Guida per l'insegnante: Grafici ingannevoli

Impara a riconoscere i grafici che ingannano l'occhio: assi troncati, scale allungate, intervalli irregolari, figure troppo grandi e grafici a torta che non fanno 100%.

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Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Riconoscere assi troncati, scale allungate o schiacciate e intervalli irregolari in un grafico
Calcolare quante volte più alta sembra una barra su un asse troncato e confrontarlo con il vero rapporto
Calcolare la vera variazione percentuale da valori letti su un grafico
Spiegare perché le immagini ingrandite in due o tre direzioni esagerano le differenze
Controllare che un grafico a torta faccia 100% e riconoscere i periodi scelti ad arte

Prerequisiti

• Leggere grafici a barre e grafici a linee (lezioni Leggere i grafici a barre e Leggere i grafici a linee)
• Leggere grafici a torta (lezione Leggere i grafici a torta)
• Calcolare percentuali e rapporti
• Area dei rettangoli

Spunti di discussione

1. Dove hai visto un grafico che faceva sembrare qualcosa più grande o più piccolo di quanto fosse?
2. Perché un'azienda potrebbe volere che il suo asse parta da 95 invece che da 0?
3. Se un grafico contiene numeri veri, può comunque mentire? Come?
4. Quando sarebbe corretto che un grafico a linee non partisse da 0?
5. Perché i nostri occhi confrontano l'area delle immagini invece della loro altezza?

Idee sbagliate comuni

Se i numeri di un grafico sono giusti, il grafico non può essere ingannevole

Rimedio: Mostra affiancati i due grafici dei visitatori di questa lezione. I numeri sono identici, ma uno mostra un razzo e l'altro una linea piatta. Chiedi quale corrisponde a una variazione del 5%.

Una barra che sembra alta il doppio vuol dire il doppio

Rimedio: Copri con un foglio la parte bassa di un grafico a barre corretto, così si vede solo la parte alta. Gli studenti vedono che le barre sembrano all'improvviso molto diverse, anche se i valori non sono cambiati.

La variazione percentuale è la differenza divisa per il numero più grande

Rimedio: Usa il prezzo di una merendina: da 2 a 3 è un aumento del 50%, da 3 a 2 una diminuzione del 33%. La base è sempre il valore iniziale.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Iniziare solo con grafici a barre e chiedere: da dove parte l'asse?
• Dare in una tabella le altezze disegnate e i valori veri e confrontarli
• Usare variazioni percentuali intere (10%, 20%, 25%, 50%)

Per studenti a livello:

• Calcolare rapporti apparenti su assi troncati e vere variazioni percentuali
• Trovare l'errore in grafici a torta e ideogrammi
• Ridisegnare in modo corretto un grafico ingannevole

Per studenti avanzati:

• Trovare da dove parte un asse troncato a partire dalle altezze disegnate delle barre
• Esplorare i grafici 3D: un fattore k moltiplica il volume per $k^3$
• Analizzare un vero grafico di giornale e scrivere una breve relazione su ciò che nasconde

Allineamento agli standard

7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)
Usare relazioni di proporzionalità per risolvere problemi in più passaggi su rapporti e percentuali, compresi aumenti e diminuzioni percentuali
6.SP.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.5)
Riassumere insiemi di dati numerici in relazione al loro contesto
7.G.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.A.1)
Risolvere problemi con disegni in scala di figure geometriche, compreso il calcolo di aree reali da un disegno

Risorse della lezione

visualStessi dati, due assi
Due grafici a linee degli stessi visitatori: un asse parte da 980, l'altro da 0
activityDetective dei grafici
Gli studenti portano un grafico da un notiziario o da una pubblicità, trovano il trucco e calcolano la vera variazione
activityFallo sembrare grande
I gruppi ricevono gli stessi pochi dati; metà disegna un grafico corretto, metà il più spettacolare possibile, poi si confrontano
worksheetRipara il grafico
Ridisegnare in modo corretto cinque grafici ingannevoli e scrivere una frase onesta su ciascuno

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Un grafico ingannevole mostra numeri corretti in un modo che dà un'impressione sbagliata. I dati possono essere veri mentre l'immagine mente.

I trucchi più comuni:

Asse troncato: l'asse verticale non parte da 0, così piccole differenze sembrano enormi
Scala allungata o schiacciata: la stessa variazione sembra ripida o piatta a seconda di quanto sono distanti i numeri sull'asse
Intervalli irregolari: i passi su un asse non sono uguali (per esempio 2000, 2010, 2020, 2022), quindi non si possono confrontare le pendenze
Ideogrammi e grafici 3D: un'icona alta il doppio *e* larga il doppio ha un'area 4 volte più grande
Grafici a torta sbagliati: gli spicchi devono sommare esattamente al 100%
Periodo scelto ad arte: si mostra solo la parte dei dati che sostiene un'affermazione
Etichette mancanti: niente titolo, niente unità di misura o niente scala, quindi non puoi controllare nulla

Il rimedio è dimenticare per un attimo l'immagine e calcolare con i numeri:

\text{variazione percentuale} = \frac{\text{nuovo} - \text{vecchio}}{\text{vecchio}} \times 100\%

Esempi svolti

In una votazione a scuola, il succo A ha ottenuto 52 voti e il succo B 48 voti. Un manifesto mostra un grafico a barre il cui asse verticale parte da 45. Quante volte più alta sembra la barra A, e quanto è davvero più grande A?

Trova le altezze disegnate sopra l'inizio dell'asse

52 - 45 = 7

, B:

48 - 45 = 3

→ Altezze disegnate 7 e 3

Confronta le altezze disegnate

\frac{7}{3} \approx 2{,}33

→ La barra A sembra circa 2,3 volte più alta

Confronta i valori veri

\frac{52}{48} \approx 1{,}08

→ A è in realtà circa 1,08 volte B

Scrivi la vera differenza in percentuale

\frac{52 - 48}{48} \times 100\% \approx 8{,}3\%

→ Circa l'8,3% di voti in più

Risposta: La barra A sembra alta più del doppio, ma il succo A ha ottenuto solo circa l'8,3% di voti in più del succo B. Confronta i due grafici a barre qui sopra: con l'asse da 45 la barra A supera di molto la barra B, con l'asse da 0 le due barre sono quasi della stessa altezza.

Errori comuni

Giudicare la grandezza di una differenza solo dall'altezza delle barre

Perché è sbagliato: Se l'asse parte da 45 invece che da 0, le barre mostrano solo la parte sopra 45. Una barra per 52 sembra allora alta più del doppio di una barra per 48.

Corretto: Guarda sempre da dove parte l'asse. Confronta i valori veri: $\frac{52}{48} \approx 1{,}08$ , solo circa l'8% in più.

Dividere per il valore nuovo quando si calcola la variazione percentuale

Perché è sbagliato: La variazione percentuale si confronta sempre con il punto di partenza. Da 1000 a 1050, dividere per 1050 dà circa 4,8%, che non è la variazione.

Corretto: Dividi la variazione per il valore vecchio: $\frac{1050 - 1000}{1000} \times 100\% = 5\%$ .

Pensare che una linea ripida significhi sempre una grande variazione

Perché è sbagliato: Quanto sembra ripida una linea dipende dalla scala. Un asse allungato fa sembrare il 5% un razzo, uno schiacciato fa sembrare piatto il 25% (guarda il grafico dell'affitto qui sopra, il cui asse arriva fino a 10000).

Corretto: Leggi i numeri all'inizio e alla fine della linea e calcola tu la variazione.

Confrontare ideogrammi o grafici 3D solo in base all'altezza

Perché è sbagliato: I nostri occhi valutano l'area (o il volume) di un'immagine. Un'icona alta il doppio e larga il doppio ha un'area 4 volte più grande; una scatola 3D con tutti gli spigoli doppi ha un volume 8 volte più grande.

Corretto: Confronta i numeri che le immagini rappresentano, non la grandezza delle immagini.

Perché è importante

I grafici sono ovunque: notiziari, pubblicità, sondaggi elettorali, bilanci aziendali e social network. Molti sono fatti per convincere, non solo per informare.

Pubblicità: una batteria che dura 21 ore invece di 20 può essere disegnata con una barra alta il doppio
Notizie e politica: un vantaggio di 2 punti in un sondaggio può sembrare una vittoria schiacciante
Soldi: un fondo d'investimento può mostrare solo i suoi due anni migliori e nasconderne cinque cattivi
Scienza e salute: un asse allungato può rendere clamoroso un effetto minuscolo, uno schiacciato può nascondere un problema reale

Se conosci i trucchi, puoi controllare i numeri in pochi secondi e decidere da solo. È una delle abilità matematiche più utili nella vita di tutti i giorni.

Applicazioni nel mondo reale

Pubblicità e promesse sui prodotti

Le pubblicità usano spesso grafici a barre con l'asse troncato perché un piccolo vantaggio sembri enorme.

Esempio:

Una pubblicità di batterie mostra 21 ore per la sua batteria e 20 ore per la concorrente. Con l'asse che parte da 19, le barre sono alte 2 e 1 unità, quindi una sembra lunga il doppio.

1Provaci tu stesso

La batteria A dura 21 ore e la batteria B dura 20 ore. L'asse del grafico a barre della pubblicità parte da 19.

Di quale percentuale la batteria A dura davvero più della batteria B?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola la percentuale: variazione divisa per il valore di B, per 100

Fondi d'investimento e periodi scelti ad arte

Un fondo può fare bella figura mostrando solo gli anni in cui il suo prezzo è salito.

Esempio:

Il prezzo di un fondo era 80 nel 2019, è sceso a 50 nel 2022 ed è risalito a 60 nel 2024. La pubblicità mostra solo dal 2022 al 2024: "+20%!"

2Provaci tu stesso

Il prezzo del fondo era 80 all'inizio del 2019 e 60 alla fine del 2024. La pubblicità mostra solo gli ultimi due anni, quando il prezzo è salito da 50 a 60.

Qual è la vera variazione percentuale su tutto il periodo, da 80 a 60?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola: (nuovo - vecchio) / vecchio × 100

Infografiche con immagini

Le infografiche dei notiziari mostrano spesso le quantità come immagini (sacchi, monete, persone) e ingrandiscono le immagini in entrambe le direzioni.

Esempio:

Una scuola ha raccolto 2 tonnellate di carta da riciclare l'anno scorso e 3 tonnellate quest'anno. L'infografica rende il secondo sacco 1,5 volte più alto e 1,5 volte più largo.

3Provaci tu stesso

La quantità è passata da 2 a 3 tonnellate, quindi il vero rapporto è 1,5. L'immagine del sacco di quest'anno è 1,5 volte più alta e 1,5 volte più larga.

Quante volte più grande è l'area della nuova immagine del sacco?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Moltiplica i due fattori:

Punti chiave

1Un grafico ingannevole può mostrare numeri veri e dare comunque un'impressione sbagliata
2Controlla sempre da dove parte l'asse verticale: un asse che non parte da 0 fa sembrare grandi piccole differenze
3Le scale allungate o schiacciate cambiano quanto sembra ripida una linea, quindi leggi i numeri invece della pendenza
4Controlla che i passi su ogni asse siano uguali e che il periodo non sia stato scelto ad arte
5Le immagini che crescono in due direzioni esagerano: altezza e larghezza doppie significano un'area 4 volte più grande
6Gli spicchi di un grafico a torta devono fare 100%; calcola la vera variazione con $\frac{\text{nuovo} - \text{vecchio}}{\text{vecchio}} \times 100\%$

Domande frequenti

Un grafico il cui asse non parte da 0 è sempre ingannevole?

Non sempre. Nei grafici a linee, per esempio della temperatura corporea o del prezzo di un'azione, partire vicino ai dati può aiutare a vedere piccole variazioni, purché l'asse sia ben etichettato. Nei grafici a barre è quasi sempre ingannevole, perché la lunghezza della barra è il messaggio.

Come trovo la vera variazione percentuale in un grafico?

Leggi sull'asse il valore iniziale e quello finale, poi calcola

\frac{\text{nuovo} - \text{vecchio}}{\text{vecchio}} \times 100\%

. Non badare a quanto sembra ripida o alta l'immagine.

Perché un grafico 3D è peggiore di uno piatto?

Gli effetti 3D aggiungono profondità, quindi i nostri occhi confrontano volumi. Una scatola con tutti gli spigoli lunghi il doppio ha un volume

2^3 = 8

volte più grande. Inoltre i grafici a torta 3D inclinano il cerchio, e gli spicchi davanti sembrano più grandi di quelli dietro.

Un grafico ingannevole può contenere solo numeri veri?

Sì, ed è proprio questo che lo rende insidioso. Tutti i numeri possono essere giusti mentre la scala, le immagini o il periodo scelto raccontano una storia falsa. Per questo devi sempre controllare i numeri da solo.

Glossario

Grafico ingannevole: Un grafico che dà un'impressione sbagliata dei dati, anche se i suoi numeri sono veri
Asse troncato: Un asse che non parte da 0, così viene disegnata solo la parte alta di ogni valore
Scala: I numeri su un asse e la distanza tra loro; decide quanto grande sembra una variazione
Intervallo: Il passo tra due numeri vicini su un asse; un asse corretto usa intervalli uguali
Variazione percentuale: La variazione divisa per il valore iniziale, per 100%
Selezione di comodo: Mostrare solo la parte dei dati che sostiene un'affermazione e nascondere il resto

Scheda formule

Variazione percentuale

\frac{\text{nuovo} - \text{vecchio}}{\text{vecchio}} \times 100\%

La vera grandezza di una variazione, qualunque sia l'aspetto del grafico

Quanto sembrano alte le barre su un asse troncato

\frac{a - s}{b - s}

Barre per i valori a e b su un asse che parte da s

Immagine ingrandita di k in entrambe le direzioni

\text{area} \times k^2

Alta il doppio e larga il doppio: area 4 volte più grande; in 3D il volume viene moltiplicato per $k^3$

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Per studenti a livello:

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Definizione

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Errori comuni

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Fondi d'investimento e periodi scelti ad arte

Infografiche con immagini

Punti chiave

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