Successione di Fibonacci

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Quale numero viene dopo? $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$
1. a)20
2. b)18
3. c)21
4. d)26
Risposta: 21
Il termine successivo è $8 + 13 = 21$ .
2.
Con $F_1 = F_2 = 1$ , quanto vale $F_{10}$ , il 10° numero di Fibonacci?
Risposta: 55
$F_8 = 21$ e $F_9 = 34$ , quindi $F_{10} = 21 + 34 = 55$ .
3.
Quale regola genera la successione di Fibonacci?
1. a)Sommare i due termini precedenti
2. b)Elevare al quadrato il termine precedente
3. c)Moltiplicare il termine precedente per 2
4. d)Aggiungere 2 al termine precedente
Risposta: Sommare i due termini precedenti
Ogni termine è la somma dei due precedenti: $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ . Raddoppiare darebbe invece $1, 2, 4, 8, \ldots$
4.
Due numeri di Fibonacci vicini sono $34$ e $55$ . Qual è il termine successivo?
Risposta: 89
$34 + 55 = 89$ .
5.
Nel problema dei conigli di Fibonacci ci sono $1, 1, 2, 3$ coppie nei mesi da 1 a 4. Quante coppie ci sono nel mese 7?
Risposta: 13
1. Quante coppie ci sono nel mese 5? 5
2. Quante coppie ci sono nel mese 6? 8
3. Quante coppie ci sono nel mese 7? 13
6.
Parti da $F_4 = 3$ e $F_5 = 5$ e trova $F_8$ .
Risposta: 21
1. Quanto vale $F_6$ ? 8
2. Quanto vale $F_7$ ? 13
3. Quanto vale $F_8$ ? 21
7.
Quale rapporto tra numeri di Fibonacci vicini è più vicino alla sezione aurea $\varphi \approx 1{,}618$ ?
1. a)13/8
2. b)89/55
3. c)3/2
4. d)8/5
Risposta: 89/55
$\frac{89}{55} \approx 1{,}6182$ , mentre $\frac{8}{5} = 1{,}6$ , $\frac{3}{2} = 1{,}5$ e $\frac{13}{8} = 1{,}625$ . Più avanti sono i termini, più si è vicini a $\varphi$ .
8.
Calcola la somma dei primi 10 numeri di Fibonacci: $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55$ .
Risposta: 143
La somma è $F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$ .
9.
Due numeri di Fibonacci vicini sono $233$ e $377$ . Torna indietro: quale termine sta due posti prima di $233$ ?
Risposta: 89
1. Quale termine viene subito prima di $233$ ? 144
2. Quale termine viene prima di quello? 89
3. Verifica: quanto fa $89 + 144$ ? 233
10.
Un numero di Fibonacci ogni tre è pari. Quale di questi termini è pari?
1. a) $F_{24}$
2. b) $F_{20}$
3. c) $F_{22}$
4. d) $F_{25}$
Risposta: $F_{24}$
$24 = 3 \times 8$ è un multiplo di 3, quindi $F_{24}$ è pari (vale $46368$ ). 20, 22 e 25 non sono multipli di 3.
11.
I numeri di Lucas usano la regola di Fibonacci ma partono da 2 e 1: $2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, \ldots$ Qual è il termine successivo?
Risposta: 29
$11 + 18 = 29$ .
12.
I numeri di Fibonacci $8$ e $13$ sono vicini. Trova il termine successivo, poi il rapporto tra quel termine e $13$ , arrotondato a 3 cifre decimali.
Risposta: 1.615
1. Qual è il termine successivo a $13$ ? 21
2. Quanto fa $\frac{21}{13}$ arrotondato a 3 cifre decimali? 1.615
3. Quanto dista $1{,}615$ da $1{,}618$ ? 0.003
13.
Usa la regola della somma $F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$ per calcolare $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13$ .
Risposta: 33
1. Quanti termini si sommano? (Quello è $n$ .) 7
2. La regola usa $F_{n+2}$ . Quanto fa $n + 2$ ? 9
3. Quanto vale $F_9$ ? 34
4. Quanto vale la somma $F_9 - 1$ ? 33
14.
La sezione aurea ha la proprietà $\varphi^2 = \varphi + 1$ . Con $\varphi \approx 1{,}618$ , quanto vale $\varphi^2$ ?
1. a)2,618
2. b)3,236
3. c)2,236
4. d)1,309
Risposta: 2,618
$\varphi^2 = \varphi + 1 \approx 1{,}618 + 1 = 2{,}618$ . Verifica: $1{,}618 \times 1{,}618 \approx 2{,}618$ . ( $3{,}236$ è $2\varphi$ , non $\varphi^2$ .)
15.
Sali una scala 1 o 2 gradini alla volta. C'è 1 modo per 1 gradino e ci sono 2 modi per 2 gradini, e ogni numero successivo è la somma dei due precedenti. In quanti modi puoi salire 10 gradini?
Risposta: 89
Per 1-10 gradini: $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89$ . Quindi 10 gradini si possono salire in $89$ modi (è $F_{11}$ ).
16.
Una nuova successione usa la regola di Fibonacci ma parte da $4$ e $10$ . Trova i termini da 3 a 6, poi il rapporto tra il 6° termine e il 5°, arrotondato a 2 cifre decimali.
Risposta: 1.63
1. Qual è il 3° termine? 14
2. Qual è il 4° termine? 24
3. Qual è il 5° termine? 38
4. Qual è il 6° termine? 62
5. Quanto fa $\frac{62}{38}$ arrotondato a 2 cifre decimali? 1.63
17.
Quanti dei primi 30 numeri di Fibonacci $F_1, F_2, \ldots, F_{30}$ sono pari?
Risposta: 10
1. In quale posizione si trova il primo numero di Fibonacci pari? 3
2. In quale posizione si trova il successivo pari? 6
3. I termini pari stanno nei multipli di 3. Quanti multipli di 3 ci sono da 1 a 30? 10
18.
Verifica con i numeri che $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ soddisfa $\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}$ . Arrotonda ogni risultato a 3 cifre decimali.
Risposta: 1.618
1. Quanto fa $\sqrt{5}$ arrotondato a 3 cifre decimali? 2.236
2. Quanto fa $\frac{1 + 2{,}236}{2}$ ? 1.618
3. Quanto fa $\frac{1}{1{,}618}$ arrotondato a 3 cifre decimali? 0.618
4. Quanto fa $1 + 0{,}618$ ? 1.618