Punteggi z (standardizzazione)

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Dei punteggi hanno media $\mu = 50$ e deviazione standard $\sigma = 5$ . Qual è il punteggio z di un risultato di $60$ ?
1. a)-2
2. b)10
3. c)2
4. d)0,5
Risposta: 2
$z = \frac{60 - 50}{5} = \frac{10}{5} = 2$ . Il punteggio è 2 deviazioni standard sopra la media. $10$ è solo la distanza in punti.
2.
Una distribuzione ha $\mu = 40$ e $\sigma = 4$ . Trova il punteggio z di $x = 46$ .
Risposta: 1.5
$z = \frac{46 - 40}{4} = \frac{6}{4} = 1{,}5$ : il valore è 1,5 deviazioni standard sopra la media.
3.
Un valore $x = 18$ proviene da una distribuzione con $\mu = 12$ e $\sigma = 3$ . Trova il suo punteggio z.
Risposta: 2
1. Quanto fa $x - \mu = 18 - 12$ ? 6
2. Dividi per $\sigma = 3$ . Quanto vale z? 2
4.
Un valore ha punteggio z $z = -1{,}5$ . Che cosa significa?
1. a)È 1,5 deviazioni standard sotto la media
2. b)È il 15% sotto la media
3. c)È 1,5 punti sotto la media
4. d)È 1,5 deviazioni standard sopra la media
Risposta: È 1,5 deviazioni standard sotto la media
Un punteggio z conta deviazioni standard, non punti né percentuali. Il segno meno significa sotto la media, quindi $z = -1{,}5$ è 1,5 deviazioni standard sotto la media.
5.
In un gruppo di adulti il peso ha $\mu = 65$ kg e $\sigma = 10$ kg. Qual è il punteggio z di una persona che pesa $47$ kg?
Risposta: -1.8
$z = \frac{47 - 65}{10} = \frac{-18}{10} = -1{,}8$ : 1,8 deviazioni standard sotto la media.
6.
Una distribuzione ha $\mu = 60$ e $\sigma = 5$ . Quale valore corrisponde a $z = -2$ ?
Risposta: 50
1. Quanto fa $z\sigma = (-2) \cdot 5$ ? -10
2. Quanto fa $x = \mu + z\sigma = 60 + (-10)$ ? 50
7.
Quattro studenti hanno svolto prove diverse. Chi è andato meglio rispetto agli altri che hanno svolto la stessa prova?
1. a)Ben: 85 punti (μ = 75, σ = 10)
2. b)Ana: 78 punti (μ = 70, σ = 4)
3. c)Cleo: 90 punti (μ = 84, σ = 6)
4. d)Dan: 66 punti (μ = 60, σ = 5)
Risposta: Ana: 78 punti (μ = 70, σ = 4)
Ana: $\frac{78 - 70}{4} = 2$ . Ben: $\frac{85 - 75}{10} = 1$ . Cleo: $\frac{90 - 84}{6} = 1$ . Dan: $\frac{66 - 60}{5} = 1{,}2$ . Ana ha il punteggio z più alto, anche se Cleo ha più punti.
8.
I punteggi di una prova nazionale hanno $\mu = 500$ e $\sigma = 100$ . Quale punteggio corrisponde a $z = -1{,}2$ ?
Risposta: 380
$x = 500 + (-1{,}2) \cdot 100 = 500 - 120 = 380$ .
9.
Nora corre 5 km in $24$ min (la sua società: $\mu = 27$ min, $\sigma = 2$ min) e nuota 100 m in $75$ s (la sua società: $\mu = 80$ s, $\sigma = 4$ s). I tempi più bassi sono migliori. In quale sport è relativamente più brava? Indica il punteggio z di quello sport.
Risposta: -1.5
1. Qual è il suo punteggio z nella corsa, $\frac{24 - 27}{2}$ ? -1.5
2. Qual è il suo punteggio z nel nuoto, $\frac{75 - 80}{4}$ ? -1.25
3. Più basso è meglio, quindi vince lo z più piccolo. Scrivi il punteggio z più piccolo. -1.5
10.
I punteggi del QI hanno $\mu = 100$ e $\sigma = 15$ . Quale punteggio è insolito ( $|z| > 2$ )?
1. a)75
2. b)85
3. c)134
4. d)120
Risposta: 134
$z(120) \approx 1{,}33$ , $z(134) = \frac{34}{15} \approx 2{,}27$ , $z(85) = -1$ , $z(75) \approx -1{,}67$ . Solo 134 ha $|z| > 2$ ; l'intervallo abituale va da 70 a 130.
11.
Nella gara dei 100 m di una scuola i tempi hanno $\mu = 13{,}5$ s e $\sigma = 0{,}6$ s. Trova il punteggio z di un tempo di $12{,}6$ s.
Risposta: -1.5
$z = \frac{12{,}6 - 13{,}5}{0{,}6} = \frac{-0{,}9}{0{,}6} = -1{,}5$ . In una gara è un buon risultato: 1,5 deviazioni standard più veloce della media.
12.
La batteria di un telefono dura in media $\mu = 40$ ore con $\sigma = 3$ ore. Una batteria dura solo $33{,}4$ ore. È insolito?
Risposta: -2.2
1. Quanto fa $33{,}4 - 40$ ? -6.6
2. Dividi per $\sigma = 3$ . Quanto vale z? -2.2
3. È $|z| > 2$ , cioè la durata è insolita? Sì
13.
La frequenza cardiaca a riposo degli adolescenti ha $\mu = 72$ battiti al minuto e $\sigma = 8$ . Trova l'intervallo dei valori abituali, da $z = -2$ a $z = 2$ .
Risposta: [56, 88]
1. Quanto fa $2\sigma = 2 \cdot 8$ ? 16
2. Estremo inferiore: $72 - 16$ ? 56
3. Estremo superiore: $72 + 16$ ? 88
14.
Un'insegnante aggiunge 5 punti bonus al punteggio di ogni studente. Che cosa succede al punteggio z di ciascuno?
1. a)Diminuisce di 5
2. b)Aumenta di 5/σ
3. c)Aumenta di 5
4. d)Resta uguale
Risposta: Resta uguale
Ogni punteggio e la media salgono di 5, quindi $x - \mu$ non cambia. Nemmeno la dispersione cambia, quindi $\sigma$ resta uguale. Perciò $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ resta uguale.
15.
Una prova ha media $\mu = 80$ . Un punteggio di $92$ ha punteggio z $z = 1{,}5$ . Qual è la deviazione standard $\sigma$ ?
Risposta: 8
$1{,}5 = \frac{92 - 80}{\sigma} = \frac{12}{\sigma}$ , quindi $\sigma = \frac{12}{1{,}5} = 8$ .
16.
I punteggi di un test d'ingresso hanno $\mu = 1050$ e $\sigma = 200$ . Una borsa di studio richiede un punteggio z di almeno $1{,}75$ . Qual è il punteggio minimo che basta?
Risposta: 1400
1. Quanto fa $z\sigma = 1{,}75 \cdot 200$ ? 350
2. Quanto fa $x = 1050 + 350$ ? 1400
17.
In una classe un punteggio di $78$ ha punteggio z $z = 1{,}5$ e la deviazione standard è $\sigma = 6$ . Qual è la media $\mu$ della classe?
Risposta: 69
1. Di quanti punti 78 supera la media? Calcola $z\sigma = 1{,}5 \cdot 6$ . 9
2. Quanto fa $\mu = 78 - 9$ ? 69
18.
In una prova un punteggio di $70$ ha $z = -1$ e un punteggio di $94$ ha $z = 2$ . Trova la deviazione standard $\sigma$ e la media $\mu$ . Dai $\mu$ come risposta finale.
Risposta: 78
1. Quante deviazioni standard separano i due punteggi? ( $2 - (-1)$ ) 3
2. Quanti punti li separano? ( $94 - 70$ ) 24
3. Quindi $3\sigma = 24$ . Quanto vale $\sigma$ ? 8
4. 70 è una deviazione standard sotto la media. Quanto fa $\mu = 70 + 8$ ? 78