log_3 9

non si può condensare in un unico logaritmo con questa proprietà.

Che cosa succede quando il quoziente è minore di 1?

Allora il logaritmo è negativo (con una base maggiore di 1), e la proprietà mostra il perché:

\log_2\left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_2 1 - \log_2 8 = 0 - 3 = -3

. In generale

\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N

Posso sviluppare $\log\left(\dfrac{x}{x - 2}\right)$ ?

Sì, per

x > 2

\log x - \log(x - 2)

. Però

\log(x - 2)

resta così, perché non esiste alcuna proprietà per il logaritmo di una differenza.

Perché si dice che è la gemella della proprietà del prodotto?

Dividere per

N

significa moltiplicare per

\dfrac{1}{N}

, quindi

\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M + \log\left(\dfrac{1}{N}\right) = \log M - \log N

. Ogni passo con la proprietà del quoziente è un passo con la proprietà del prodotto travestito.

Glossario

Proprietà del quoziente: La proprietà $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ per $M, N > 0$
Quoziente: Il risultato di una divisione; in $\dfrac{M}{N}$ , $M$ è il numeratore e $N$ il denominatore
Sviluppare: Riscrivere il logaritmo di un prodotto o di un quoziente come somma o differenza di logaritmi più semplici
Condensare: Scrivere una somma o differenza di logaritmi con la stessa base come unico logaritmo
Argomento: Il numero dentro un logaritmo, come $M$ in $\log_b M$ ; deve essere positivo

Scheda formule

Proprietà del quoziente

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

Per $M > 0$, $N > 0$, $b > 0$, $b \neq 1$

Reciproco

\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N

Caso particolare con $M = 1$, perché $\log_b 1 = 0$

Con la proprietà del prodotto

\log_b\left(\dfrac{MN}{P}\right) = \log_b M + \log_b N - \log_b P

I fattori al numeratore si sommano, quelli al denominatore si sottraggono

Non è una proprietà

\dfrac{\log_b M}{\log_b N} \neq \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

Un quoziente di logaritmi non è il logaritmo di un quoziente

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Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Confrontare livelli sonori in decibel

Confrontare l'acidità con il pH

Confrontare terremoti sulla scala Richter

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Proprietà del quoziente

Reciproco

Con la proprietà del prodotto

Non è una proprietà

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