Distribuzione binomiale

Impara a calcolare le probabilità per prove indipendenti ripetute con due risultati.

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Definizione

La distribuzione binomiale modella il numero di successi in un numero fisso di prove indipendenti, dove ogni prova ha solo due risultati possibili: successo o fallimento.
La probabilità di esattamente kk successi in nn prove è:
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
Dove:
  • nn = numero di prove
  • kk = numero di successi
  • pp = probabilità di successo in ogni prova
  • (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = numero di modi per scegliere kk successi da nn prove
Condizioni per una distribuzione binomiale:
  1. 1.Numero fisso di prove (nn)
  2. 2.Ogni prova è indipendente
  3. 3.Solo due risultati per prova (successo/fallimento)
  4. 4.Stessa probabilità di successo (pp) per ogni prova

Prova subito

Quale delle seguenti è una condizione per una distribuzione binomiale?

Esempi svolti

Lanci una moneta equilibrata 5 volte. Qual è la probabilità di ottenere esattamente 3 teste?
1

Identificare i parametri

n=5n = 5 (lanci), k=3k = 3 (teste), p=0,5p = 0,5 (moneta equilibrata) → n=5, k=3, p=0,5
2

Calcolare la combinazione

(53)=5!3!(5−3)!=5!3!2!=1206×2=10\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \times 2} = 10 → 10 modi
3

Calcolare la probabilità di successo

pk=0,53=0,125p^k = 0,5^3 = 0,125
4

Calcolare la probabilità di fallimento

(1−p)n−k=0,52=0,25(1-p)^{n-k} = 0,5^2 = 0,25
5

Moltiplicare tutte le parti

P(X=3)=10×0,125×0,25=0,3125P(X=3) = 10 \times 0,125 \times 0,25 = 0,3125 → 0,3125 o 31,25%

Errori comuni

Dimenticare di includere la combinazione (nk)\binom{n}{k}

Perché è sbagliato: La combinazione conta IN QUANTI MODI si possono disporre kk successi tra nn prove. Senza di essa, calcoli solo la probabilità di UNA disposizione specifica.

Corretto: Usa sempre la formula completa: P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Usare pp sia per i termini di successo CHE di fallimento

Perché è sbagliato: La probabilità di fallimento è 1−p1-p, non pp. Se il successo è 0,3, il fallimento deve essere 0,7.

Corretto: Usa pkp^k per i successi e (1−p)n−k(1-p)^{n-k} per i fallimenti.

Confondere 'almeno' con 'esattamente'

Perché è sbagliato: 'Esattamente 3' significa P(X=3)P(X=3), ma 'almeno 3' significa P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+...P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + ...

Corretto: Per 'almeno', somma le probabilità di tutti i valori da quel numero fino a nn. Oppure usa il complementare: P(X≥k)=1−P(X<k)P(X \geq k) = 1 - P(X < k)

Visuale interattivo

Grafico a barre

n = 5, p = 0,5 (moneta equa)

0(0,03)
1(0,16)
2(0,31)
3(0,31)
4(0,16)
5(0,03)

Grafico a barre

n = 6, p = 0,75 (tiri liberi)

0(0)
1(0)
2(0,03)
3(0,13)
4(0,3)
5(0,36)
6(0,18)

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

Ancora nessun calcolo

Esercizi pratici

17 esercizi
Problema 1 di 17
Facile
Quale delle seguenti è una condizione per una distribuzione binomiale?

Perché è importante

La distribuzione binomiale appare ovunque nella vita reale:
  • Controllo qualità: Qual è la probabilità che 3 prodotti su 100 siano difettosi?
  • Medicina: Se un farmaco funziona l'80% delle volte, qual è la probabilità che aiuti almeno 7 pazienti su 10?
  • Sport: Qual è la probabilità che un giocatore di basket segni esattamente 6 tiri liberi su 10?
  • Genetica: Se un tratto ha il 25% di probabilità di essere ereditato, quanto è probabile che 2 figli su 4 lo ereditino?
Capire la distribuzione binomiale ti aiuta a fare previsioni e prendere decisioni informate quando hai a che fare con situazioni ripetute di tipo sì/no.

Applicazioni nel mondo reale

Studi clinici

Le aziende farmaceutiche usano la distribuzione binomiale per analizzare l'efficacia dei farmaci negli studi clinici.

Esempio:

Se un nuovo farmaco ha un tasso di successo del 75%, la probabilità che esattamente 8 pazienti su 10 migliorino viene calcolata con la formula binomiale.

1Provaci tu stesso

Un vaccino è efficace al 90%. Vaccini 5 persone.

Qual è la probabilità che esattamente 4 persone sviluppino immunità?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa la formula binomiale con n=5n=5, k=4k=4, p=0,9p=0,9:

Analisi sportiva

Allenatori e analisti usano le probabilità binomiali per prevedere i risultati delle partite e le prestazioni dei giocatori.

Esempio:

Se un giocatore di basket ha una percentuale di tiri liberi del 70%, la distribuzione binomiale calcola la probabilità di segnare un numero specifico di tiri.

2Provaci tu stesso

Un calciatore segna i rigori l'80% delle volte. Tira 4 rigori.

Qual è la probabilità che ne segni esattamente 3?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Applica la formula binomiale:

Punti chiave

  • 1La distribuzione binomiale modella kk successi in nn prove indipendenti con probabilità di successo pp
  • 2Formula: P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
  • 3La combinazione (nk)\binom{n}{k} conta il numero di modi per disporre i successi
  • 4Condizioni: nn fisso, prove indipendenti, due risultati, pp costante
  • 5Media: μ=np\mu = np e Deviazione standard: σ=np(1−p)\sigma = \sqrt{np(1-p)}

Domande frequenti

Usala quando hai un numero fisso di prove indipendenti, ciascuna con solo due risultati (successo/fallimento), e la probabilità di successo rimane costante per ogni prova.
Usala quando hai un numero fisso di prove indipendenti, ciascuna con solo due risultati (successo/fallimento), e la probabilità di successo rimane costante per ogni prova.
La binomiale è per conteggi discreti (numeri interi di successi), mentre la normale è per dati continui. Tuttavia, quando nn è grande e pp non è troppo estremo, la binomiale può essere approssimata dalla normale.
O sommi P(X=k)+P(X=k+1)+...+P(X=n)P(X=k) + P(X=k+1) + ... + P(X=n), oppure usi il complementare: P(X≥k)=1−P(X<k)=1−[P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k−1)]P(X \geq k) = 1 - P(X < k) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k-1)].

Glossario

Distribuzione binomiale
Una distribuzione di probabilità per il numero di successi in un numero fisso di prove indipendenti
Prova
Un singolo esperimento o osservazione con due risultati possibili
Prova di Bernoulli
Un esperimento con esattamente due risultati: successo (probabilità pp) o fallimento (probabilità 1−p1-p)
Combinazione
(nk)\binom{n}{k} rappresenta il numero di modi per scegliere kk elementi da nn elementi, indipendentemente dall'ordine
Eventi indipendenti
Eventi in cui il risultato di uno non influisce sulla probabilità dell'altro

Scheda formule

Probabilità

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Probabilità di esattamente k successi in n prove

Combinazione

(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Numero di modi per scegliere k da n

Media

μ=np\mu = np

Numero atteso di successi

Varianza

σ2=np(1−p)\sigma^2 = np(1-p)

Dispersione della distribuzione

Deviazione standard

σ=np(1−p)\sigma = \sqrt{np(1-p)}

Radice quadrata della varianza

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