Dimostrare identità trigonometriche

Risposta: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ è l'identità pitagorica fondamentale e vale per ogni $x$. Le altre tre sono equazioni: $\sin x = \cos x$ vale per $45°$, $\sin x + \cos x = 1$ per $0°$ e $90°$, $\tan x = 1$ per $45°$, ma nessuna vale per ogni angolo.

Risposta: 1

$(1 + 3) \cdot \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$, esattamente il secondo membro. La verifica concorda con la dimostrazione $(1 + \tan^2 x)\cos^2 x = \sec^2 x \cos^2 x = 1$.

Risposta: $\tan 30° \cos 30° = \sin 30° = \frac{1}{2}$

1. Quanto vale il secondo membro $\sin 30°$? 1/2
2. Quanto vale il primo membro $\tan 30° \cdot \cos 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$? 1/2
3. Quanto vale il primo membro meno il secondo? 0

Risposta: Dividere entrambi i membri per $\cos x$

Dividere entrambi i membri per $\cos x$ tratta l'identità come un'equazione già vera. Gli altri passaggi cambiano solo un membro senza cambiarne il valore: identità del quoziente, moltiplicazione per una forma di 1, semplificazione di un fattore comune.

Risposta: -2

Primo membro: $\sin 180° = 0$. Secondo membro: $2\sin 90° = 2$. La differenza $0 - 2 = -2$ non è $0$, quindi $x = 90°$ è un controesempio e l'affermazione non è un'identità.

Risposta: $\sin x \cot x = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x$

1. Scrivi $\cot x$ con seno e coseno. Quale espressione è? $\dfrac{\cos x}{\sin x}$
2. Il primo membro ora è $\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$. Che cosa resta dopo la semplificazione? $\cos x$
3. Verifica per $x = 60°$: quale valore devono dare i due membri ($\cos 60°$)? 1/2

Risposta: Moltiplicare numeratore e denominatore per $1 - \cos x$

Moltiplicare per il coniugato $\frac{1 - \cos x}{1 - \cos x}$ dà $\frac{\sin x\,(1 - \cos x)}{1 - \cos^2 x} = \frac{\sin x\,(1 - \cos x)}{\sin^2 x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$. Elevare al quadrato o sommare su entrambi i membri viola la regola del membro unico.

Risposta: 3/2

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1{,}5$. Il primo membro dà lo stesso valore: $\sec 60° - \cos 60° = 2 - 0{,}5 = 1{,}5$.

Risposta: $\cos x\,(\sec x - \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x$

1. Moltiplicando si ottiene $\cos x \sec x - \cos^2 x$. Quale numero è $\cos x \sec x$? 1
2. Quindi il primo membro è $1 - \cos^2 x$. A quale espressione è uguale? $\sin^2 x$
3. Verifica per $x = 30°$: quanto vale $\sin^2 30°$? 1/4

Risposta: $\dfrac{2}{1 - \cos^2 x} = \dfrac{2}{\sin^2 x} = 2\csc^2 x$

1. Con il denominatore comune il numeratore è $(1 + \cos x) + (1 - \cos x)$. Quale numero è? 2
2. A quale espressione è uguale il denominatore $(1 - \cos x)(1 + \cos x)$? $\sin^2 x$
3. Quindi il primo membro è $\frac{2}{\sin^2 x} = 2\csc^2 x$. Quanto vale per $x = 30°$? 8

Risposta: $45°$

Per $0°$, $90°$ e $360°$ la somma è esattamente 1. Per $45°$ è $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}414 \neq 1$, quindi $45°$ è un controesempio.

Risposta: 3

$\frac{1 - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x$. Per $30°$: $\cot 30° = \sqrt{3}$, quindi $\cot^2 30° = 3$. Direttamente: $\frac{1 - \frac{1}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{3/4}{1/4} = 3$.

Risposta: $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x$

1. Per $x = 45°$, $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$. Quanto vale il primo membro $(\sqrt{2})^2$? 2
2. Il secondo membro vale 1. Quanto vale il primo membro meno il secondo per $45°$? 1
3. Sviluppando si ottiene $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x\cos x$. Quanto vale $2\sin 45° \cos 45°$? 1

Risposta: $2\tan x \sec x$

$\frac{(1 + \sin x) - (1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \frac{2\sin x}{\cos^2 x} = 2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 2\tan x \sec x$. Verifica per $60°$: $\frac{1}{1 - 0{,}866} - \frac{1}{1{,}866} \approx 7{,}46 - 0{,}54 = 6{,}93$ e $2\tan 60° \sec 60° = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \approx 6{,}93$. La scelta $2\sec^2 x$ è il risultato della somma delle due frazioni, non della differenza.

Risposta: 2

$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$, quindi il primo membro è $\sec^2 x + \tan^2 x = (1 + \tan^2 x) + \tan^2 x = 1 + 2\tan^2 x$. Quindi $A = 2$. Verifica per $45°$: $4 - 1 = 3 = 1 + 2 \cdot 1$.

Risposta: $\dfrac{\cos x\,(1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{\cos x\,(1 - \sin x)}{\cos^2 x} = \dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$

1. Per quale forma di 1 devi moltiplicare il primo membro per poter semplificare il denominatore con un'identità pitagorica? $\dfrac{1 - \sin x}{1 - \sin x}$
2. A quale espressione è uguale il nuovo denominatore $(1 + \sin x)(1 - \sin x)$? $\cos^2 x$
3. Il primo membro ora è $\frac{\cos x\,(1 - \sin x)}{\cos^2 x}$. Che cosa ottieni semplificando un $\cos x$? $\dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$
4. Verifica per $x = 0°$: quale valore danno i due membri? 1

Risposta: $\cot^2 x - \cos^2 x = \cos^2 x \cdot \dfrac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} = \cos^2 x \cdot \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x \cos^2 x$

1. Scrivi $\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$ e raccogli $\cos^2 x$ nel primo membro. Quale espressione ottieni? $\cos^2 x\left(\dfrac{1}{\sin^2 x} - 1\right)$
2. Con un denominatore comune, $\frac{1}{\sin^2 x} - 1 = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x}$. A quale espressione è uguale il numeratore $1 - \sin^2 x$? $\cos^2 x$
3. Il primo membro ora è $\cos^2 x \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$. Quale espressione è? $\cot^2 x \cos^2 x$
4. Verifica per $x = 45°$: quale valore danno i due membri? 1/2

Risposta: $(\sin^2 x - \cos^2 x) \cdot 1 = 1 - 2\cos^2 x$

1. Scomponi il primo membro. Quale scomposizione è corretta? $(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$
2. Quale numero è il secondo fattore $\sin^2 x + \cos^2 x$? 1
3. Sostituisci $\sin^2 x$ con $1 - \cos^2 x$ in $\sin^2 x - \cos^2 x$. Ottieni $1 + k\cos^2 x$. Quanto vale $k$? -2
4. Verifica per $x = 60°$: quanto vale $\sin^4 60° - \cos^4 60° = \frac{9}{16} - \frac{1}{16}$? 1/2