Guida per l'insegnante: Scrivere l'equazione di una sinusoide dal grafico

Leggi massimo, minimo, periodo e un punto di partenza su un'onda e trasformali in y = A sin(B(x - C)) + D o in un'equazione con il coseno.

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Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Leggere massimo, minimo, periodo e un punto di partenza sul grafico di una sinusoide
Calcolare A, B, C e D e scrivere l'equazione con il seno o con il coseno
Scrivere più equazioni equivalenti per lo stesso grafico e verificare che coincidono
Costruire modelli sinusoidali da dati reali (ruota panoramica, maree, ore di luce, molle) e usarli per prevedere valori

Prerequisiti

• Disegnare $y = \sin(x)$ e $y = \cos(x)$ (lezioni sulla funzione seno e sulla funzione coseno)
• Ampiezza e periodo: $|A|$ e $\frac{2\pi}{|B|}$ (lezione Ampiezza e periodo)
• Sfasamento e traslazione verticale (lezioni Sfasamento, Traslazione verticale e Trasformazioni dei grafici goniometrici)
• Valori esatti di seno e coseno nei multipli di $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{\pi}{4}$

Spunti di discussione

1. Due compagni hanno scritto equazioni diverse per lo stesso grafico. Come puoi capire chi ha ragione senza disegnare?
2. Perché una ruota panoramica che parte dal basso dà una A negativa in un modello con il coseno?
3. La durata del giorno è davvero un'onda di seno perfetta? Dove potrebbe sbagliare il modello?
4. Se conosci solo due massimi vicini di un'onda, che cosa ti serve ancora per scrivere la sua equazione?

Idee sbagliate comuni

Un grafico ha esattamente una sola equazione corretta

Rimedio: Fai scrivere a metà classe un'equazione con il seno e all'altra metà una con il coseno per lo stesso grafico, poi disegnale insieme con il grafico interattivo e mostra che si sovrappongono.

L'ampiezza è il valore massimo

Rimedio: Mostra un'onda con linea mediana $y = 5$ che va da $3$ a $7$ . Chiedi quanto dista il picco dalla linea mediana, non dall'asse x.

B è il periodo

Rimedio: Confronta $\sin(2x)$ e $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ sullo schermo: una B più grande comprime l'onda. Poi ricava $B = \frac{2\pi}{\text{periodo}}$ da $\text{periodo} = \frac{2\pi}{B}$ .

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Partire da onde con un massimo in $x = 0$ , così solo A, B e D sono nuovi
• Dare una tabella con le colonne max, min, periodo e partenza da compilare prima di scrivere l'equazione
• Usare il visual con i cursori e i suggerimenti attivi

Per studenti a livello:

• Scrivere un'equazione con il seno e una con il coseno per ogni grafico
• Modellizzare maree e ruote panoramiche a partire da testi
• Verificare ogni equazione sostituendo un massimo e un minimo

Per studenti avanzati:

• Raccogliere dati reali (ore di luce nella propria città, temperature mensili) e adattare un modello
• Trovare tutti i valori di C tra $0$ e un periodo che vanno bene per un grafico dato
• Usare il modello per trovare quando un valore viene raggiunto la prima volta (risolvere un'equazione goniometrica)

Allineamento agli standard

HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Scegliere funzioni goniometriche per modellizzare fenomeni periodici con ampiezza, frequenza e linea mediana date
HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Disegnare funzioni goniometriche mostrando periodo, linea mediana e ampiezza
HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Riconoscere l'effetto sul grafico della sostituzione di f(x) con f(x) + k, k f(x), f(kx) e f(x + k)

Risorse della lezione

visualCentra l'onda
Gli studenti leggono un'onda obiettivo e muovono i cursori A, B, C e D finché la loro curva la copre
activityRuota panoramica di cartoncino
Gli studenti girano una ruota fatta con un piatto di cartone, segnano l'altezza a ogni ottavo di giro, disegnano i punti e scrivono l'equazione
worksheetDal grafico all'equazione
Dodici grafici e insiemi di dati da trasformare in equazioni di seno e coseno, con due risposte ciascuno

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Nelle lezioni precedenti sei passato dall'equazione al grafico. Ora facciamo il contrario: guardi un'onda (o ne leggi la descrizione) e scrivi la sua equazione.

Ogni onda di seno o coseno si può scrivere in una di queste forme:

y = A\sin(B(x - C)) + D \qquad y = A\cos(B(x - C)) + D

Ti servono solo quattro letture dal grafico: il massimo, il minimo, il periodo e un punto di partenza.

Lettera	Che cosa indica	Come trovarla
$D$	linea mediana (traslazione verticale)	$D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$
$A$	ampiezza	$A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
$B$	quanto in fretta l'onda si ripete	$B = \frac{2\pi}{\text{periodo}}$
$C$	sfasamento (traslazione orizzontale)	dove inizia un ciclo

**Come scegliere

C

:**

Il coseno parte da un massimo: $C$ = la $x$ di un massimo.
Il seno parte sulla linea mediana, salendo: $C$ = la $x$ in cui il grafico attraversa la linea mediana mentre sale.

Lo stesso grafico ha molte equazioni corrette. Puoi partire da qualsiasi massimo (aggiungere o togliere un periodo intero a

C

), passare dal seno al coseno (spostare

C

di un quarto di periodo) o usare una

A

negativa (allora il coseno parte da un minimo). Tutte disegnano la stessa onda.

Esempi svolti

Un grafico ha un massimo di

5

x = 0

, un minimo di

1

e periodo

2\pi

. Scrivi la sua equazione.

Trova la linea mediana D

D = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2}

→

D = 3

Trova l'ampiezza A

A = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2}

→

A = 2

Trova B dal periodo

B = \frac{2\pi}{2\pi}

→

B = 1

Scegli la forma e C

L'onda parte da un massimo in

x = 0

, quindi usa il coseno con

C = 0

Risposta: $y = 2\cos(x) + 3$

Errori comuni

Usare il massimo come ampiezza (max $7$ , min $3$ , quindi $A = 7$ )

Perché è sbagliato: L'ampiezza si misura dalla linea mediana, non dall'asse x. L'onda sale solo di $2$ unità sopra la sua linea mediana $y = 5$ .

Corretto: $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$ , e il $5$ va in $D$ .

Scrivere il periodo al posto di B (periodo $12$ , quindi $B = 12$ )

Perché è sbagliato: B non è il periodo. Una B più grande fa ripetere l'onda più in fretta, quindi il periodo diventa più corto.

Corretto: $B = \frac{2\pi}{\text{periodo}} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ .

Sbagliare il segno di C: un massimo in $x = 2$ scritto come $\cos(B(x + 2))$

Perché è sbagliato: Dentro la parentesi lo spostamento ha il segno opposto. $(x + 2)$ sposta l'onda verso sinistra.

Corretto: Un massimo in $x = 2$ significa $\cos(B(x - 2))$ . Verifica: in $x = 2$ la parentesi vale $0$ e $\cos(0) = 1$ .

Usare il seno e mettere C nel massimo

Perché è sbagliato: Il seno non parte da un massimo. In $x = C$ l'onda del seno è sulla linea mediana e sta salendo.

Corretto: Con il seno prendi il punto in cui l'onda attraversa la linea mediana salendo, un quarto di periodo prima del massimo. Oppure usa il coseno e prendi il massimo.

Perché è importante

Tutto ciò che si ripete con un ciclo regolare si può descrivere con un'equazione di seno o coseno, e nella vita reale non ti danno quasi mai prima l'equazione. Ti danno dei dati: un valore più alto, un valore più basso e quanto dura un ciclo.

Ruote panoramiche: la tua altezza dal suolo sale e scende a ogni giro
Maree: il livello del mare passa dall'alta alla bassa marea circa ogni 12 ore
Ore di luce: le ore di luce sono massime in estate e si ripetono ogni 365 giorni
Molle e pendoli: un peso oscilla su e giù in un tempo fisso
Temperatura: la temperatura media giornaliera segue un'onda annuale

Quando sai scrivere l'equazione, puoi fare previsioni: l'altezza dopo 2 minuti, il livello dell'acqua alle 6:00, le ore di luce il giorno del tuo compleanno.

Applicazioni nel mondo reale

Ore di luce

Astronomi e ingegneri solari descrivono la durata del giorno con un'onda di coseno che si ripete ogni anno.

Esempio:

In una città del nord il giorno più lungo (giorno $172$ , intorno al 21 giugno) ha $16$ ore di luce e il più corto $8$ . Un modello è $y = 4\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$ .

1Provaci tu stesso

Un'altra città ha $15$ ore di luce nel giorno più lungo e $9$ ore nel più corto. L'andamento si ripete ogni $365$ giorni.

Quale valore di B va nel modello $y = A\cos(B(d - C)) + D$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $B = \frac{2\pi}{\text{periodo}}$ :

Ruote panoramiche

I progettisti di attrazioni usano l'equazione dell'altezza per controllare quanto velocemente salgono i passeggeri e quanto tempo restano in cima.

Esempio:

Una ruota di $50$ m di diametro con il centro a $30$ m di altezza fa un giro ogni $12$ minuti. Salendo nel punto più basso vale $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ .

2Provaci tu stesso

Sali sulla ruota descritta sopra ( $50$ m di diametro, centro a $30$ m, un giro ogni $12$ minuti) nel punto più basso a $t = 0$ .

A che altezza sei dopo $2$ minuti (in m)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Sostituisci $t = 2$ in $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ :

Un peso appeso a una molla

Gli ingegneri descrivono le vibrazioni (sospensioni delle auto, ponti, sensori) con le stesse equazioni di un peso che oscilla appeso a una molla.

Esempio:

Un peso oscilla tra $4$ cm e $16$ cm sopra un tavolo e impiega $2$ secondi per un'oscillazione completa.

3Provaci tu stesso

Il peso descritto sopra viene lasciato andare dal punto più alto ( $16$ cm) a $t = 0$ . Un'oscillazione completa dura $2$ secondi e il punto più basso è a $4$ cm.

A che altezza è il peso dopo $\frac{1}{3}$ di secondo (in cm)?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $y = 6\cos(\pi t) + 10$ con $t = \frac{1}{3}$ :

Punti chiave

1Linea mediana: $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ ; ampiezza: $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
2Dal periodo: $B = \frac{2\pi}{\text{periodo}}$ (da un massimo al minimo successivo c'è mezzo periodo)
3Coseno: $C$ è la $x$ di un massimo; seno: $C$ è il punto in cui l'onda attraversa la linea mediana salendo
4Un'onda che parte da un minimo è un coseno con $A$ negativa
5Un grafico ha molte equazioni corrette: aggiungere periodi interi a $C$ , spostarsi di un quarto di periodo per passare dal seno al coseno, oppure cambiare il segno di $A$ e spostarsi di mezzo periodo
6Verifica sempre un punto (un massimo o un minimo) nella tua equazione finale

Domande frequenti

Devo usare il seno o il coseno?

Vanno bene entrambi. Usa quello che rende

C

più semplice: il coseno se leggi bene un massimo, il seno se vedi dove l'onda attraversa la linea mediana salendo.

La mia risposta è diversa da quella del libro. È sbagliata?

Non per forza. Verifica un massimo e un minimo in entrambe le equazioni. Se danno gli stessi valori nella stessa

x

, disegnano la stessa onda. Per esempio

y = 3\sin(2x) + 1

y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1

sono lo stesso grafico.

Come trovo il periodo se vedo solo una parte dell'onda?

Misura la distanza orizzontale tra due massimi vicini (un periodo intero), oppure tra un massimo e il minimo successivo (mezzo periodo) e raddoppiala.

E se il problema usa ore o giorni invece dei radianti?

Il metodo non cambia:

B = \frac{2\pi}{\text{periodo}}

, con il periodo nella stessa unità di

x

. Una marea con periodo

12

ore ha

B = \frac{\pi}{6}

, un andamento annuale ha

B = \frac{2\pi}{365}

Glossario

Linea mediana: La retta orizzontale $y = D$ a metà tra il massimo e il minimo dell'onda (detta anche retta media)
Ampiezza: La distanza dalla linea mediana a un massimo: $\frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
Periodo: La lunghezza orizzontale di un ciclo completo; $B = \frac{2\pi}{\text{periodo}}$
Sfasamento: La traslazione orizzontale $C$ : dove inizia un ciclo dell'onda base di seno o coseno
Modello sinusoidale: Un'equazione $y = A\sin(B(x - C)) + D$ o $y = A\cos(B(x - C)) + D$ che descrive una grandezza reale che si ripete

Scheda formule

Forme generali

y = A\sin(B(x - C)) + D

y = A\cos(B(x - C)) + D

Ogni onda di seno o coseno rientra in una di queste forme

Linea mediana

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

La media tra il valore più alto e quello più basso

Ampiezza

A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

Metà dell'altezza totale dell'onda

B dal periodo

B = \frac{2\pi}{\text{periodo}}

Il periodo è la distanza tra due massimi

Punto di partenza C

\cos

C = x_{\text{max}}

;

\sin

C = x_{\text{linea mediana, sale}}

Il coseno parte da un massimo, il seno dalla linea mediana salendo

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Per studenti a livello:

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Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Ore di luce

Ruote panoramiche

Un peso appeso a una molla

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Forme generali

Linea mediana

Ampiezza

B dal periodo

Punto di partenza C

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