Guida per l'insegnante: Sfasamento

Impara come uno sfasamento sposta i grafici di seno e coseno a sinistra o a destra, perché un segno meno significa destra e come trovare la traslazione in sin(Bx - c).

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10 domande su Grafici trigonometrici. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Individuare lo sfasamento $C$ e il suo verso in $y = \sin(B(x - C))$ e $y = \cos(B(x - C))$
Scrivere $Bx - c$ come $B\left(x - \frac{c}{B}\right)$ e trovare lo sfasamento $\frac{c}{B}$
Distinguere l'effetto di $B$ (periodo) dall'effetto di $C$ (traslazione)
Trovare dove inizia e finisce un periodo di un grafico traslato
Scrivere il coseno come seno traslato e viceversa

Prerequisiti

• Graficare la funzione seno $y = \sin(x)$ (lezione Graficare la funzione seno)
• Rappresentare la funzione coseno $y = \cos(x)$ (lezione Rappresentare la funzione coseno)
• Ampiezza e periodo, compreso il periodo $\frac{2\pi}{|B|}$ (lezione Ampiezza e periodo)
• Radianti e frazioni di $\pi$
• Raccogliere un numero a fattore comune in un'espressione

Spunti di discussione

1. Perché $\sin(x - 1)$ si sposta verso destra anche se c'è un segno meno?
2. Se due amici iniziano lo stesso giro di corsa in momenti diversi, in che modo è simile a uno sfasamento?
3. $\sin(2x - \pi)$ è traslata di $\pi$ o di $\frac{\pi}{2}$ ? Come convinceresti qualcuno che non è d'accordo?
4. Quante traslazioni diverse trasformano un seno in un coseno? Perché ce ne sono così tante?

Idee sbagliate comuni

Il segno indica direttamente il verso: meno significa sinistra

Rimedio: Costruisci una tabella di valori per $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ : il valore $1$ che $\sin(x)$ ha in $\frac{\pi}{2}$ compare solo in $x = \pi$ . La curva arriva più tardi, quindi si è spostata a destra.

La traslazione di $\sin(Bx - c)$ è $c$

Rimedio: Disegna insieme $\sin(2x - \pi)$ e $\sin(2(x - \pi))$ . Sono diversi, e solo la forma raccolta mostra la vera traslazione $\frac{\pi}{2}$ .

Seno e coseno sono funzioni completamente diverse

Rimedio: Usa l'attività del bersaglio: gli studenti spostano un seno finché copre un coseno e scoprono $C = -\frac{\pi}{2}$ .

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Iniziare solo con $B = 1$ e traslazioni come $\frac{\pi}{2}$ e $\pi$
• Seguire un solo punto speciale (l'inizio del periodo) invece di tutta la curva
• Dire la regola ad alta voce: meno significa destra, più significa sinistra

Per studenti a livello:

• Raccogliere $Bx - c$ e trovare la traslazione $\frac{c}{B}$
• Trovare inizio e fine di un periodo per grafici traslati
• Abbinare equazioni a grafici traslati

Per studenti avanzati:

• Trovare tutte le traslazioni tra $-2\pi$ e $2\pi$ che trasformano $\sin(x)$ in $\cos(x)$
• Modellare l'ora dell'alta marea o il giorno più caldo con uno sfasamento
• Spiegare perché $\sin(x - \pi) = -\sin(x)$ e come lo usa la cancellazione del rumore

Allineamento agli standard

HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Individuare l'effetto sul grafico della sostituzione di f(x) con f(x + k), k f(x), f(kx) e f(x) + k per valori specifici di k
HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Scegliere funzioni goniometriche per modellare fenomeni periodici con ampiezza, frequenza e linea mediana assegnate
HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Rappresentare funzioni goniometriche mostrando periodo, linea mediana e ampiezza

Risorse della lezione

visualConfronta sin(x) e sin(x - C)
Muovi il cursore C e guarda la seconda curva scivolare a sinistra o a destra mentre la forma resta uguale
gameCentra il bersaglio
Regola B e C finché la curva copre un bersaglio tratteggiato, tra cui un coseno centrato con un seno traslato
visualLa trappola c/B
Cambia c e B in sin(Bx - c) e leggi la vera traslazione c/B
worksheetEsercizi sullo sfasamento
Equazioni da leggere, raccogliere e disegnare, con inizio e fine di un periodo

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Uno sfasamento (o traslazione orizzontale) sposta un grafico del seno o del coseno verso sinistra o verso destra senza cambiarne la forma. Nella forma

y = \sin(B(x - C)) \quad \text{oppure} \quad y = \cos(B(x - C))

lo **sfasamento è

C

**:

$C > 0$ : il grafico si sposta di $C$ unità verso destra
$C < 0$ : il grafico si sposta di $|C|$ unità verso sinistra

Perché un segno meno significa destra? Il seno normale inizia un periodo dove il suo argomento vale

0

. In

\sin(x - C)

l'argomento è

x - C

, che vale

0

per

x = C

. Quindi ogni punto della curva arriva

C

unità più tardi, cioè più a destra. Per esempio,

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

y = \sin(x)

traslata di

\frac{\pi}{3}

verso destra, e

y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)

è traslata di

\frac{\pi}{4}

verso sinistra.

Attenzione: prima raccogli $B$

Quando l'equazione è scritta come

y = \sin(Bx - c)

, la traslazione non è

c

. Raccogli

B

\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right) \quad \Rightarrow \quad \text{sfasamento} = \frac{c}{B}

Esempio:

\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)

è traslata di

\frac{\pi}{4}

verso destra, non di

\frac{\pi}{2}

Traslazione e periodo sono cose diverse

	Che cosa cambia	Formula
$B$	la larghezza di un periodo	periodo $= \frac{2\pi}{	B	}$
$C$	dove inizia il periodo	traslazione $= C$

Un periodo di

y = \sin(B(x - C))

inizia in

x = C

e finisce in

x = C + \frac{2\pi}{B}

. Una traslazione di un periodo intero dà di nuovo lo stesso grafico:

\sin(x - 2\pi) = \sin(x)

Seno e coseno sono traslazioni l'uno dell'altro

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \qquad \sin(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

Il coseno è un seno traslato di

\frac{\pi}{2}

verso sinistra. Nella forma completa

y = A\sin(B(x - C)) + D

A

B

vengono dalla lezione su ampiezza e periodo,

C

è questa lezione e

D

(la traslazione verticale) arriva dopo.

Esempi svolti

Descrivi il grafico di

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)

rispetto a

y = \sin(x)

. Dove inizia il primo periodo e dove si trova il suo massimo?

Confronta con $y = \sin(B(x - C))$

x - \frac{\pi}{4}

ha già la forma

1 \cdot (x - C)

→

B = 1

C = \frac{\pi}{4}

Leggi il verso

C

è positivo → Traslazione di

\frac{\pi}{4}

verso destra

Trova l'inizio del periodo

L'argomento vale

0

quando

x - \frac{\pi}{4} = 0

→ Il periodo inizia in

x = \frac{\pi}{4}

Sposta il massimo

\sin(x)

ha il massimo in

\frac{\pi}{2}

, quindi aggiungi

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}

→ Massimo in

x = \frac{3\pi}{4}

Risposta: Il grafico è $y = \sin(x)$ traslato di $\frac{\pi}{4}$ verso destra. Il primo periodo inizia in $x = \frac{\pi}{4}$ e il massimo $1$ si trova in $x = \frac{3\pi}{4}$ .

Errori comuni

Leggere $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ come una traslazione verso sinistra

Perché è sbagliato: Il segno meno sembra indicare la sinistra, come sulla retta numerica. Ma la curva raggiunge ogni valore più tardi, quando $x - \frac{\pi}{3}$ vale quello che prima valeva $x$ .

Corretto: Un meno nella parentesi significa destra: $\sin(x - C)$ si sposta di $C$ verso destra, $\sin(x + C)$ di $C$ verso sinistra.

Dire che la traslazione di $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ è $\frac{\pi}{2}$

Perché è sbagliato: Il numero $\frac{\pi}{2}$ viene sottratto a $2x$ , non a $x$ . La traslazione riguarda solo $x$ .

Corretto: Raccogli $B$ : $\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$ . La traslazione è $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{4}$ verso destra.

Pensare che uno sfasamento cambi il periodo o l'altezza

Perché è sbagliato: Spostare un grafico di lato non lo allunga. Solo $B$ cambia il periodo e solo $A$ cambia l'ampiezza.

Corretto: Dopo uno sfasamento la curva ha la stessa forma, lo stesso periodo e la stessa ampiezza. Cambia solo il punto in cui inizia ogni periodo.

Pensare che $y = \sin(x - 2\pi)$ sia un grafico diverso da $y = \sin(x)$

Perché è sbagliato: Il seno si ripete ogni $2\pi$ , quindi spostarlo di un periodo intero mette ogni onda esattamente sulla successiva.

Corretto: Traslazioni che differiscono di un periodo intero danno lo stesso grafico: $\sin(x - 2\pi) = \sin(x)$ e $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$ .

Perché è importante

Uno sfasamento ti dice quando succede un fenomeno che si ripete, non solo quanto è grande o veloce:

Maree: due porti hanno maree con lo stesso periodo, ma l'alta marea arriva a ore diverse. La differenza è uno sfasamento.
Elettricità: i tre fili di una linea trifase portano la stessa onda sinusoidale, spostata ogni volta di un terzo di periodo.
Cuffie con cancellazione del rumore: riproducono il rumore spostato di mezzo periodo, così le due onde si annullano.
Stagioni: il giorno più caldo dell'anno arriva circa un mese dopo il giorno più lungo. La curva della temperatura è la curva delle ore di luce con uno sfasamento.
Musica e suono: due altoparlanti che suonano la stessa nota sfasati possono indebolire il suono in alcuni punti.

Leggere bene lo sfasamento (verso ed entità dello spostamento) ti permette di prevedere il prossimo massimo.

Applicazioni nel mondo reale

Prevedere l'alta marea

Nei porti il livello dell'acqua si modella con un seno traslato. Lo sfasamento dice quando l'acqua passa per il livello medio, e da lì si trova l'alta marea.

Esempio:

Se il livello dell'acqua è $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ metri sopra il livello medio, con $t$ in ore dopo mezzanotte, l'acqua sale passando per il livello medio in $t = 2$ , alle 2:00.

1Provaci tu stesso

Il livello dell'acqua in un porto è $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ metri sopra il livello medio, dove $t$ è il tempo in ore dopo mezzanotte.

In quale istante $t$ (in ore dopo mezzanotte) c'è la prima alta marea?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Inizio del periodo più un quarto di periodo:

Corrente alternata

Le reti elettriche in Europa funzionano a 50 Hz. Due tensioni con la stessa frequenza possono essere sfasate, e gli ingegneri misurano questa differenza come uno sfasamento in secondi.

Esempio:

La tensione $V_1 = \sin(100\pi t)$ ha periodo $\frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50}$ di secondo. Una seconda tensione $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ raggiunge ogni massimo un po' più tardi.

2Provaci tu stesso

Due tensioni sono $V_1 = \sin(100\pi t)$ e $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ , con $t$ in secondi.

Di quanti secondi $V_2$ è traslata verso destra rispetto a $V_1$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dividi $c$ per $B$ :

Cuffie con cancellazione del rumore

Un microfono capta il rumore e le cuffie riproducono la stessa onda spostata di mezzo periodo. Dove il rumore sale, la copia scende, e le due si annullano.

Esempio:

Per il rumore $y = \sin(x)$ la copia è $y = \sin(x - \pi)$ , che è uguale a $-\sin(x)$ . La loro somma è $0$ ovunque.

3Provaci tu stesso

Un rumore è modellato da $y = \sin(2x)$ . Le cuffie riproducono $y = \sin(2(x - C))$ .

Quale traslazione $C$ , tra $0$ e un periodo, rende la copia esattamente l'opposto del rumore?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Metà del periodo:

Punti chiave

1In $y = \sin(B(x - C))$ e $y = \cos(B(x - C))$ lo sfasamento è $C$
2Un meno nella parentesi significa destra, un più significa sinistra: $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ si sposta di $\frac{\pi}{4}$ verso sinistra
3Per $\sin(Bx - c)$ raccogli prima $B$ : la traslazione è $\frac{c}{B}$ , non $c$
4Il periodo $\frac{2\pi}{|B|}$ e l'ampiezza non cambiano quando il grafico viene traslato
5Un periodo inizia in $x = C$ e finisce in $x = C + \frac{2\pi}{B}$ ; una traslazione di un periodo intero dà lo stesso grafico
6Il coseno è un seno traslato: $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Domande frequenti

Perché si chiama sfasamento?

La fase è la posizione all'interno di un periodo (inizio, picco, zero, minimo). Uno sfasamento sposta ogni punto del periodo della stessa quantità, quindi tutta l'onda inizia prima o dopo.

Lo sfasamento di $\sin(2x - \pi)$ è $\pi$ o $\frac{\pi}{2}$ ?

\frac{\pi}{2}

verso destra. Raccogli

2

\sin(2x - \pi) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)

. Alcuni libri chiamano

\pi

la fase iniziale, ma il grafico si sposta di

\frac{\pi}{2}

sull'asse

x

Un grafico può avere più di uno sfasamento corretto?

Sì. Aggiungere o togliere un periodo intero dà lo stesso grafico, quindi

\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

\sin\left(x + \frac{5\pi}{3}\right)

sono identici. Di solito si indica la traslazione più piccola in valore assoluto.

Conta l'ordine tra dilatare e traslare?

Sì.

\sin(2(x - 1))

\sin(2x - 1)

sono diversi: il primo è traslato di

1

verso destra, il secondo solo di

\frac{1}{2}

. Scrivere la funzione come

\sin(B(x - C))

evita la confusione.

Glossario

Sfasamento: La traslazione orizzontale di un grafico del seno o del coseno; vale $C$ in $y = \sin(B(x - C))$
Traslazione orizzontale: Spostare un intero grafico verso sinistra o verso destra senza cambiarne la forma
Fase: La posizione all'interno di un periodo di un'onda, come l'inizio, il picco o il minimo
Periodo: La lunghezza di un ciclo completo; vale $\frac{2\pi}{|B|}$
Forma raccolta: Scrivere l'argomento della funzione come $B(x - C)$ per leggere direttamente la traslazione $C$

Scheda formule

Seno e coseno traslati

y = \sin(B(x - C))

y = \cos(B(x - C))

Sfasamento $C$: verso destra se $C > 0$, verso sinistra se $C < 0$

Traslazione dalla forma sviluppata

\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right)

Lo sfasamento è $\frac{c}{B}$

Un periodo

C \le x \le C + \frac{2\pi}{B}

Dove inizia e finisce un periodo completo del grafico traslato

Seno e coseno

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

Il coseno è il seno traslato di $\frac{\pi}{2}$ verso sinistra

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Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Attenzione: prima raccogli BBB

Traslazione e periodo sono cose diverse

Seno e coseno sono traslazioni l'uno dell'altro

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Prevedere l'alta marea

Corrente alternata

Cuffie con cancellazione del rumore

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Seno e coseno traslati

Traslazione dalla forma sviluppata

Un periodo

Seno e coseno

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Rappresentazione grafica della cotangente

Rappresentare la funzione coseno

Ampiezza e periodo

Attenzione: prima raccogli $B$