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Guida per l'insegnante: Traslazione verticale

Scopri come la costante D in y = A sen(x) + D sposta un'onda seno o coseno verso l'alto o verso il basso, fissa la sua linea mediana e ne determina massimo, minimo e insieme immagine.

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Quiz di classe

10 domande su Grafici trigonometrici. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento
  • Descrivere come la costante D in y=Asin⁡(x)+Dy = A\sin(x) + D e y=Acos⁡(x)+Dy = A\cos(x) + D sposta il grafico
  • Individuare la linea mediana y=Dy = D da un'equazione o da un grafico
  • Trovare massimo, minimo e insieme immagine di una funzione seno o coseno traslata
  • Calcolare D e |A| a partire da un massimo e un minimo dati
  • Costruire semplici modelli sinusoidali per maree, ruote panoramiche e temperatura del giorno
Prerequisiti
  • • Graficare y=sin⁡(x)y = \sin(x) (lezione Graficare la funzione seno)
  • • Graficare y=cos⁡(x)y = \cos(x) (lezione Rappresentare la funzione coseno)
  • • Ampiezza ∣A∣|A| e periodo 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|} (lezione Ampiezza e periodo)
  • • Valore assoluto e notazione degli intervalli
Spunti di discussione
  • 1. Perché la linea mediana della funzione altezza di una ruota panoramica è l'altezza del suo centro?
  • 2. Se conosci solo la temperatura più alta e quella più bassa di un giorno, che cosa sai del modello e che cosa manca ancora?
  • 3. Che cosa cambia di più l'insieme immagine: raddoppiare A o aggiungere 2 a D? Spiegalo con un esempio.
  • 4. Due equazioni diverse della forma y=Asin⁡(x)+Dy = A\sin(x) + D possono avere lo stesso insieme immagine? Che cosa hanno in comune?
Idee sbagliate comuni

L'ampiezza è il valore massimo (in y=2sin⁡(x)+5y = 2\sin(x) + 5 l'ampiezza sarebbe 7)

Rimedio: Disegnare prima la linea mediana e poi misurare l'ampiezza a partire da essa con un righello. Confrontare y=2sin⁡(x)y = 2\sin(x) e y=2sin⁡(x)+5y = 2\sin(x) + 5: stessa altezza dell'onda, posizione diversa.

Una A negativa rende il massimo uguale a D+AD + A

Rimedio: Disegnare y=−3sin⁡(x)+1y = -3\sin(x) + 1 accanto a y=3sin⁡(x)+1y = 3\sin(x) + 1 e far leggere entrambi i massimi sul disegno. Sono uguali, quindi la formula deve usare ∣A∣|A|.

sin⁡(x+2)\sin(x + 2) e sin⁡(x)+2\sin(x) + 2 sono la stessa traslazione

Rimedio: Fare una tabella di valori di entrambe per x=0,π2,πx = 0, \frac{\pi}{2}, \pi. Solo sin⁡(x)+2\sin(x) + 2 aggiunge 2 a ogni uscita; l'altra sposta l'onda di lato.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

  • • Partire con A=1A = 1 e cambiare solo D, usando la modalità curva obiettivo per vedere scorrere tutta l'onda
  • • Disegnare sempre la linea mediana tratteggiata prima di segnare massimo e minimo
  • • Usare una tabella a due righe: linea mediana, poi linea mediana più e meno l'ampiezza

Per studenti a livello:

  • • Trovare A e D dal massimo e dal minimo, poi verificare sul grafico
  • • Modellare una ruota panoramica con diametro e altezza della piattaforma dati
  • • Scrivere l'insieme immagine di funzioni traslate con la notazione degli intervalli

Per studenti avanzati:

  • • Costruire un modello completo y=Asin⁡(Bt)+Dy = A\sin(Bt) + D da una vera tavola di marea, periodo compreso
  • • Trovare tutti i valori di D per cui y=3sin⁡(x)+Dy = 3\sin(x) + D non tocca mai l'asse x
  • • Confrontare un modello seno e un modello coseno per la stessa ruota panoramica
Allineamento agli standard
  • HSF.TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)

    Scegliere funzioni goniometriche per modellare fenomeni periodici con ampiezza, frequenza e linea mediana date

  • HSF.BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)

    Individuare l'effetto sul grafico della sostituzione di f(x) con f(x) + k per valori specifici di k

  • HSF.IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)

    Rappresentare funzioni goniometriche mostrando periodo, linea mediana e ampiezza

Risorse della lezione
  • visualRaggiungi l'onda obiettivo

    Gli studenti muovono i cursori A e D finché la loro curva seno copre una curva obiettivo tratteggiata

  • activityDetective delle tavole di marea

    Gli studenti leggono alta e bassa marea in una vera tavola di marea e costruiscono un modello con A e D

  • worksheetLinea mediana, massimo, minimo

    Dodici equazioni: trovare linea mediana, estremi e insieme immagine, poi disegnare il grafico

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Se aggiungi una costante DD a una funzione seno o coseno, tutta l'onda si sposta verso l'alto o verso il basso. Si chiama traslazione verticale:
y=Asin⁡(x)+Dy=Acos⁡(x)+Dy = A\sin(x) + D \qquad y = A\cos(x) + D
  • Se D>0D > 0, il grafico si sposta di DD unità verso l'alto.
  • Se D<0D < 0, il grafico si sposta di ∣D∣|D| unità verso il basso.
  • La forma, l'ampiezza e il periodo non cambiano.

La linea mediana

La linea mediana (o retta media) è la retta orizzontale attorno a cui oscilla l'onda. Per y=sin⁡(x)y = \sin(x) è l'asse x (y=0y = 0). Dopo la traslazione è
linea mediana: y=D\text{linea mediana: } y = D

Massimo, minimo e insieme immagine

L'onda arriva ∣A∣|A| unità sopra e sotto la linea mediana:
ElementoFormula
Linea medianay=Dy = D
Valore massimo$D +A
Valore minimo$D -A
Insieme immagine$[D -A,\ D +A]$

Al contrario: A e D dai dati

Se conosci il valore più alto e quello più basso, la linea mediana si trova esattamente a metà e l'ampiezza è metà della differenza:
D=max+min2∣A∣=max−min2D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2} \qquad |A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}
Nella forma generale y=Asin⁡(B(x−C))+Dy = A\sin(B(x - C)) + D, la traslazione verticale è sempre l'ultima lettera, DD. In questa lezione B=1B = 1 e C=0C = 0, a meno che una situazione reale non richieda un altro periodo.

Esempi svolti

Per y=3sin⁡(x)+2y = 3\sin(x) + 2, trova la linea mediana, il massimo, il minimo e l'insieme immagine.
1

Individuare A e D

Confronta con y=Asin⁡(x)+Dy = A\sin(x) + D → A=3A = 3, D=2D = 2
2

Scrivere la linea mediana

La linea mediana è y=Dy = D → y=2y = 2
3

Trovare massimo e minimo

D+∣A∣=2+3D + |A| = 2 + 3 e D−∣A∣=2−3D - |A| = 2 - 3 → Massimo 55, minimo −1-1
4

Scrivere l'insieme immagine

Tutti i valori di y dal minimo al massimo → [−1,5][-1, 5]

Errori comuni

Scrivere che il massimo di y=−3sin⁡(x)+1y = -3\sin(x) + 1 è 1+(−3)=−21 + (-3) = -2

Perché è sbagliato: L'onda arriva un'ampiezza sopra e sotto la linea mediana, e l'ampiezza è sempre positiva. Il segno di AA ribalta soltanto l'onda.

Corretto: Massimo =D+∣A∣=1+3=4= D + |A| = 1 + 3 = 4, minimo =D−∣A∣=1−3=−2= D - |A| = 1 - 3 = -2.

Leggere y=sin⁡(x)−2y = \sin(x) - 2 come una traslazione di 2 verso l'alto

Perché è sbagliato: In y=Asin⁡(x)+Dy = A\sin(x) + D la traslazione è DD con il suo segno. Qui D=−2D = -2.

Corretto: y=sin⁡(x)−2y = \sin(x) - 2 sposta l'onda di 2 unità verso il basso, la linea mediana è y=−2y = -2.

Scambiare il massimo per l'ampiezza: in y=2sin⁡(x)+5y = 2\sin(x) + 5 l'ampiezza sarebbe 7

Perché è sbagliato: L'ampiezza si misura dalla linea mediana, non dall'asse x. La traslazione alza l'onda ma non la rende più alta.

Corretto: L'ampiezza è ∣A∣=2|A| = 2. Il massimo è 5+2=75 + 2 = 7.

Dimenticare di dividere per 2: ampiezza =max−min= \text{max} - \text{min}

Perché è sbagliato: max−min\text{max} - \text{min} è l'altezza totale dal punto più basso al più alto, cioè due ampiezze.

Corretto: ∣A∣=max−min2|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2} e D=max+min2D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}. Con massimo 9 e minimo 3: ∣A∣=3|A| = 3, D=6D = 6.

Perché è importante

Quasi tutte le onde reali non oscillano attorno a zero. Oscillano attorno a un livello tipico, e quel livello è la traslazione verticale:
  • Maree: l'acqua di un porto sale e scende attorno a una profondità media, per esempio tra 1 m e 5 m attorno a una linea mediana di 3 m.
  • Ruote panoramiche: una cabina sale e scende attorno all'altezza del centro della ruota, senza mai andare sotto la piattaforma di salita.
  • Temperatura del giorno: la temperatura oscilla attorno alla media del giorno, per esempio tra 12°C e 24°C attorno a 18°C.
  • Pressione sanguigna e battito cardiaco: la pressione pulsa tra circa 80 e 120 attorno a una linea mediana di 100.
  • Ore di luce: la durata del giorno varia durante l'anno attorno a circa 12 ore.
Con la formula D=max+min2D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2} trasformi due misure in un modello utilizzabile, e con l'insieme immagine controlli a colpo d'occhio se il modello ha senso.

Applicazioni nel mondo reale

Ruote panoramiche

L'altezza di una cabina della ruota panoramica sale e scende come un'onda coseno. La linea mediana è l'altezza del centro della ruota.

Esempio:

Una ruota di 40 m di diametro con la cabina più bassa a 2 m da terra si modella con h(t)=−20cos⁡(π10t)+22h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right) + 22 (t in minuti): ampiezza 20, linea mediana 22, insieme immagine [2,42][2, 42].

1Provaci tu stesso

Una ruota panoramica ha un diametro di 40 m. Il suo punto più basso è a 2 m da terra.

A quale altezza si trova la linea mediana della funzione altezza (il centro della ruota), in metri?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Fai la media tra l'altezza massima e quella minima:

Maree

Le capitanerie di porto e i navigatori modellano il livello dell'acqua con un'onda seno o coseno la cui linea mediana è il livello medio del mare.

Esempio:

Se l'alta marea è 5{,}2 m e la bassa marea 0{,}8 m, il livello medio è 5,2+0,82=3\frac{5{,}2 + 0{,}8}{2} = 3 m, quindi il modello ha D=3D = 3.

2Provaci tu stesso

In un porto l'alta marea è 5{,}2 m e la bassa marea 0{,}8 m.

Qual è l'ampiezza del modello della marea, in metri?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Prendi metà della differenza tra alta e bassa marea:

La temperatura durante il giorno

I meteorologi modellano la temperatura nelle 24 ore con un'onda coseno attorno alla temperatura media del giorno.

Esempio:

Il modello T(t)=−6cos⁡(π12t)+18T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18, con t in ore dopo le 3:00, è minimo alle 3:00 e massimo 12 ore dopo.

3Provaci tu stesso

La temperatura di una città è modellata da T(t)=−6cos⁡(π12t)+18T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18 in °C.

Qual è la temperatura più alta del giorno, in °C?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Aggiungi l'ampiezza alla linea mediana:

Punti chiave

  • 1In y=Asin⁡(x)+Dy = A\sin(x) + D e y=Acos⁡(x)+Dy = A\cos(x) + D, la costante DD sposta l'onda verso l'alto (D>0D > 0) o verso il basso (D<0D < 0)
  • 2La linea mediana è la retta orizzontale y=Dy = D, esattamente a metà tra il massimo e il minimo
  • 3Massimo =D+∣A∣= D + |A| e minimo =D−∣A∣= D - |A|, sempre con il valore assoluto di AA
  • 4L'insieme immagine è [D−∣A∣, D+∣A∣][D - |A|,\ D + |A|]
  • 5Dai dati: D=max+min2D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2} e ∣A∣=max−min2|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}
  • 6Una traslazione verticale non cambia né l'ampiezza né il periodo, solo la posizione di tutta l'onda

Domande frequenti

La traslazione verticale cambia il periodo o l'ampiezza?

No. DD sposta ogni punto del grafico della stessa quantità verso l'alto o verso il basso, quindi l'onda mantiene la sua altezza e la sua larghezza. Cambiano solo la linea mediana, il massimo, il minimo e l'insieme immagine.

La traslazione verticale è la stessa cosa della linea mediana?

Vengono dallo stesso numero. La traslazione è lo spostamento (per esempio 3 unità verso l'alto), e la linea mediana è la retta dove finisce il centro dell'onda (y=3y = 3).

Perché sin⁡(x)+2\sin(x) + 2 sale, ma sin⁡(x+2)\sin(x + 2) no?

Un numero aggiunto fuori dalla funzione cambia l'uscita, quindi il grafico si sposta in verticale. Un numero aggiunto dentro, a xx, cambia l'ingresso, quindi il grafico si sposta di lato. Quello spostamento laterale è lo sfasamento, trattato nella lezione Sfasamento.

Un'onda seno traslata può restare tutta sopra l'asse x?

Sì, quando D>∣A∣D > |A|. Allora il minimo D−∣A∣D - |A| è positivo. Per esempio y=2sin⁡(x)+5y = 2\sin(x) + 5 non scende mai sotto 33. Le altezze di una ruota panoramica e le profondità delle maree si comportano così.

Glossario

Traslazione verticale
Spostare tutto il grafico verso l'alto o verso il basso aggiungendo una costante DD alla funzione
Linea mediana
La retta orizzontale y=Dy = D a metà tra il valore massimo e il valore minimo di un'onda (detta anche retta media)
Valore massimo
Il valore di y più alto dell'onda, D+∣A∣D + |A|
Valore minimo
Il valore di y più basso dell'onda, D−∣A∣D - |A|
Insieme immagine
Tutti i valori di y assunti dalla funzione: [D−∣A∣, D+∣A∣][D - |A|,\ D + |A|] per un seno o un coseno traslato
Modello sinusoidale
Una funzione seno o coseno che descrive una situazione reale che si ripete, come le maree o la temperatura

Scheda formule

Seno e coseno traslati

y=Asin⁡(x)+Dy = A\sin(x) + D, y=Acos⁡(x)+Dy = A\cos(x) + D

D sposta l'onda verso l'alto (D > 0) o verso il basso (D < 0)

Linea mediana

y=Dy = D

La retta attorno a cui oscilla l'onda

Massimo e minimo

D+∣A∣D + |A| e D−∣A∣D - |A|

Valori più alto e più basso dell'onda

Insieme immagine

[D−∣A∣, D+∣A∣][D - |A|,\ D + |A|]

Tutti i valori assunti

Dai dati

D=max+min2D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}, ∣A∣=max−min2|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

Linea mediana e ampiezza dal valore più alto e da quello più basso

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