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Guida per l'insegnante: Distribuzioni campionarie

Scopri come le medie e le proporzioni campionarie cambiano da un campione all'altro, che cos'è l'errore standard e perché il teorema del limite centrale le rende circa normali.

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Quiz di classe

10 domande su Distribuzioni di probabilità. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento
  • Distinguere un parametro da una statistica e usare correttamente i simboli μ\mu, σ\sigma, pp, xˉ\bar{x}, p^\hat{p}
  • Trovare la media e l'errore standard della distribuzione campionaria di xˉ\bar{x} e di p^\hat{p}
  • Enunciare il teorema del limite centrale e decidere quando una distribuzione campionaria è circa normale
  • Calcolare probabilità su una media o una proporzione campionaria con i punteggi z e la tavola della normale
  • Spiegare perché campioni più grandi danno stime più precise e trovare la numerosità per un errore standard dato
Prerequisiti
  • • Introduzione alla distribuzione normale: media, deviazione standard e curva a campana
  • • Punteggi z (standardizzazione): z=x−μσz = \dfrac{x - \mu}{\sigma}
  • • Distribuzione normale standard: lettura della tavola
  • • Probabilità con la distribuzione normale: aree a sinistra, a destra e tra due valori
  • • Calcolare la deviazione standard: dispersione di un insieme di dati
Spunti di discussione
  • 1. Due sondaggi sulle stesse elezioni danno il 48 % e il 52 %. Vuol dire che uno dei due ha sbagliato?
  • 2. Perché è molto più difficile che la media di 36 batterie sia sotto le 47 ore rispetto a una sola batteria?
  • 3. Un'azienda dice di aver intervistato 10 clienti e che il 90 % era soddisfatto. Che cosa vorresti sapere prima di fidarti di quel numero?
  • 4. Perché raddoppiare la numerosità del campione non dimezza l'errore standard?
Idee sbagliate comuni

Un campione grande rende i dati normali

Rimedio: Nel simulatore confronta l'istogramma di UN grande campione (assomiglia alla popolazione asimmetrica) con l'istogramma di tante MEDIE campionarie (diventa una curva a campana).

Errore standard e deviazione standard sono la stessa cosa

Rimedio: Mostra il pannello della popolazione (σ\sigma) accanto alla deviazione standard delle medie nel simulatore. Chiedi agli studenti di prevedere la seconda con σ/n\sigma / \sqrt{n} prima di premere il pulsante.

Una popolazione più grande richiede un campione più grande

Rimedio: Mostra che la formula σ/n\sigma / \sqrt{n} non contiene la dimensione della popolazione. Paragone con l'assaggio di una zuppa: un cucchiaio rivela il sapore di una pentola piccola o grande ugualmente bene, se è stata mescolata.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

  • • Inizia con il simulatore del dado e solo con il centro: le medie si accumulano sempre intorno a 3,5
  • • Fornisci una tabella con nn, n\sqrt{n} e σ/n\sigma / \sqrt{n} per quadrati perfetti (4, 9, 16, 25, 36, 100)
  • • Fai classificare numeri in parametri e statistiche prima di qualsiasi formula

Per studenti a livello:

  • • Calcolare errori standard e punteggi z per medie campionarie con la tavola della normale
  • • Controllare le condizioni del modello normale per p^\hat{p} e calcolarne l'errore standard
  • • Confrontare la probabilità per un singolo valore con quella per una media campionaria

Per studenti avanzati:

  • • Trovare la numerosità necessaria per un errore standard o un margine di errore dato
  • • Esplorare le popolazioni asimmetrica e bimodale per vedere quanto velocemente agisce il teorema del limite centrale
  • • Ricavare σ/n\sigma / \sqrt{n} dalla regola per cui le varianze di valori indipendenti si sommano
Allineamento agli standard
  • HSS-IC.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.A.1)

    Comprendere la statistica come processo per fare inferenze sui parametri di una popolazione a partire da un campione casuale

  • HSS-IC.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.B.4)

    Usare i dati di un'indagine campionaria per stimare una media o una proporzione della popolazione; sviluppare un margine di errore con simulazioni di campionamento casuale

  • HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)

    Usare media e deviazione standard di un insieme di dati per adattarlo a una distribuzione normale e stimare percentuali della popolazione

Risorse della lezione
  • visualSimulatore di campionamento

    Estrai 1, 100 o 1000 campioni da una popolazione asimmetrica, da un dado o da una popolazione sì/no e guarda l'istogramma delle medie diventare normale

  • activityEsperimento con i dadi in classe

    Ogni studente lancia 5 dadi e comunica la media; la classe costruisce un diagramma a punti delle medie e lo confronta con i lanci singoli

  • worksheetProbabilità su medie e proporzioni

    Esercizi su errori standard, controllo delle condizioni e probabilità dalla tavola per medie e proporzioni campionarie

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Un parametro è un numero che descrive un'intera popolazione, per esempio la media della popolazione μ\mu, la deviazione standard della popolazione σ\sigma o la proporzione della popolazione pp. Una statistica è un numero calcolato da un campione, per esempio la media campionaria xˉ\bar{x} o la proporzione campionaria p^\hat{p}. Il parametro è fisso (ma di solito sconosciuto); la statistica cambia da un campione all'altro.
La distribuzione campionaria di una statistica è la distribuzione dei suoi valori su tutti i possibili campioni casuali della stessa numerosità nn.

Distribuzione campionaria della media xˉ\bar{x}

  • Centro: μxˉ=μ\mu_{\bar{x}} = \mu (le medie campionarie sono centrate sulla media della popolazione)
  • Dispersione: σxˉ=σn\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}, detta errore standard
  • Forma (teorema del limite centrale): se la popolazione è normale, xˉ\bar{x} è normale per ogni nn. Altrimenti xˉ\bar{x} è comunque circa normale quando nn è grande, di solito per n≥30n \geq 30.
Quindi una probabilità su una media campionaria usa il punteggio z
z=xˉ−μσ/nz = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Distribuzione campionaria della proporzione p^\hat{p}

  • Centro: μp^=p\mu_{\hat{p}} = p
  • Dispersione: σp^=p(1−p)n\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}
  • Forma: circa normale quando np≥10np \geq 10 e n(1−p)≥10n(1-p) \geq 10
Queste formule presuppongono un campione casuale di valori indipendenti (in pratica: il campione è meno del 10 % circa della popolazione).

Esempi svolti

Una scuola ha 1200 studenti. La loro altezza media è 165 cm. Un progetto di classe misura un campione casuale di 50 studenti e trova un'altezza media di 163,2 cm. Quale numero è un parametro e quale una statistica?
1

Trova il numero che descrive l'intera popolazione

165 cm è la media di tutti i 1200 studenti → Parametro: μ=165\mu = 165 cm
2

Trova il numero che viene dal campione

163,2 cm è la media dei 50 studenti misurati → Statistica: xˉ=163,2\bar{x} = 163{,}2 cm
3

Pensa a un secondo campione

Un altro campione casuale di 50 studenti darebbe una media un po' diversa, per esempio 166,0 cm → xˉ\bar{x} varia, μ\mu resta fisso

Errori comuni

Usare σ\sigma invece di σ/n\sigma / \sqrt{n} in una domanda su una media campionaria

Perché è sbagliato: σ\sigma è la dispersione dei singoli valori. Le medie variano molto meno, quindi con σ\sigma le medie insolite sembrano fin troppo probabili.

Corretto: Per xˉ\bar{x} dividi sempre per l'errore standard: z=xˉ−μσ/nz = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}. Per un singolo valore z=x−μσz = \dfrac{x - \mu}{\sigma}.

Dividere per nn invece che per n\sqrt{n}

Perché è sbagliato: Con σ=12\sigma = 12 e n=36n = 36, dividere per nn dà 0,330{,}33 invece dell'errore standard corretto 22, così ogni punteggio z risulta 6 volte troppo grande.

Corretto: Calcola prima la radice quadrata di nn: 1236=126=2\dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2.

Pensare che il teorema del limite centrale renda normale la popolazione o i dati

Perché è sbagliato: Un grande campione da una popolazione asimmetrica resta asimmetrico: il suo istogramma assomiglia alla popolazione. Solo la distribuzione delle MEDIE campionarie diventa normale.

Corretto: Il teorema del limite centrale riguarda la distribuzione campionaria di xˉ\bar{x}, non i singoli valori.

Usare il modello normale per p^\hat{p} senza controllare np≥10np \geq 10 e n(1−p)≥10n(1-p) \geq 10

Perché è sbagliato: Con p=0,05p = 0{,}05 e n=40n = 40 si ha np=2np = 2: la maggior parte dei campioni ha 0, 1, 2 o 3 successi e la distribuzione di p^\hat{p} è molto asimmetrica.

Corretto: Controlla prima entrambe le condizioni. Se una non vale, prendi un campione più grande o usa la distribuzione binomiale.

Perché è importante

Quasi ogni numero di un sondaggio citato nei telegiornali è una statistica, non un parametro:
  • Sondaggi elettorali: un sondaggio su 1000 elettori stima la proporzione tra tutti gli elettori. L'errore standard ti dice quanto lontano dalla verità è probabile che sia il sondaggio.
  • Controllo qualità: una fabbrica controlla il peso medio di un campione di confezioni invece di pesarle tutte.
  • Medicina: uno studio clinico misura l'effetto medio su qualche centinaio di pazienti e trae conclusioni per tutti.
  • Scienze: fare la media di misure ripetute riduce l'errore casuale.
L'idea chiave: l'errore standard σ/n\sigma / \sqrt{n} diminuisce quando il campione cresce. Quattro volte più persone dimezzano l'errore, per questo i sondaggi grandi sono più precisi. Il teorema del limite centrale ti permette poi di usare la distribuzione normale, i punteggi z e la tavola della normale standard che già conosci, anche quando la popolazione stessa non è normale.

Applicazioni nel mondo reale

Sondaggi elettorali

Gli istituti di sondaggio intervistano circa 1000 persone e riportano un margine di errore. Quel margine deriva direttamente dall'errore standard di $\hat{p}$.

Esempio:

Se il vero consenso è p=0,5p = 0{,}5, un sondaggio su 1000 persone ha errore standard 0,5⋅0,5/1000≈0,016\sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}5 / 1000} \approx 0{,}016, quindi circa il 95 % di questi sondaggi cade entro circa 3 punti percentuali dalla verità.

1Provaci tu stesso

Un sondaggio più piccolo intervista n=400n = 400 elettori scelti a caso. Il vero consenso per una candidata è p=0,5p = 0{,}5.

Qual è l'errore standard della proporzione campionaria p^\hat{p}?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola p(1−p)n\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}:

Controllo qualità in un bar

Le macchine che riempiono i bicchieri si controllano con la media di piccoli campioni. Una media troppo lontana dal valore previsto, misurata in errori standard, fa scattare un allarme.

Esempio:

Una macchina riempie bicchieri con μ=250\mu = 250 mL e σ=8\sigma = 8 mL. Un ispettore misura 16 bicchieri, quindi l'errore standard è 8/16=28 / \sqrt{16} = 2 mL.

2Provaci tu stesso

I 16 bicchieri hanno una media di xˉ=246\bar{x} = 246 mL. La macchina è regolata su μ=250\mu = 250 mL con σ=8\sigma = 8 mL.

Qual è il punteggio z di questa media campionaria?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola z=xˉ−μσ/nz = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}:

Progettare uno studio medico

Prima di uno studio, i ricercatori scelgono la numerosità del campione in modo che l'errore standard sia abbastanza piccolo. A causa della radice quadrata, per dimezzare l'errore servono quattro volte più pazienti.

Esempio:

La pressione arteriosa ha σ=20\sigma = 20 mmHg. Con 25 pazienti l'errore standard è 20/5=420 / 5 = 4 mmHg; con 100 pazienti è 20/10=220 / 10 = 2 mmHg.

3Provaci tu stesso

Alcuni ricercatori vogliono che l'errore standard della pressione media sia 2 mmHg. La deviazione standard della popolazione è σ=20\sigma = 20 mmHg.

Quanti pazienti servono?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Da σn=2\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2 si ottiene n=(σ2)2n = \left(\dfrac{\sigma}{2}\right)^2:

Punti chiave

  • 1Un parametro (μ\mu, σ\sigma, pp) descrive la popolazione ed è fisso; una statistica (xˉ\bar{x}, p^\hat{p}) viene da un campione e varia da un campione all'altro
  • 2La distribuzione campionaria di xˉ\bar{x} ha media μ\mu ed errore standard σ/n\sigma / \sqrt{n}
  • 3Teorema del limite centrale: per n≥30n \geq 30 (circa) la media campionaria è circa normale qualunque sia la forma della popolazione; se la popolazione è normale, per ogni nn
  • 4Per una probabilità su una media campionaria usa z=xˉ−μσ/nz = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} e la tavola della normale standard
  • 5La proporzione campionaria p^\hat{p} ha media pp ed errore standard p(1−p)/n\sqrt{p(1-p)/n}; è circa normale quando np≥10np \geq 10 e n(1−p)≥10n(1-p) \geq 10
  • 6Campioni più grandi danno stime più precise: quadruplicare la numerosità dimezza l'errore standard

Domande frequenti

Perché l'errore standard usa n\sqrt{n} e non nn?

La varianza di una media di nn valori indipendenti è σ2/n\sigma^2 / n. L'errore standard è la sua radice quadrata: σ2/n=σ/n\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}. Per questo servono quattro volte più valori per dimezzare l'errore.

Il 30 è un numero magico?

No, è una regola pratica. Per una popolazione già quasi normale bastano campioni molto più piccoli; per una popolazione molto asimmetrica (come i redditi) possono servirne più di 30. Prova nel simulatore: la popolazione asimmetrica richiede un nn più grande del dado.

Qual è la differenza tra deviazione standard ed errore standard?

La deviazione standard σ\sigma misura quanto variano i singoli valori. L'errore standard σ/n\sigma / \sqrt{n} misura quanto varia una statistica, come la media campionaria, da un campione all'altro. Per n>1n > 1 l'errore standard è sempre più piccolo.

Conta la dimensione della popolazione?

Quasi per niente, purché il campione sia una piccola parte della popolazione (meno del 10 % circa). Un campione casuale di 1000 persone è più o meno ugualmente preciso per una città o per un paese intero. Conta la numerosità del campione nn.

Glossario

Parametro
Numero che descrive un'intera popolazione, come μ\mu, σ\sigma o pp; di solito sconosciuto
Statistica
Numero calcolato da un campione, come xˉ\bar{x} o p^\hat{p}; cambia da un campione all'altro
Distribuzione campionaria
Distribuzione di una statistica su tutti i possibili campioni casuali della stessa numerosità nn
Errore standard
Deviazione standard di una distribuzione campionaria, per esempio σ/n\sigma / \sqrt{n} per la media campionaria
Teorema del limite centrale
Per nn grande la distribuzione campionaria della media è circa normale, qualunque sia la forma della popolazione
Proporzione campionaria
Frazione di successi in un campione, p^=numero di successin\hat{p} = \dfrac{\text{numero di successi}}{n}

Scheda formule

Media della media campionaria

μxˉ=μ\mu_{\bar{x}} = \mu

Le medie campionarie sono centrate sulla media della popolazione

Errore standard della media

σxˉ=σn\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

Dispersione delle medie campionarie; diminuisce quando $n$ cresce

Punteggio z di una media campionaria

z=xˉ−μσ/nz = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Da usare con la tavola quando $n \geq 30$ o la popolazione è normale

Errore standard di una proporzione

σp^=p(1−p)n\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

Modello normale se $np \geq 10$ e $n(1-p) \geq 10$

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