Scrivere l'equazione di una sinusoide dal grafico

Scrivi il procedimento per ogni esercizio.

1.
Una sinusoide ha un massimo di $8$ e un minimo di $2$ . Qual è la sua linea mediana?
1. a) $y = 10$
2. b) $y = 6$
3. c) $y = 3$
4. d) $y = 5$
Risposta: $y = 5$
$D = \frac{8 + 2}{2} = 5$ , quindi la linea mediana è $y = 5$ . ( $3$ è l'ampiezza e $6$ l'altezza totale.)
2.
Un'onda va da un minimo di $1$ a un massimo di $9$ . Qual è la sua ampiezza?
Risposta: 4
$A = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$ . L'ampiezza è metà dell'altezza totale.
3.
Un'onda di seno ha periodo $4\pi$ . Quanto vale $B$ in $y = \sin(Bx)$ ?
Risposta: 1/2
$B = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$ . Un periodo lungo dà una $B$ piccola.
4.
Un'onda ha un massimo in $x = 0$ . Quale forma la descrive con $C = 0$ ?
1. a) $y = A\cos(Bx) + D$
2. b) $y = A\sin(Bx) + D$
3. c) $y = Ax + D$
4. d) $y = A\tan(Bx) + D$
Risposta: $y = A\cos(Bx) + D$
$\cos(0) = 1$ è il valore più grande del coseno, quindi il coseno parte da un massimo. Il seno parte dalla linea mediana, la tangente e una retta non oscillano tra un massimo e un minimo.
5.
Un'onda ha un massimo di $6$ e un minimo di $-2$ . Trova la linea mediana $D$ e l'ampiezza $A$ .
Risposta: $D = 2$ , $A = 4$
1. Qual è la linea mediana $D$ ? 2
2. Qual è l'ampiezza $A$ ? 4
6.
Il livello dell'acqua in un porto si ripete ogni $12$ ore. Quanto vale $B$ nel modello $y = A\cos(B(x - C)) + D$ con $x$ in ore? (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio pi/4.)
Risposta: pi/6
$B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ . Non $12$ : il periodo va al denominatore.
7.
Un'onda ha ampiezza $2$ , linea mediana $y = 0$ , periodo $2\pi$ e un massimo in $x = \frac{\pi}{3}$ . Quale equazione va bene?
1. a) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
2. b) $y = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$
3. c) $y = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right)$
4. d) $y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
Risposta: $y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
$y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ dà $2\cos(0) = 2$ in $x = \frac{\pi}{3}$ . Con $(x + \frac{\pi}{3})$ il massimo è in $-\frac{\pi}{3}$ , la versione con il seno lì è sulla linea mediana, e l'ultima ha ampiezza $1$ e periodo $\pi$ .
8.
Un'onda ha un massimo di $5$ in $x = \frac{\pi}{6}$ , un minimo di $-1$ e periodo $\frac{2\pi}{3}$ . Scrivila come $y = A\cos(B(x - C)) + D$ .
Risposta: $y = 3\cos\left(3\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) + 2$
1. Quanto vale $D$ ? 2
2. Quanto vale $A$ ? 3
3. Quanto vale $B$ ? 3
4. Quanto vale $C$ ? (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.) pi/6
9.
Un'onda attraversa la sua linea mediana $y = 0$ salendo in $x = \frac{\pi}{4}$ , ha un massimo di $3$ e periodo $\pi$ . Scrivila come $y = A\sin(B(x - C)) + D$ .
Risposta: $y = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$
1. Quanto vale $A$ ? 3
2. Quanto vale $D$ ? 0
3. Quanto vale $B$ ? 2
4. Quanto vale $C$ ? (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.) pi/4
10.
Quale equazione NON disegna lo stesso grafico di $y = 2\cos(x)$ ?
1. a) $y = 2\cos(x - 2\pi)$
2. b) $y = -2\cos(x - \pi)$
3. c) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
4. d) $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
Risposta: $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
In $x = 0$ : $2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2$ , $-2\cos(-\pi) = 2$ , $2\cos(-2\pi) = 2$ , ma $2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -2$ . L'ultimo grafico è l'onda capovolta $y = -2\cos(x)$ .
11.
Il grafico di $y = 4\sin(2x) + 1$ si può scrivere anche come $y = 4\cos(2(x - C)) + 1$ . Qual è il più piccolo $C$ positivo? (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio pi/3.)
Risposta: pi/4
$\sin(2x)$ è massimo quando $2x = \frac{\pi}{2}$ , cioè $x = \frac{\pi}{4}$ . È un quarto del periodo $\pi$ . Quindi $C = \frac{\pi}{4}$ .
12.
Una ruota panoramica ha un diametro di $30$ m, il centro è a $18$ m dal suolo e fa un giro ogni $6$ minuti. Sali in basso a $t = 0$ . Usa $h(t) = A\cos(Bt) + D$ .
Risposta: 33
1. Quanto vale $D$ in m? 18
2. Parti dal basso, quindi $A$ è negativa. Quanto vale $A$ ? -15
3. Quanto vale $B$ ? (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.) pi/3
4. A che altezza sei dopo $3$ minuti (in m)? 33
13.
Un'onda ha un massimo in $(1, 7)$ e il minimo successivo in $(4, 1)$ . Scrivila come $y = A\cos(B(x - C)) + D$ .
Risposta: $y = 3\cos\left(\frac{\pi}{3}(x - 1)\right) + 4$
1. Qual è il periodo? 6
2. Quanto vale $B$ ? (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.) pi/3
3. Quanto vale $A$ ? 3
4. Quanto vale $D$ ? 4
5. Quanto vale $C$ ? 1
14.
In un porto l'alta marea è di $9$ m alle 4:00 e la bassa marea successiva di $1$ m alle 10:00. Descrivi la profondità con $y = A\cos(B(x - C)) + D$ ( $x$ in ore dalla mezzanotte) e trova la profondità alle 6:00.
Risposta: 7
1. Qual è il periodo in ore? 12
2. Quanto vale $A$ ? 4
3. Quanto vale $D$ ? 5
4. Quanto vale $B$ ? (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.) pi/6
5. Qual è la profondità alle 6:00 (in m)? 7
15.
Un'onda ha un massimo di $10$ in $x = 3$ e il minimo successivo di $2$ in $x = 7$ . In $y = A\sin(B(x - C)) + D$ con $A > 0$ , qual è il più piccolo $C$ positivo?
Risposta: 1
Mezzo periodo $= 7 - 3 = 4$ , quindi il periodo è $8$ e un quarto di periodo è $2$ . L'onda attraversa la linea mediana salendo in $x = 3 - 2 = 1$ , quindi $C = 1$ .
16.
Un peso appeso a una molla parte dal punto più basso, a $2$ cm dal pavimento, a $t = 0$ . Il punto più alto è a $12$ cm e un'oscillazione completa dura $4$ secondi. Quale modello è giusto?
1. a) $h = -5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$
2. b) $h = -7\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 5$
3. c) $h = 5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$
4. d) $h = -5\cos(4t) + 7$
Risposta: $h = -5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$
$D = \frac{12 + 2}{2} = 7$ , ampiezza $= \frac{12 - 2}{2} = 5$ , $B = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ , e $A = -5$ perché parte dal basso: $h = -5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$ . Verifica: $t = 0$ dà $-5 + 7 = 2$ .
17.
Un grafico ha un minimo di $-5$ in $x = 0$ , un massimo di $3$ e periodo $4\pi$ . Scrivilo come $y = A\cos(Bx) + D$ (quindi $C = 0$ ).
Risposta: $y = -4\cos\left(\frac{x}{2}\right) - 1$
1. Quanto vale $D$ ? -1
2. Qual è l'ampiezza? 4
3. Il grafico parte da un minimo. Quanto vale $A$ ? -4
4. Quanto vale $B$ ? 1/2
18.
Una città ha $17$ ore di luce nel giorno più lungo (giorno $172$ ) e $7$ ore nel più corto. L'andamento si ripete ogni $365$ giorni. Trova $A$ , $D$ , $B$ e $C$ in $y = A\cos(B(d - C)) + D$ .
Risposta: $y = 5\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$
1. Quanto vale $A$ in ore? 5
2. Quanto vale $D$ in ore? 12
3. Quanto vale $B$ ? (Scrivi pi per $\pi$ , per esempio 3pi/4.) 2pi/365
4. Quanto vale $C$ ? 172