Trasformazioni dei grafici goniometrici

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Qual è l'ampiezza di $y = -4\sin(2x) + 1$ ?
1. a) $5$
2. b) $-4$
3. c) $2$
4. d) $4$
Risposta: $4$
$A = -4$ , quindi l'ampiezza è $|-4| = 4$ . Il segno meno riflette soltanto l'onda rispetto alla sua linea mediana.
2.
Qual è il periodo di $y = 3\cos(4x) - 2$ ? (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.)
Risposta: pi/2
$B = 4$ , quindi il periodo è $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ . $A = 3$ e $D = -2$ non cambiano il periodo.
3.
Come è traslato il grafico di $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ rispetto a $y = \cos(x)$ ?
1. a) $\frac{\pi}{3}$ verso il basso
2. b) $\frac{\pi}{3}$ a destra
3. c) $\frac{\pi}{3}$ a sinistra
4. d) $\frac{\pi}{3}$ verso l'alto
Risposta: $\frac{\pi}{3}$ a sinistra
$x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$ , quindi $C = -\frac{\pi}{3}$ : il grafico si sposta di $\frac{\pi}{3}$ a sinistra. Uno spostamento dentro la parentesi non è mai verticale.
4.
La linea mediana di $y = 2\sin(x - \pi) + 5$ è la retta $y = D$ . Quanto vale $D$ ?
Risposta: 5
La traslazione verticale è $D = 5$ , quindi la linea mediana è $y = 5$ e l'onda va da $5 - 2 = 3$ a $5 + 2 = 7$ .
5.
Trova il massimo e il minimo di $y = 3\sin(x) + 2$ .
Risposta: 5, -1
1. Qual è l'ampiezza $|A|$ ? 3
2. Qual è il valore della linea mediana $D$ ? 2
3. Qual è il massimo $D + |A|$ ? 5
4. Qual è il minimo $D - |A|$ ? -1
6.
Per $y = \sin(4x)$ , trova il periodo, il passo dei punti chiave e l'ascissa del primo massimo dopo $x = 0$ . (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.)
Risposta: pi/8
1. Qual è il periodo $\frac{2\pi}{B}$ ? pi/2
2. Qual è il passo $\frac{\text{periodo}}{4}$ ? pi/8
3. In quale x si trova il primo massimo? pi/8
7.
Qual è lo sfasamento di $y = \sin(2x - \frac{\pi}{2})$ ?
1. a) $\frac{\pi}{4}$ a sinistra
2. b) $\frac{\pi}{4}$ a destra
3. c) $\frac{\pi}{2}$ a destra
4. d) $\pi$ a destra
Risposta: $\frac{\pi}{4}$ a destra
$2x - \frac{\pi}{2} = 2(x - \frac{\pi}{4})$ , quindi $C = \frac{\pi}{4}$ : uno spostamento di $\frac{\pi}{4}$ a destra, non di $\frac{\pi}{2}$ .
8.
Per $y = -2\cos(x) + 3$ , trova l'ampiezza, il massimo, il minimo e il valore di y in $x = 0$ .
Risposta: 1
1. Qual è l'ampiezza? 2
2. Qual è il massimo $D + |A|$ ? 5
3. Qual è il minimo $D - |A|$ ? 1
4. Quanto vale $y$ in $x = 0$ ? 1
9.
I punti chiave di $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{6}))$ partono da $x = \frac{\pi}{6}$ . Qual è l'ascissa del massimo (il secondo punto chiave)? (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.)
Risposta: 5pi/12
Periodo $\frac{2\pi}{2} = \pi$ , passo $\frac{\pi}{4}$ . Massimo in $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$ .
10.
Usa i punti chiave di $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{2}) - 1$ per trovare il suo primo massimo e il suo valore minimo. (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.)
Risposta: -4
1. Dove inizia il ciclo ( $x = C$ )? pi/2
2. Qual è il passo (periodo diviso 4)? pi/2
3. In quale x si trova il primo massimo? pi
4. Qual è il valore massimo? 2
5. Qual è il valore minimo? -4
11.
Riscrivi $y = \cos(3x + \pi)$ nella forma $y = \cos(B(x - C))$ e trova lo sfasamento e il periodo. (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio -3pi/4.)
Risposta: 2pi/3
1. Quanto vale $B$ ? 3
2. Quanto vale $C$ ? (un valore negativo indica uno spostamento a sinistra) -pi/3
3. Qual è il periodo? 2pi/3
12.
Quale equazione ha ampiezza $2$ , periodo $\pi$ e linea mediana $y = -1$ ?
1. a) $y = 2\sin(\frac{1}{2}x) - 1$
2. b) $y = 2\sin(\pi x) - 1$
3. c) $y = 2\sin(2x) - 1$
4. d) $y = -\sin(2x) + 2$
Risposta: $y = 2\sin(2x) - 1$
$\frac{2\pi}{B} = \pi$ dà $B = 2$ , con $A = 2$ e $D = -1$ : $y = 2\sin(2x) - 1$ . $\sin(\pi x)$ ha periodo $2$ e $\sin(\frac{1}{2}x)$ ha periodo $4\pi$ .
13.
Trova i valori di y dei punti chiave di $y = -2\sin(x) + 1$ in $x = 0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ e $\frac{3\pi}{2}$ .
Risposta: 3
1. Quanto vale $y$ in $x = 0$ ? 1
2. Quanto vale $y$ in $x = \frac{\pi}{2}$ ? -1
3. Quanto vale $y$ in $x = \pi$ ? 1
4. Quanto vale $y$ in $x = \frac{3\pi}{2}$ ? 3
14.
Disegna $y = 4\cos(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2})) - 1$ con i punti chiave: trova il periodo, il passo, l'ascissa del minimo e il valore minimo. (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.)
Risposta: -5
1. Qual è il periodo? 4pi
2. Qual è il passo? pi
3. Il ciclo inizia in $x = \frac{\pi}{2}$ . In quale x si trova il minimo (due passi dopo)? 5pi/2
4. Qual è il valore minimo? -5
15.
Per $y = 3\sin(2x + \frac{\pi}{3}) + 1$ , trova dove inizia il ciclo, il passo e il primo massimo. (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio -3pi/4.)
Risposta: 4
1. In quale x inizia il ciclo ( $C$ )? -pi/6
2. Qual è il passo? pi/4
3. In quale x si trova il primo massimo? pi/12
4. Qual è il valore massimo? 4
16.
Per $y = -3\sin(\frac{\pi}{4}(x - 1)) + 2$ , qual è l'ascissa del primo minimo a destra di $x = 1$ ?
Risposta: 3
Periodo $8$ , passo $2$ , inizio $x = 1$ . Il seno è riflesso ( $A = -3$ ), quindi lo schema è linea mediana, minimo, ...: il primo minimo è in $x = 1 + 2 = 3$ , dove $y = -3\sin(\frac{\pi}{2}) + 2 = -1$ .
17.
Il grafico di $y = \sin(x)$ viene prima traslato di $\frac{\pi}{2}$ a destra e POI compresso orizzontalmente di un fattore $2$ . Quale equazione si ottiene?
1. a) $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$
2. b) $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$
3. c) $y = \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}))$
4. d) $y = \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2})$
Risposta: $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$
Dopo la traslazione: $\sin(x - \frac{\pi}{2})$ . Comprimere sostituisce $x$ con $2x$ : $\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$ . La compressione dimezza anche lo spostamento.
18.
Qual è il valore di $y = 5\cos(2(x + \frac{\pi}{8})) - 2$ in $x = \frac{\pi}{8}$ ?
Risposta: -2
$x = \frac{\pi}{8} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}$ è il secondo punto chiave; per il coseno sta sulla linea mediana, quindi $y = D = -2$ . Direttamente: $5\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - 2 = 5\cos(\frac{\pi}{2}) - 2 = 0 - 2 = -2$ .