Un insieme di dati può non avere valori anomali, o averne più di uno?

Sì, entrambe le cose. Molti insiemi di dati non hanno nessun valore anomalo, altri ne hanno diversi, da un solo lato o da entrambi i lati (come le temperature $2$ e $52$ negli esempi).

Il minimo o il massimo è sempre un valore anomalo?

No. Il minimo e il massimo sono solo il valore più piccolo e quello più grande. Sono anomali solo se si trovano fuori dai limiti. Per esempio, in $60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 95$ il limite superiore è $96{,}25$, quindi il massimo $95$ non è anomalo.

C'è un altro modo per trovare i valori anomali?

Sì. Con la deviazione standard puoi misurare a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore (il suo punteggio z). I valori a più di 2 o 3 deviazioni standard vengono spesso considerati insoliti. Per i diagrammi a scatola si usa la regola 1,5 × IQR perché non dipende dalla media, che i valori anomali distorcono.

Risorse per insegnanti

Individuare i valori anomali

Q: Perché 1,5 e non 1 o 2?

Il fattore $1{,}5$ è stato scelto dallo statistico John Tukey perché funziona bene nella pratica: segnala i valori davvero insoliti senza marcare troppi valori normali. Alcuni libri usano anche $3 \times \text{IQR}$ per i valori anomali "estremi".

Impara che cos'è un valore anomalo (outlier), come trovarlo con la regola 1,5 × IQR e come cambia la media, la mediana e il campo di variazione.

Intermedio25 minLezione

Scheda da stampare

Definizione

Un valore anomalo (in inglese outlier) è un dato che si trova insolitamente lontano dal resto dei dati. È molto più piccolo o molto più grande degli altri valori.

La regola 1,5 × IQR

Per decidere in modo oggettivo se un valore è anomalo, costruiamo due limiti (detti anche recinti) a partire dai quartili:

\text{Limite inferiore} = Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}

\text{Limite superiore} = Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}

dove

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

è lo scarto interquartile. Ogni valore sotto il limite inferiore o sopra il limite superiore è un valore anomalo. Un valore che coincide esattamente con un limite non è anomalo.

Come trovare i valori anomali

1.Ordina i dati e trova $Q_1$ e $Q_3$ (mediane della metà inferiore e della metà superiore, come in Campo di variazione e scarto interquartile)
2.Calcola $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$
3.Moltiplica: $1{,}5 \times \text{IQR}$
4.Limite inferiore $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ , limite superiore $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$
5.Ogni valore fuori dai limiti è un valore anomalo

I valori anomali nel diagramma a scatola

Nel diagramma a scatola i valori anomali si disegnano come punti isolati. I baffi terminano nel valore più piccolo e nel valore più grande che non sono anomali.

Perché sono importanti

Un valore anomalo sposta la media e allarga il campo di variazione, ma muove appena la mediana e l'IQR. Per questo si dice che la mediana e l'IQR sono misure robuste.

Esistono anche altri metodi: con la deviazione standard, un valore che dista più di 2 o 3 deviazioni standard dalla media viene spesso considerato insolito (vedi Deviazione standard).

Prova subito

Che cos'è un valore anomalo?

Esempi svolti

Un insieme di dati ha

Q_1 = 20

Q_3 = 30

. Quali tra i valori

2

18

44

50

sono anomali?

Trova l'IQR

\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 30 - 20

→

\text{IQR} = 10

Moltiplica l'IQR per 1,5

1{,}5 \times 10

→

15

Trova il limite inferiore

Q_1 - 15 = 20 - 15

→ Limite inferiore

= 5

Trova il limite superiore

Q_3 + 15 = 30 + 15

→ Limite superiore

= 45

Confronta ogni valore con i limiti

2 < 5

(fuori),

18

44

sono tra

5

45

(dentro),

50 > 45

(fuori) → Valori anomali:

2

50

Risposta: Solo $2$ e $50$ sono valori anomali. I valori $18$ e $44$ si trovano dentro i limiti $5$ e $45$ .

Errori comuni

Usare $Q_3 + \text{IQR}$ invece di $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$

Perché è sbagliato: Senza il fattore $1{,}5$ i limiti sono troppo vicini alla scatola e valori normali vengono segnati come anomali.

Corretto: Moltiplica sempre prima: $1{,}5 \times \text{IQR}$ , poi sottrailo da $Q_1$ e sommalo a $Q_3$ .

Costruire i limiti partendo dalla mediana, dal minimo o dal massimo

Perché è sbagliato: La regola misura la distanza dalla scatola, e la scatola finisce in $Q_1$ e $Q_3$ .

Corretto: Limite inferiore $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ , limite superiore $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$ . Non partire mai dalla mediana o dagli estremi.

Disegnare il baffo fino al valore anomalo

Perché è sbagliato: Così il valore anomalo sembra parte della normale dispersione e il diagramma a scatola lo nasconde.

Corretto: Il baffo termina nel valore più grande (o più piccolo) che non è anomalo. Disegna ogni valore anomalo come un punto isolato.

Eliminare automaticamente tutti i valori anomali

Perché è sbagliato: Un valore anomalo può essere vero e importante, come un tempo record o un ordine molto grande.

Corretto: Elimina o correggi un valore solo se è un errore (errore di battitura, strumento guasto, unità sbagliata). Tieni i valori anomali veri e segnalali, oppure usa la mediana e l'IQR.

Visuale interattivo

Costruttore di box plot

Min

12,5

Mediana

16,5

Max

IQR (Q3 - Q1):4

Intervallo:6

Valori anomali:3

Dati ordinati:

3; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 17; 18

n = 9

Clicca sulle parti del box plot per imparare cosa rappresentano.

Confrontare box plot

	Come registrato (con 2 e 52)	Errori del sensore rimossi
Min	21	21
Q1	23	23,5
Mediana	26	26
Q3	29	28,5
Max	30	30
IQR	6	5
Intervallo	9	9
Valori anomali	2; 52	-

Tutti i box plot hanno lo stesso asse, così puoi confrontare direttamente mediane, scatole (IQR) e intervalli. Tocca una scatola per evidenziarla. I cerchi sono valori anomali: a più di 1,5 × IQR dalla scatola.

Diagramma a punti

Viaggi in autobus senza il guasto: 12, 14, 15, 16, 18 minuti

Ogni punto è un valore (5 valori in tutto).

Media = 15

Mediana = 15

Tocca una colonna per contare i suoi punti.

Diagramma a punti

Con il giorno del guasto: 12, 14, 15, 16, 18, 51 minuti

Ogni punto è un valore (6 valori in tutto).

Media = 21

Mediana = 15,5

Tocca una colonna per contare i suoi punti.

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Prova questi:

Cronologia

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Esercizi pratici

18 esercizi

Problema 1 di 18

Facile

Che cos'è un valore anomalo?

Perché è importante

I valori anomali compaiono ovunque si raccolgano dati:

Banche: un pagamento con carta molto più alto dei tuoi acquisti abituali viene segnalato come possibile frode
Fabbriche: una bottiglia con molto meno succo delle altre è un valore anomalo che il controllo qualità toglie dalla linea
Scienza: un termometro che segna $52°C$ in una giornata mite ha probabilmente un sensore guasto, non è un'ondata di calore
Sport: un record mondiale è un vero valore anomalo, ed è il valore più interessante di tutti
Stipendi: un solo stipendio molto alto fa sembrare lo stipendio medio molto più alto di quello che guadagna la maggior parte delle persone

Trovare i valori anomali ti aiuta a scoprire errori, a notare qualcosa di speciale e a scegliere la misura giusta (media o mediana) per descrivere i tuoi dati in modo onesto.

Applicazioni nel mondo reale

Scoprire le frodi con la carta

Le banche confrontano ogni nuovo pagamento con carta con i pagamenti abituali del cliente. Un pagamento sopra il limite superiore può far scattare un controllo di sicurezza.

Esempio:

I pagamenti di una cliente hanno $Q_1 = 20$ € e $Q_3 = 60$ €. Un pagamento di 450 € è molto sopra il limite superiore, quindi la banca manda un SMS per confermarlo.

1Provaci tu stesso

I pagamenti abituali con carta di una cliente hanno $Q_1 = 20$ € e $Q_3 = 60$ €. All'improvviso compare un pagamento di 450 €.

Qual è il limite superiore per i pagamenti di questa cliente (in €)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$ :

Controllo qualità in fabbrica

Le bottiglie di succo dovrebbero contenere tutte più o meno la stessa quantità. Le bottiglie sotto il limite inferiore vengono tolte dalla linea e controllate.

Esempio:

Se la maggior parte delle bottiglie contiene tra 498 mL e 502 mL, una bottiglia con 480 mL è chiaramente poco riempita, e forse la macchina va riparata.

2Provaci tu stesso

I volumi di riempimento delle bottiglie di succo hanno $Q_1 = 498$ mL e $Q_3 = 502$ mL.

Qual è il limite inferiore (in mL)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Calcola $Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ :

Indicare uno stipendio tipico

I giornali spesso riportano lo stipendio mediano invece della media, perché pochi stipendi molto alti tirano la media verso l'alto.

Esempio:

In una piccola azienda cinque dipendenti guadagnano tra 30 e 38 mila € all'anno e la titolare guadagna 160 mila €. Il suo stipendio è un valore anomalo.

3Provaci tu stesso

Stipendi annui in migliaia di €: $30, 32, 34, 36, 38, 160$ .

Qual è lo stipendio medio (in migliaia di €)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Somma i sei stipendi e dividi per 6:

Punti chiave

1Un valore anomalo (outlier) è un valore insolitamente lontano dal resto dei dati, molto piccolo o molto grande
2Regola 1,5 × IQR: limite inferiore $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ , limite superiore $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$
3I valori sotto il limite inferiore o sopra il limite superiore sono anomali; un valore che coincide con un limite non lo è
4Nel diagramma a scatola i valori anomali sono punti isolati e i baffi terminano negli ultimi valori dentro i limiti
5I valori anomali spostano la media e allargano il campo di variazione, mentre la mediana e l'IQR cambiano appena
6Correggi o elimina un valore anomalo solo se è un errore; tieni i valori anomali veri e segnalali

Domande frequenti

Il fattore

1{,}5

è stato scelto dallo statistico John Tukey perché funziona bene nella pratica: segnala i valori davvero insoliti senza marcare troppi valori normali. Alcuni libri usano anche

3 \times \text{IQR}

per i valori anomali "estremi".

Glossario

Valore anomalo (outlier): Un dato insolitamente lontano dagli altri valori; secondo la regola 1,5 × IQR, un valore sotto il limite inferiore o sopra il limite superiore
Limite inferiore (recinto inferiore): Il confine $Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ ; i valori sotto di esso sono anomali
Limite superiore (recinto superiore): Il confine $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$ ; i valori sopra di esso sono anomali
Regola 1,5 × IQR: Un metodo per trovare i valori anomali: porre i limiti a 1,5 IQR sotto $Q_1$ e a 1,5 IQR sopra $Q_3$
Misura robusta: Una misura che cambia pochissimo quando si aggiunge un valore anomalo, come la mediana e l'IQR

Scheda formule

Scarto interquartile

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

La dispersione del 50% centrale dei dati

Limite inferiore

Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}

I valori sotto il limite inferiore sono anomali

Limite superiore

Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}

I valori sopra il limite superiore sono anomali

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