Sfasamento

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Come è traslato il grafico di $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ rispetto a $y = \sin(x)$ ?
1. a) $\frac{\pi}{6}$ verso l'alto
2. b) $\frac{\pi}{6}$ verso destra
3. c) $\frac{\pi}{6}$ verso sinistra
4. d) $6$ verso destra
Risposta: $\frac{\pi}{6}$ verso destra
$y = \sin(x - C)$ con $C = \frac{\pi}{6} > 0$ sposta il grafico di $\frac{\pi}{6}$ verso destra. Il numero $6$ non è la traslazione, e una traslazione verso l'alto sarebbe un numero aggiunto fuori dal seno.
2.
Quale equazione è $y = \cos(x)$ traslata di $\frac{\pi}{4}$ verso sinistra?
1. a) $y = \cos(x) - \frac{\pi}{4}$
2. b) $y = \cos(x) + \frac{\pi}{4}$
3. c) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$
4. d) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$
Risposta: $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$
Sinistra significa $C = -\frac{\pi}{4}$ , quindi $\cos\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ . Aggiungere o togliere $\frac{\pi}{4}$ fuori dal coseno sposta invece il grafico in alto o in basso.
3.
Qual è lo sfasamento di $y = \sin(3x - \pi)$ ?
1. a) $\frac{\pi}{3}$ verso sinistra
2. b) $\pi$ verso destra
3. c) $3\pi$ verso destra
4. d) $\frac{\pi}{3}$ verso destra
Risposta: $\frac{\pi}{3}$ verso destra
$3x - \pi = 3\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ , quindi $C = \frac{\pi}{3}$ : il grafico si sposta di $\frac{\pi}{3}$ verso destra. La traslazione è $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{3}$ , non $\pi$ .
4.
Quale equazione ha esattamente lo stesso grafico di $y = \cos(x)$ ?
1. a) $y = \sin(x + \pi)$
2. b) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
3. c) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
4. d) $y = \sin(x - \pi)$
Risposta: $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
Il coseno è il seno traslato di $\frac{\pi}{2}$ verso sinistra: $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(x)$ . In $x = 0$ le altre scelte danno $-1$ , $0$ e $0$ .
5.
Una sinusoide ha periodo $\pi$ e inizia un periodo (salendo attraverso la sua linea mediana) in $x = \frac{\pi}{3}$ . Quale equazione va bene?
1. a) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
2. b) $y = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$
3. c) $y = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$
4. d) $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$
Risposta: $y = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$
Il periodo $\pi$ dà $B = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ , e l'inizio dà $C = \frac{\pi}{3}$ . Quindi $y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right) = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$ . La scelta $\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ inizia solo in $\frac{\pi}{6}$ .
6.
In $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{5}\right)$ , quanto vale lo sfasamento $C$ ? (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.)
Risposta: pi/5
$x - \frac{\pi}{5}$ è $x - C$ con $C = \frac{\pi}{5}$ : una traslazione di $\frac{\pi}{5}$ verso destra.
7.
In $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ , quanto vale lo sfasamento $C$ ? Scrivi un numero negativo per una traslazione verso sinistra. (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio -3pi/4.)
Risposta: -pi/2
$x + \frac{\pi}{2} = x - \left(-\frac{\pi}{2}\right)$ , quindi $C = -\frac{\pi}{2}$ : il coseno si sposta di $\frac{\pi}{2}$ verso sinistra.
8.
Quanto vale lo sfasamento $C$ di $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ ? (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.)
Risposta: pi/6
$2x - \frac{\pi}{3} = 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ , quindi $C = \frac{\pi}{6}$ verso destra, non $\frac{\pi}{3}$ .
9.
Quanto vale lo sfasamento $C$ di $y = \cos(4x + \pi)$ ? Scrivi un numero negativo per una traslazione verso sinistra. (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio -3pi/4.)
Risposta: -pi/4
$4x + \pi = 4\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 4\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ , quindi $C = -\frac{\pi}{4}$ : $\frac{\pi}{4}$ verso sinistra.
10.
Quanto vale lo sfasamento $C$ di $y = \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ ? (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.)
Risposta: pi/2
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ , quindi $C = \frac{\pi/4}{1/2} = \frac{\pi}{2}$ verso destra. Qui la traslazione è maggiore di $c$ perché $B < 1$ .
11.
Per $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ , trova dove inizia il primo periodo e dove si trova il suo massimo. (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.)
Risposta: 5pi/6
1. Quanto vale lo sfasamento $C$ ? pi/3
2. In quale $x$ inizia il primo periodo? pi/3
3. $\sin(x)$ ha il massimo in $\frac{\pi}{2}$ . In quale $x$ si trova il nuovo massimo? 5pi/6
12.
Per $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ , trova lo sfasamento e la nuova posizione del massimo che $\cos(x)$ ha in $x = 0$ . (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio -3pi/4.)
Risposta: -pi/6
1. Scrivi $x + \frac{\pi}{6}$ come $x - C$ . Quanto vale $C$ ? -pi/6
2. In quale $x$ si trova il nuovo massimo? -pi/6
3. Qual è il valore massimo $y$ ? 1
13.
Per $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ , trova lo sfasamento, il periodo e dove finisce il primo periodo. (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.)
Risposta: 5pi/4
1. Quanto vale $B$ ? 2
2. Raccogli: $2x - \frac{\pi}{2} = 2(x - C)$ . Quanto vale $C$ ? pi/4
3. Quanto vale il periodo? pi
4. Il periodo inizia in $x = C$ . In quale $x$ finisce? 5pi/4
14.
Per $y = \cos\left(3x + \frac{\pi}{2}\right)$ , trova lo sfasamento e il periodo. (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio -3pi/4.)
Risposta: 2pi/3
1. Quanto vale $B$ ? 3
2. Dividi: quanto fa $\frac{\pi}{2} \div 3$ ? pi/6
3. Quanto vale lo sfasamento $C$ ? (Negativo per sinistra.) -pi/6
4. Quanto vale il periodo? 2pi/3
15.
Trova $c$ in modo che $y = \sin(2x - c)$ sia il grafico di $y = \sin(2x)$ traslato di $\frac{\pi}{6}$ verso destra. (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.)
Risposta: pi/3
1. Quanto vale lo sfasamento $C$ ? pi/6
2. Quanto vale $B$ ? 2
3. $\sin(2(x - C)) = \sin(2x - 2C)$ . Quanto vale $c = 2C$ ? pi/3
16.
Trova $C$ con $-\pi \le C \le \pi$ tale che $\sin(x - C) = \cos(x)$ per ogni $x$ . (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio -3pi/4.)
Risposta: -pi/2
1. In quale $x$ la funzione $\cos(x)$ ha un massimo (il più vicino a $0$ )? 0
2. In quale $x$ la funzione $\sin(x)$ ha il suo primo massimo positivo? pi/2
3. Il picco del seno deve andare da $\frac{\pi}{2}$ a $0$ . Quanto vale $C$ ? (Negativo per sinistra.) -pi/2
4. Verifica: quanto vale $\sin\left(0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$ ? 1
17.
L'altezza di una cabina della ruota panoramica sopra il mozzo è $h(t) = 10\sin\left(\frac{\pi}{15}(t - 5)\right)$ metri, con $t$ in secondi. In quale istante $t$ la cabina raggiunge per la prima volta il punto più alto dopo $t = 0$ ?
Risposta: 12.5
1. Quanto vale lo sfasamento $C$ in secondi? 5
2. Quanto vale il periodo in secondi? 30
3. Quanto vale un quarto del periodo? 7.5
4. In quale istante $t$ la cabina è in alto? 12.5
18.
Mostra che $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ e $y = \sin\left(x + \frac{7\pi}{4}\right)$ hanno lo stesso grafico: di quanti periodi interi differiscono le loro traslazioni? (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio -3pi/4.)
Risposta: 1
1. Quanto vale la traslazione $C_1$ di $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ ? pi/4
2. Quanto vale la traslazione $C_2$ di $\sin\left(x + \frac{7\pi}{4}\right)$ ? -7pi/4
3. Quanto vale $C_1 - C_2$ ? 2pi
4. Il periodo di $\sin(x)$ è $2\pi$ . Quanti periodi interi sono? 1