Traslazione verticale

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Qual è la linea mediana di $y = 4\sin(x) - 3$ ?
1. a) $y = 4$
2. b) $y = -3$
3. c) $y = 0$
4. d) $y = 3$
Risposta: $y = -3$
In $y = 4\sin(x) - 3$ si ha $D = -3$ , quindi la linea mediana è $y = -3$ . Il 4 è l'ampiezza, non la traslazione.
2.
Quale equazione trasla $y = \cos(x)$ di 5 unità verso l'alto?
1. a) $y = \cos(x) + 5$
2. b) $y = 5\cos(x)$
3. c) $y = \cos(x + 5)$
4. d) $y = \cos(x) - 5$
Risposta: $y = \cos(x) + 5$
Aggiungere 5 fuori dal coseno alza ogni uscita di 5: $y = \cos(x) + 5$ . $\cos(x + 5)$ si sposta di lato, $5\cos(x)$ cambia l'ampiezza e $\cos(x) - 5$ scende.
3.
Qual è il valore massimo di $y = 2\sin(x) + 5$ ?
Risposta: 7
$D = 5$ e $|A| = 2$ , quindi il massimo è $5 + 2 = 7$ .
4.
La linea mediana di $y = \cos(x) - 6$ è $y = \square$ . Quale numero va nella casella?
Risposta: -6
$y = \cos(x) - 6 = \cos(x) + (-6)$ , quindi $D = -6$ e la linea mediana è $y = -6$ .
5.
Qual è l'insieme immagine di $y = 2\cos(x) + 3$ ?
1. a) $[3, 5]$
2. b) $[-1, 5]$
3. c) $[-2, 2]$
4. d) $[1, 5]$
Risposta: $[1, 5]$
$D = 3$ e $|A| = 2$ : minimo $3 - 2 = 1$ , massimo $3 + 2 = 5$ , quindi l'insieme immagine è $[1, 5]$ .
6.
Per $y = 3\cos(x) + 1$ , trova il valore della linea mediana, l'ampiezza, il massimo e il minimo.
Risposta: D = 1, |A| = 3, max = 4, min = -2
1. Quanto vale D (la linea mediana è $y = D$ )? 1
2. Qual è l'ampiezza $|A|$ ? 3
3. Qual è il massimo $D + |A|$ ? 4
4. Qual è il minimo $D - |A|$ ? -2
7.
Il grafico di $y = \sin(x)$ viene traslato di 3 unità verso il basso. Trova la nuova linea mediana, il nuovo massimo e il nuovo minimo.
Risposta: D = -3, max = -2, min = -4
1. La nuova funzione è $y = \sin(x) + D$ . Quanto vale D? -3
2. Qual è il nuovo massimo? -2
3. Qual è il nuovo minimo? -4
8.
Qual è il valore minimo di $y = -4\cos(x) + 1$ ?
Risposta: -3
$|A| = |-4| = 4$ e $D = 1$ , quindi il minimo è $1 - 4 = -3$ . Si raggiunge in $x = 0$ : $-4\cos(0) + 1 = -3$ .
9.
Qual è il valore massimo di $y = -3\sin(x) + 1$ ?
1. a) $-4$
2. b) $1$
3. c) $4$
4. d) $-2$
Risposta: $4$
$|A| = 3$ e $D = 1$ , quindi il massimo è $1 + 3 = 4$ . Si raggiunge in $x = \frac{3\pi}{2}$ : $-3\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 1 = -3 \cdot (-1) + 1 = 4$ .
10.
Un'onda seno ha massimo $8$ e minimo $-2$ . Trova D e l'ampiezza $|A|$ .
Risposta: D = 3, |A| = 5
1. Quanto fa massimo + minimo? 6
2. Quanto vale $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ ? 3
3. Quanto fa massimo - minimo? 10
4. Quanto vale $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ ? 5
11.
Un'onda oscilla tra un massimo di $10$ e un minimo di $2$ . La sua linea mediana è $y = \square$ . Quale numero va nella casella?
Risposta: 6
$D = \frac{10 + 2}{2} = 6$ , quindi la linea mediana è $y = 6$ .
12.
Trova l'insieme immagine di $y = -2\sin(x) - 1$ .
Risposta: [-3, 1]
1. Quanto vale D? -1
2. Qual è l'ampiezza $|A|$ ? 2
3. Qual è il massimo? 1
4. Qual è il minimo? -3
13.
La temperatura di una città è modellata da $T(t) = 5\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 15$ in °C. Trova la temperatura media, la più alta e la più bassa, e la differenza tra di esse.
Risposta: 15, 20, 10, 10
1. Qual è la temperatura media (il valore della linea mediana D)? 15
2. Qual è la temperatura più alta? 20
3. Qual è la temperatura più bassa? 10
4. Quanti gradi separano la temperatura più alta e quella più bassa? 10
14.
Un'onda ha massimo $7$ e minimo $-1$ . Quale equazione può descriverla?
1. a) $y = 4\sin(x) - 3$
2. b) $y = 8\sin(x) + 3$
3. c) $y = 4\sin(x) + 3$
4. d) $y = 3\sin(x) + 4$
Risposta: $y = 4\sin(x) + 3$
$D = \frac{7 + (-1)}{2} = 3$ e $|A| = \frac{7 - (-1)}{2} = 4$ , quindi $y = 4\sin(x) + 3$ . Le altre hanno insiemi immagine $[1, 7]$ , $[-5, 11]$ e $[-7, 1]$ .
15.
Una sinusoide ha linea mediana $y = -2$ e massimo $3$ . Qual è il suo minimo?
Risposta: -7
$|A| = 3 - (-2) = 5$ , quindi il minimo è $-2 - 5 = -7$ .
16.
Una ruota panoramica ha un diametro di 30 m e il suo centro è a 18 m da terra. Una cabina parte dal basso e un giro dura 12 minuti, quindi $h(t) = -15\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 18$ . Analizza il modello.
Risposta: |A| = 15, D = 18, max = 33, min = 3, h(6) = 33
1. Qual è l'ampiezza $|A|$ , in metri? 15
2. Quanto vale D, in metri? 18
3. Qual è l'altezza massima, in metri? 33
4. Qual è l'altezza minima, in metri? 3
5. Qual è l'altezza dopo 6 minuti, $h(6)$ , in metri? 33
17.
In un porto l'alta marea è 9{,}4 m e la bassa marea 1{,}6 m. Trova la linea mediana D e l'ampiezza $|A|$ di un modello della marea.
Risposta: D = 5.5, |A| = 3.9
1. Quanto fa alta marea + bassa marea, in metri? 11
2. Quanto vale la linea mediana $D$ ? 5.5
3. Quanto fa alta marea - bassa marea, in metri? 7.8
4. Qual è l'ampiezza $|A|$ ? 3.9
18.
La funzione $y = A\sin(x) + D$ con $A > 0$ ha insieme immagine $[-6, 2]$ . Trova $D$ e $A$ , poi il valore di $y$ in $x = \frac{7\pi}{6}$ .
Risposta: y = 4sin(x) - 2, y = -4
1. Quanto vale $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ ? -2
2. Quanto vale $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ ? 4
3. Quanto vale $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ ? -0.5
4. Quanto vale $y = 4\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) - 2$ ? -4