Come trovo la vera variazione percentuale in un grafico?

Leggi sull'asse il valore iniziale e quello finale, poi calcola $\frac{\text{nuovo} - \text{vecchio}}{\text{vecchio}} \times 100\%$. Non badare a quanto sembra ripida o alta l'immagine.

Perché un grafico 3D è peggiore di uno piatto?

Gli effetti 3D aggiungono profondità, quindi i nostri occhi confrontano volumi. Una scatola con tutti gli spigoli lunghi il doppio ha un volume $2^3 = 8$ volte più grande. Inoltre i grafici a torta 3D inclinano il cerchio, e gli spicchi davanti sembrano più grandi di quelli dietro.

Un grafico ingannevole può contenere solo numeri veri?

Sì, ed è proprio questo che lo rende insidioso. Tutti i numeri possono essere giusti mentre la scala, le immagini o il periodo scelto raccontano una storia falsa. Per questo devi sempre controllare i numeri da solo.

Risorse per insegnanti

Grafici ingannevoli

Impara a riconoscere i grafici che ingannano l'occhio: assi troncati, scale allungate, intervalli irregolari, figure troppo grandi e grafici a torta che non fanno 100%.

Intermedio25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Un grafico ingannevole mostra numeri corretti in un modo che dà un'impressione sbagliata. I dati possono essere veri mentre l'immagine mente.

I trucchi più comuni:

Asse troncato: l'asse verticale non parte da 0, così piccole differenze sembrano enormi
Scala allungata o schiacciata: la stessa variazione sembra ripida o piatta a seconda di quanto sono distanti i numeri sull'asse
Intervalli irregolari: i passi su un asse non sono uguali (per esempio 2000, 2010, 2020, 2022), quindi non si possono confrontare le pendenze
Ideogrammi e grafici 3D: un'icona alta il doppio *e* larga il doppio ha un'area 4 volte più grande
Grafici a torta sbagliati: gli spicchi devono sommare esattamente al 100%
Periodo scelto ad arte: si mostra solo la parte dei dati che sostiene un'affermazione
Etichette mancanti: niente titolo, niente unità di misura o niente scala, quindi non puoi controllare nulla

Il rimedio è dimenticare per un attimo l'immagine e calcolare con i numeri:

\text{variazione percentuale} = \frac{\text{nuovo} - \text{vecchio}}{\text{vecchio}} \times 100\%

Esempi svolti

In una votazione a scuola, il succo A ha ottenuto 52 voti e il succo B 48 voti. Un manifesto mostra un grafico a barre il cui asse verticale parte da 45. Quante volte più alta sembra la barra A, e quanto è davvero più grande A?

Trova le altezze disegnate sopra l'inizio dell'asse

52 - 45 = 7

, B:

48 - 45 = 3

→ Altezze disegnate 7 e 3

Confronta le altezze disegnate

\frac{7}{3} \approx 2{,}33

→ La barra A sembra circa 2,3 volte più alta

Confronta i valori veri

\frac{52}{48} \approx 1{,}08

→ A è in realtà circa 1,08 volte B

Scrivi la vera differenza in percentuale

\frac{52 - 48}{48} \times 100\% \approx 8{,}3\%

→ Circa l'8,3% di voti in più

Risposta: La barra A sembra alta più del doppio, ma il succo A ha ottenuto solo circa l'8,3% di voti in più del succo B. Confronta i due grafici a barre qui sopra: con l'asse da 45 la barra A supera di molto la barra B, con l'asse da 0 le due barre sono quasi della stessa altezza.

Errori comuni

Giudicare la grandezza di una differenza solo dall'altezza delle barre

Perché è sbagliato: Se l'asse parte da 45 invece che da 0, le barre mostrano solo la parte sopra 45. Una barra per 52 sembra allora alta più del doppio di una barra per 48.

Corretto: Guarda sempre da dove parte l'asse. Confronta i valori veri: $\frac{52}{48} \approx 1{,}08$ , solo circa l'8% in più.

Dividere per il valore nuovo quando si calcola la variazione percentuale

Perché è sbagliato: La variazione percentuale si confronta sempre con il punto di partenza. Da 1000 a 1050, dividere per 1050 dà circa 4,8%, che non è la variazione.

Corretto: Dividi la variazione per il valore vecchio: $\frac{1050 - 1000}{1000} \times 100\% = 5\%$ .

Pensare che una linea ripida significhi sempre una grande variazione

Perché è sbagliato: Quanto sembra ripida una linea dipende dalla scala. Un asse allungato fa sembrare il 5% un razzo, uno schiacciato fa sembrare piatto il 25% (guarda il grafico dell'affitto qui sopra, il cui asse arriva fino a 10000).

Corretto: Leggi i numeri all'inizio e alla fine della linea e calcola tu la variazione.

Confrontare ideogrammi o grafici 3D solo in base all'altezza

Perché è sbagliato: I nostri occhi valutano l'area (o il volume) di un'immagine. Un'icona alta il doppio e larga il doppio ha un'area 4 volte più grande; una scatola 3D con tutti gli spigoli doppi ha un volume 8 volte più grande.

Corretto: Confronta i numeri che le immagini rappresentano, non la grandezza delle immagini.

Visuale interattivo

Grafico a barre

Grafico a barre corretto (asse da 0): 52 contro 48 voti

Succo A(52)

Succo B(48)

Grafico a barre

Stessi voti, l'asse parte da 45: la barra A sembra alta più del doppio

Succo A(52)

Succo B(48)

Grafico a linee

Visitatori del sito al giorno: l'asse parte da 980

Grafico a linee

Stessi dati: l'asse parte da 0

Grafico a linee

Affitto mensile, scala schiacciata: asse da 0 a 10000

Grafico a linee

Anni irregolari, spazi uguali (migliaia di abitanti)

Grafico a torta

Sport praticati (più risposte): in totale 135%

Calcio(60%)

Nuoto(45%)

Tennis(30%)

Sandbox interattivo

Calcolatrice di espressioni

Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

L'asse verticale di un grafico a barre parte da 90 invece che da 0. Qual è il pericolo principale?

Esercizi pratici: Grafici ingannevoli

1. L'asse verticale di un grafico a barre parte da 90 invece che da 0. Qual è il pericolo principale?
2. Un grafico a linee mostra che le vendite sono passate da 200 a 230. Qual è il vero aumento percentuale? Scrivi solo il numero (per 12% scrivi 12).
3. Un grafico a torta mostra quattro spicchi con 35%, 30%, 25% e 20%. Di quanti punti percentuali il totale è troppo grande?
4. Un grafico a torta ha quattro spicchi. Tre hanno le etichette 45%, 25% e 20%; il quarto non ha etichetta. Che percentuale dovrebbe essere il quarto spicchio? Scrivi solo il numero.
5. Un grafico a linee con la scala schiacciata mostra un prezzo che scende da 80 a 60, e la linea sembra quasi piatta. Qual è la vera variazione percentuale? (Una diminuzione è negativa.)
6. Quale di questi grafici è disegnato in modo corretto?
7. In un ideogramma, un'icona di moneta rappresenta i risparmi dell'anno scorso. Quest'anno i risparmi sono il doppio, e la moneta viene disegnata alta il doppio e larga il doppio. Quante volte più grande sembra la nuova moneta (come area)?
8. Un grafico a barre confronta due negozi: il negozio A ha venduto 66 biciclette e il negozio B 60. L'asse verticale parte da 57. Quante volte più alta sembra la barra A, e qual è la vera differenza percentuale?
9. Un grafico a linee allungato mostra il consumo di elettricità di una città che sale da 1200 a 1260 unità. La linea schizza verso l'alto. Qual è il vero aumento percentuale?
10. Un grafico 3D mostra le vendite di auto come cubi. Il secondo cubo ha ogni spigolo lungo 2 volte quello del primo. Quante volte più grande è il volume del secondo cubo?
11. Un grafico a linee mette gli anni 2000, 2010, 2020, 2021 e 2022 a distanze uguali sull'asse orizzontale. Che cosa c'è di ingannevole?
12. Un grafico mostra l'altezza di un albero: 30 cm nel 2000, 50 cm nel 2010 e 60 cm nel 2015, con i tre anni a distanze uguali. Il secondo tratto della linea sembra più piatto. Trova la crescita all'anno in ciascun periodo.
13. Un grafico dell'affitto mensile usa un asse verticale da 0 a 10000 €, quindi la linea sembra piatta. In realtà l'affitto è salito da 800 € a 1000 €. Qual è il vero aumento percentuale? Scrivi solo il numero.
14. In un grafico a barre, la barra A sembra esattamente alta il doppio della barra B. Poi noti che l'asse parte da 40 e che B = 50. Qual è il valore di A, e di quale percentuale supera B?
15. Il prezzo di un'azione era 120 nel 2019, 60 nel 2022 e 75 nel 2024. Una pubblicità mostra solo dal 2022 al 2024. Trova la variazione percentuale che mostra la pubblicità, poi la variazione percentuale su tutto il periodo dal 2019 al 2024.
16. In un grafico a barre con asse troncato, una barra per il valore 50 è alta 5 cm e una barra per il valore 60 è alta 15 cm. Da quale valore parte l'asse?
17. Un titolo dice: "Vendite raddoppiate!". Il grafico a barre mostra 600 per il 2023 e 700 per il 2024, e il suo asse parte da 500, quindi la barra del 2024 è disegnata alta il doppio. Qual è il vero rapporto tra le vendite del 2024 e quelle del 2023?
18. Un paese ha riciclato 2 milioni di tonnellate nel 2015 e 8 milioni nel 2025. Un'infografica disegna l'icona della bottiglia del 2025 alta 4 volte e larga 4 volte quella del 2015. Trova di quanto esagera l'immagine e il fattore corretto per ogni lato.

Perché è importante

I grafici sono ovunque: notiziari, pubblicità, sondaggi elettorali, bilanci aziendali e social network. Molti sono fatti per convincere, non solo per informare.

Pubblicità: una batteria che dura 21 ore invece di 20 può essere disegnata con una barra alta il doppio
Notizie e politica: un vantaggio di 2 punti in un sondaggio può sembrare una vittoria schiacciante
Soldi: un fondo d'investimento può mostrare solo i suoi due anni migliori e nasconderne cinque cattivi
Scienza e salute: un asse allungato può rendere clamoroso un effetto minuscolo, uno schiacciato può nascondere un problema reale

Se conosci i trucchi, puoi controllare i numeri in pochi secondi e decidere da solo. È una delle abilità matematiche più utili nella vita di tutti i giorni.

Applicazioni nel mondo reale

Pubblicità e promesse sui prodotti

Le pubblicità usano spesso grafici a barre con l'asse troncato perché un piccolo vantaggio sembri enorme.

Esempio:

Una pubblicità di batterie mostra 21 ore per la sua batteria e 20 ore per la concorrente. Con l'asse che parte da 19, le barre sono alte 2 e 1 unità, quindi una sembra lunga il doppio.

1Provaci tu stesso

La batteria A dura 21 ore e la batteria B dura 20 ore. L'asse del grafico a barre della pubblicità parte da 19.

Di quale percentuale la batteria A dura davvero più della batteria B?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola la percentuale: variazione divisa per il valore di B, per 100

Fondi d'investimento e periodi scelti ad arte

Un fondo può fare bella figura mostrando solo gli anni in cui il suo prezzo è salito.

Esempio:

Il prezzo di un fondo era 80 nel 2019, è sceso a 50 nel 2022 ed è risalito a 60 nel 2024. La pubblicità mostra solo dal 2022 al 2024: "+20%!"

2Provaci tu stesso

Il prezzo del fondo era 80 all'inizio del 2019 e 60 alla fine del 2024. La pubblicità mostra solo gli ultimi due anni, quando il prezzo è salito da 50 a 60.

Qual è la vera variazione percentuale su tutto il periodo, da 80 a 60?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola: (nuovo - vecchio) / vecchio × 100

Infografiche con immagini

Le infografiche dei notiziari mostrano spesso le quantità come immagini (sacchi, monete, persone) e ingrandiscono le immagini in entrambe le direzioni.

Esempio:

Una scuola ha raccolto 2 tonnellate di carta da riciclare l'anno scorso e 3 tonnellate quest'anno. L'infografica rende il secondo sacco 1,5 volte più alto e 1,5 volte più largo.

3Provaci tu stesso

La quantità è passata da 2 a 3 tonnellate, quindi il vero rapporto è 1,5. L'immagine del sacco di quest'anno è 1,5 volte più alta e 1,5 volte più larga.

Quante volte più grande è l'area della nuova immagine del sacco?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica i due fattori:

Punti chiave

1Un grafico ingannevole può mostrare numeri veri e dare comunque un'impressione sbagliata
2Controlla sempre da dove parte l'asse verticale: un asse che non parte da 0 fa sembrare grandi piccole differenze
3Le scale allungate o schiacciate cambiano quanto sembra ripida una linea, quindi leggi i numeri invece della pendenza
4Controlla che i passi su ogni asse siano uguali e che il periodo non sia stato scelto ad arte
5Le immagini che crescono in due direzioni esagerano: altezza e larghezza doppie significano un'area 4 volte più grande
6Gli spicchi di un grafico a torta devono fare 100%; calcola la vera variazione con $\frac{\text{nuovo} - \text{vecchio}}{\text{vecchio}} \times 100\%$

Domande frequenti

Non sempre. Nei grafici a linee, per esempio della temperatura corporea o del prezzo di un'azione, partire vicino ai dati può aiutare a vedere piccole variazioni, purché l'asse sia ben etichettato. Nei grafici a barre è quasi sempre ingannevole, perché la lunghezza della barra è il messaggio.

Glossario

Grafico ingannevole: Un grafico che dà un'impressione sbagliata dei dati, anche se i suoi numeri sono veri
Asse troncato: Un asse che non parte da 0, così viene disegnata solo la parte alta di ogni valore
Scala: I numeri su un asse e la distanza tra loro; decide quanto grande sembra una variazione
Intervallo: Il passo tra due numeri vicini su un asse; un asse corretto usa intervalli uguali
Variazione percentuale: La variazione divisa per il valore iniziale, per 100%
Selezione di comodo: Mostrare solo la parte dei dati che sostiene un'affermazione e nascondere il resto

Scheda formule

Variazione percentuale

\frac{\text{nuovo} - \text{vecchio}}{\text{vecchio}} \times 100\%

La vera grandezza di una variazione, qualunque sia l'aspetto del grafico

Quanto sembrano alte le barre su un asse troncato

\frac{a - s}{b - s}

Barre per i valori a e b su un asse che parte da s

Immagine ingrandita di k in entrambe le direzioni

\text{area} \times k^2

Alta il doppio e larga il doppio: area 4 volte più grande; in 3D il volume viene moltiplicato per $k^3$

Sfida di oggiUn problema, tre tentativi

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Grafico a barre corretto (asse da 0): 52 contro 48 voti

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Visitatori del sito al giorno: l'asse parte da 980

Grafico a linee

Stessi dati: l'asse parte da 0

Grafico a linee

Affitto mensile, scala schiacciata: asse da 0 a 10000

Grafico a linee

Anni irregolari, spazi uguali (migliaia di abitanti)

Grafico a torta

Sport praticati (più risposte): in totale 135%

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