Distribuzioni campionarie

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Un sondaggio su 200 elettori scelti a caso rileva che il 54 % è a favore di una nuova legge. In questa situazione, il 54 % è...
1. a)errore standard
2. b)parametro
3. c)statistica
4. d)popolazione
Risposta: statistica
Il 54 % è stato calcolato su un campione di 200 elettori, quindi è una statistica ( $\hat{p} = 0{,}54$ ). La proporzione tra TUTTI gli elettori sarebbe il parametro $p$ .
2.
Una popolazione ha deviazione standard $\sigma = 18$ . Qual è l'errore standard della media campionaria per campioni di numerosità $n = 36$ ?
Risposta: 3
$\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{18}{\sqrt{36}} = \dfrac{18}{6} = 3$ .
3.
Una popolazione ha media $\mu = 40$ e deviazione standard $\sigma = 8$ . Qual è la media della distribuzione campionaria di $\bar{x}$ per campioni di numerosità $n = 25$ ?
1. a)8
2. b)40
3. c)200
4. d)1,6
Risposta: 40
$\mu_{\bar{x}} = \mu = 40$ , qualunque sia la numerosità. La numerosità cambia solo la dispersione: l'errore standard è $8 / \sqrt{25} = 1{,}6$ .
4.
Le viti prodotte da una macchina hanno lunghezza media $\mu = 50$ mm e $\sigma = 2$ mm. Un operaio misura campioni casuali di 16 viti. Trova la media e l'errore standard di $\bar{x}$ .
Risposta: 0.5
1. Qual è la media della distribuzione campionaria, $\mu_{\bar{x}}$ (in mm)? 50
2. Quanto vale $\sqrt{16}$ ? 4
3. Quanto vale l'errore standard $2 / 4$ (in mm)? 0.5
5.
I punteggi di QI hanno $\mu = 100$ e $\sigma = 10$ in un gruppo di prova. Qual è l'errore standard del QI medio di campioni casuali di $n = 100$ persone?
Risposta: 1
$\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{10}{\sqrt{100}} = \dfrac{10}{10} = 1$ . La media $\mu = 100$ non conta per l'errore standard.
6.
Il 20 % delle app di uno store sono giochi ( $p = 0{,}2$ ). Estrai campioni casuali di $n = 100$ app. Controlla le condizioni e trova l'errore standard di $\hat{p}$ .
Risposta: 0.04
1. Quanto vale $np = 100 \cdot 0{,}2$ ? 20
2. Quanto vale $n(1-p) = 100 \cdot 0{,}8$ ? 80
3. Entrambi sono almeno 10. Quanto vale $\sqrt{\dfrac{0{,}2 \cdot 0{,}8}{100}}$ ? 0.04
7.
I prezzi delle case in una regione sono fortemente asimmetrici a destra. Per quale numerosità la distribuzione campionaria del prezzo medio è più vicina a una normale?
1. a)n = 5
2. b)n = 10
3. c)n = 40
4. d)n = 15
Risposta: n = 40
La popolazione è asimmetrica, quindi solo un campione grande rende $\bar{x}$ circa normale (teorema del limite centrale, regola pratica $n \geq 30$ ). Tra le opzioni, solo $n = 40$ va bene.
8.
Una popolazione ha $\mu = 80$ e $\sigma = 12$ . Un campione casuale di $n = 16$ ha media $\bar{x} = 86$ . Qual è il punteggio z di questa media campionaria?
Risposta: 2
Errore standard $= 12 / 4 = 3$ , quindi $z = \dfrac{86 - 80}{3} = \dfrac{6}{3} = 2$ . La media campionaria è 2 errori standard sopra $\mu$ .
9.
Una popolazione ha $\sigma = 20$ . Confronta l'errore standard di $\bar{x}$ per $n = 25$ e per $n = 100$ .
Risposta: 0.5
1. Qual è l'errore standard per $n = 25$ ? 4
2. Qual è l'errore standard per $n = 100$ ? 2
3. Quanto vale (nuovo errore standard) $\div$ (vecchio errore standard)? 0.5
10.
Una moneta è equa ( $p = 0{,}5$ ). La lanci $n = 100$ volte e annoti la proporzione di teste $\hat{p}$ . Qual è l'errore standard di $\hat{p}$ ?
1. a)0,0025
2. b)0,5
3. c)0,05
4. d)0,25
Risposta: 0,05
$\sqrt{\dfrac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100}} = \sqrt{0{,}0025} = 0{,}05$ . Il valore 0,0025 è la varianza (radice dimenticata), 0,25 è $p(1-p)$ e 0,5 è $p$ stesso.
11.
I voti di un esame seguono una distribuzione normale con $\mu = 70$ e $\sigma = 15$ . Per una classe casuale di $n = 25$ studenti, trova $P(\bar{x} < 67)$ . Usa $P(Z < -1) = 0{,}1587$ .
Risposta: 0.1587
1. Quanto vale $\sqrt{25}$ ? 5
2. Quanto vale l'errore standard $15 / 5$ ? 3
3. Quanto vale $z = \dfrac{67 - 70}{3}$ ? -1
4. Quanto vale $P(\bar{x} < 67)$ ? 0.1587
12.
Le batterie di un telefono durano $\mu = 50$ ore con $\sigma = 12$ ore. Per un campione casuale di $n = 36$ batterie, trova $P(\bar{x} > 54)$ . Usa $P(Z < 2) = 0{,}9772$ e scrivi il risultato come numero decimale.
Risposta: 0.0228
$n = 36 \geq 30$ , quindi $\bar{x}$ è circa normale. Errore standard $= 12 / 6 = 2$ , $z = \dfrac{54 - 50}{2} = 2$ , $P(\bar{x} > 54) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228$ .
13.
Circa il 5 % delle lampadine di una fabbrica è difettoso ( $p = 0{,}05$ ). Un'ispettrice estrae campioni casuali di $n = 120$ lampadine. Può usare il modello normale per $\hat{p}$ ? Se no, quanto deve essere grande $n$ ?
Risposta: 200
1. Quanto vale $np = 120 \cdot 0{,}05$ ? 6
2. Quanto vale $n(1-p) = 120 \cdot 0{,}95$ ? 114
3. Il modello normale va bene? No
4. Qual è il più piccolo $n$ con $n \cdot 0{,}05 \geq 10$ ? 200
14.
Il peso delle mele segue una distribuzione normale con $\mu = 180$ g e $\sigma = 20$ g. Trova la probabilità che UNA mela pesi più di 185 g, e che la media di un sacchetto di 16 mele superi 185 g. Usa $P(Z < 0{,}25) = 0{,}5987$ e $P(Z < 1) = 0{,}8413$ .
Risposta: 0.1587
1. Punteggio z di una mela da 185 g: $\dfrac{185 - 180}{20}$ ? 0.25
2. $P$ (una mela $> 185$ g)? 0.4013
3. Errore standard della media del sacchetto, $20 / \sqrt{16}$ ? 5
4. Punteggio z di una media del sacchetto di 185 g? 1
5. $P$ (media del sacchetto $> 185$ g)? 0.1587
15.
Quale affermazione sul teorema del limite centrale è corretta?
1. a)L'errore standard cresce quando cresce la numerosità del campione
2. b)Per n grande, la popolazione stessa diventa normale
3. c)Vale solo quando la popolazione è già normale
4. d)Per n grande, la media campionaria è circa normale qualunque sia la forma della popolazione
Risposta: Per n grande, la media campionaria è circa normale qualunque sia la forma della popolazione
Il teorema del limite centrale dice che per $n$ grande la distribuzione della MEDIA campionaria è circa normale, qualunque sia la forma della popolazione. Non cambia la popolazione, vale anche per popolazioni non normali, e l'errore standard $\sigma / \sqrt{n}$ diminuisce, non aumenta, quando $n$ cresce.
16.
I tempi di consegna hanno $\sigma = 15$ minuti. Un'azienda vuole che l'errore standard del tempo medio di consegna sia 1,5 minuti. Quante consegne deve registrare? E per un errore standard di 0,75 minuti?
Risposta: 400
1. Da $15 / \sqrt{n} = 1{,}5$ : quanto vale $\sqrt{n}$ ? 10
2. Quindi quanto vale $n$ ? 100
3. Da $15 / \sqrt{n} = 0{,}75$ : quanto vale $\sqrt{n}$ ? 20
4. Quanto vale $n$ adesso? 400
17.
Il 40 % delle famiglie di una città ha un animale domestico ( $p = 0{,}4$ ). Per un campione casuale di $n = 150$ famiglie, trova $P(\hat{p} > 0{,}46)$ . Usa $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ e scrivi il risultato come numero decimale.
Risposta: 0.0668
Condizioni: $np = 60$ , $n(1-p) = 90$ , entrambi almeno 10. Errore standard $= \sqrt{0{,}24 / 150} = \sqrt{0{,}0016} = 0{,}04$ . $z = \dfrac{0{,}46 - 0{,}4}{0{,}04} = 1{,}5$ , quindi $P(\hat{p} > 0{,}46) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ .
18.
Le lampade LED durano $\mu = 1000$ ore con $\sigma = 80$ ore. Per un campione casuale di $n = 64$ lampade, trova $P(990 < \bar{x} < 1020)$ . Usa $P(Z < -1) = 0{,}1587$ e $P(Z < 2) = 0{,}9772$ .
Risposta: 0.8185
1. Quanto vale l'errore standard $80 / \sqrt{64}$ ? 10
2. Qual è il punteggio z di $\bar{x} = 990$ ? -1
3. Qual è il punteggio z di $\bar{x} = 1020$ ? 2
4. Quanto vale $P(990 < \bar{x} < 1020)$ ? 0.8185