Guida per l'insegnante: Identità del quoziente

Impara perché la tangente è il seno diviso il coseno e la cotangente è il coseno diviso il seno, dove sono definite e come usarle per semplificare le espressioni.

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Quiz di classe

10 domande su Identità trigonometriche. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Ricavare $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ e $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ dal triangolo rettangolo e dalla circonferenza goniometrica
Indicare dove tangente e cotangente non sono definite e spiegare perché
Trovare $\tan\theta$ e $\cot\theta$ da valori dati di $\sin\theta$ e $\cos\theta$ , con i segni corretti in ogni quadrante
Riscrivere espressioni con $\tan$ , $\cot$ , $\sec$ e $\csc$ in termini di seno e coseno
Semplificare brevi espressioni trigonometriche con le identità del quoziente

Prerequisiti

• Seno, coseno e tangente nel triangolo rettangolo (SOH-CAH-TOA)
• La circonferenza goniometrica: il punto $(\cos\theta, \sin\theta)$ e i segni nei quattro quadranti
• Identità reciproche ( $\csc$ , $\sec$ , $\cot$ )
• Identità pitagoriche, soprattutto $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
• Dividere e semplificare frazioni

Spunti di discussione

1. Perché l'ipotenusa sparisce quando dividi $\sin\theta$ per $\cos\theta$ ?
2. Sulla circonferenza goniometrica, che cosa ti dice $\tan\theta$ sul raggio verso il punto $(\cos\theta, \sin\theta)$ ?
3. Perché $\tan\theta$ non ha valore a $90°$ , mentre $\cot 90°$ sì?
4. Se $\tan\theta$ è negativa, in quali quadranti può trovarsi $\theta$ , e perché?
5. Perché spesso conviene riscrivere ogni funzione in seni e coseni prima di semplificare?

Idee sbagliate comuni

Tangente e cotangente sono funzioni a parte che non c'entrano con seno e coseno

Rimedio: Disegna $y = \tan x$ e $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ insieme e mostrale a turno. Poi calcola entrambe per alcuni angoli con la calcolatrice, per esempio a $40°$ .

L'identità vale per ogni angolo, anche per $90°$

Rimedio: Calcola con la classe $\frac{\sin 90°}{\cos 90°} = \frac{1}{0}$ e collegalo all'asintoto verticale del grafico della tangente. Sottolinea le condizioni $\cos\theta \neq 0$ e $\sin\theta \neq 0$ .

$\frac{\sin a}{\cos b}$ è una tangente per due angoli qualsiasi

Rimedio: Fai calcolare agli studenti $\frac{\sin 40°}{\cos 20°}$ e confrontarlo con $\tan 20°$ e $\tan 40°$ ; nessuno dei due valori coincide.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Partire da un triangolo 3-4-5 e calcolare $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ come rapporti tra lati prima di usare l'identità
• Usare all'inizio solo angoli del primo quadrante e valori positivi
• Dare una scheda con le due identità del quoziente e le due condizioni di esistenza

Per studenti a livello:

• Trovare $\tan\theta$ e $\cot\theta$ da $\sin\theta$ e $\cos\theta$ in tutti e quattro i quadranti
• Riscrivere e semplificare prodotti di due o tre fattori come $\cot\theta\sin\theta\sec\theta$
• Controllare ogni semplificazione con la calcolatrice per un angolo

Per studenti avanzati:

• Trovare $\sin\theta$ e $\cos\theta$ quando sono dati solo $\tan\theta$ e il quadrante
• Spiegare perché $\tan\theta$ è la pendenza del raggio e usarlo per trovare l'angolo di una retta passante per l'origine
• Anticipo di analisi: applicare la regola del quoziente a $\frac{\sin x}{\cos x}$ per trovare la derivata di $\tan x$

Allineamento agli standard

HSF-TF.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C.8)
Dimostrare l'identità pitagorica e usarla per trovare sen, cos o tan dati uno di essi e il quadrante dell'angolo
HSF-TF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A.2)
Spiegare come la circonferenza goniometrica estende le funzioni trigonometriche a tutti i numeri reali
HSG-SRT.C.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.C.6)
Capire che i rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo definiscono i rapporti trigonometrici degli angoli acuti

Risorse della lezione

visualDimostrazioni di identità passo per passo
Guarda $\tan\theta\cos\theta$ , $\cot\theta\sin\theta$ e $\tan\theta\cot\theta$ diventare $\sin\theta$ , $\cos\theta$ e $1$ , con un controllo numerico in tempo reale
visualDue grafici, una curva
Attiva e disattiva $y = \tan x$ e $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ e verifica che si sovrappongono, asintoti compresi
activityMisurare triangoli
Gli studenti disegnano triangoli rettangoli, misurano i lati e verificano che $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ è uguale a $\frac{\text{opposto}}{\text{adiacente}}$
worksheetRiscrivere in seni e coseni
Dieci espressioni brevi da riscrivere e semplificare con le identità del quoziente e le identità reciproche

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Le identità del quoziente scrivono la tangente e la cotangente come quoziente (una divisione) tra seno e coseno dello stesso angolo:

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \qquad (\cos\theta \neq 0)

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \qquad (\sin\theta \neq 0)

Da dove vengono: il triangolo rettangolo

Per un angolo acuto

\theta

in un triangolo rettangolo,

\sin\theta = \frac{\text{opposto}}{\text{ipotenusa}}

\cos\theta = \frac{\text{adiacente}}{\text{ipotenusa}}

. Se li dividi, l'ipotenusa si semplifica:

\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{opposto}/\text{ipotenusa}}{\text{adiacente}/\text{ipotenusa}} = \frac{\text{opposto}}{\text{adiacente}} = \tan\theta

Da dove vengono: la circonferenza goniometrica

L'angolo

\theta

incontra la circonferenza goniometrica nel punto

P = (\cos\theta, \sin\theta)

. La pendenza del raggio

OP

\frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

, e questa pendenza è

\tan\theta

. Questo vale per ogni angolo, non solo per quelli acuti, quindi i segni tornano in tutti e quattro i quadranti.

Dove sono definite

$\tan\theta$ non è definita quando $\cos\theta = 0$ : a $90°$ , $270°$ , ... (cioè $\theta = 90° + k \cdot 180°$ ).
$\cot\theta$ non è definita quando $\sin\theta = 0$ : a $0°$ , $180°$ , $360°$ , ... (cioè $\theta = k \cdot 180°$ ).

Legame con le identità reciproche

Dalle identità reciproche,

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

. Capovolgere

\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

dà

\frac{\cos\theta}{\sin\theta}

, quindi i due punti di vista coincidono, e

\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

ovunque siano definite entrambe.

Esempi svolti

Per un angolo

\theta

sappiamo che

\sin\theta = \frac{3}{5}

\cos\theta = \frac{4}{5}

. Trova

\tan\theta

\cot\theta

Scrivi l'identità del quoziente per la tangente

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5}

→ Dividere le due frazioni

Dividi (i quinti si semplificano)

\frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}

→

\tan\theta = \frac{3}{4}

Usa l'identità del quoziente per la cotangente

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}

→

\cot\theta = \frac{4}{3}

Controlla con l'identità reciproca

\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1

→ Corretto

Risposta: $\tan\theta = \frac{3}{4}$ e $\cot\theta = \frac{4}{3}$

Errori comuni

Scrivere $\tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Perché è sbagliato: La frazione è capovolta: quella è la cotangente. Sulla circonferenza goniometrica la tangente è la pendenza $\frac{y}{x}$ , e $y = \sin\theta$ .

Corretto: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ (il seno sopra, come $y$ fratto $x$ ) e $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Dire che $\tan 90° = 0$ oppure $\cot 0° = 0$

Perché è sbagliato: A $90°$ il coseno vale $0$ , e non si può dividere per $0$ . A $0°$ il seno vale $0$ , quindi la cotangente ha denominatore zero.

Corretto: $\tan 90° = \frac{1}{0}$ non è definita, e $\cot 0° = \frac{1}{0}$ non è definita. Il grafico di $\tan$ lì ha asintoti verticali.

Mescolare due angoli: $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} = \tan 20°$ oppure $\tan 40°$

Perché è sbagliato: L'identità vale solo quando seno e coseno hanno lo stesso angolo.

Corretto: $\frac{\sin 40°}{\cos 40°} = \tan 40°$ , ma $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} \approx 0{,}684$ non è né $\tan 20° \approx 0{,}364$ né $\tan 40° \approx 0{,}839$ .

Perdere il segno nel II, III e IV quadrante

Perché è sbagliato: Spesso si prende la radice positiva per $\cos\theta$ o $\sin\theta$ e si ottiene $\tan\theta > 0$ ovunque.

Corretto: Ricava prima i segni dal quadrante: nel II quadrante $\sin > 0$ e $\cos < 0$ , quindi $\tan\theta < 0$ ; nel III quadrante sono entrambi negativi, quindi $\tan\theta > 0$ .

Perché è importante

Le identità del quoziente sono il ponte che trasforma ogni espressione trigonometrica in seni e coseni:

Semplificare: scrivere $\tan$ e $\cot$ come frazioni di $\sin$ e $\cos$ è il primo passo di quasi tutte le semplificazioni e dimostrazioni che seguono in questo argomento
Valori esatti: se conosci $\sin\theta$ e $\cos\theta$ (dalla circonferenza goniometrica o da un triangolo), ottieni $\tan\theta$ e $\cot\theta$ con una sola divisione
Pendenze e angoli: la pendenza di una retta, di una strada o di una rampa è la tangente del suo angolo di inclinazione
Fisica: un oggetto su un piano inclinato comincia a scivolare quando il coefficiente di attrito è minore di $\tan\theta$ , e le lunghezze delle ombre usano $\cot\theta$
Analisi: la derivata di $\tan x$ si trova scrivendola come $\frac{\sin x}{\cos x}$ e usando la regola del quoziente

Applicazioni nel mondo reale

Piste da sci e pendenze stradali

La pendenza di un pendio (dislivello diviso distanza orizzontale) è la tangente del suo angolo di inclinazione. Un sensore del telefono misura seno e coseno dell'inclinazione, e l'app li divide.

Esempio:

Un pendio con $\sin\theta = 0{,}6$ e $\cos\theta = 0{,}8$ ha $\tan\theta = 0{,}75$ : scende di $75$ m ogni $100$ m di distanza orizzontale.

1Provaci tu stesso

Un sensore di inclinazione su una pista da sci segna $\sin\theta = 0{,}6$ e $\cos\theta = 0{,}8$ . La discesa copre $200$ m di distanza orizzontale.

Di quanti metri è il dislivello della discesa?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Dislivello = $\tan\theta \times$ distanza orizzontale:

Attrito su una rampa

Una cassa su una rampa resta ferma finché il coefficiente di attrito $\mu$ è almeno $\tan\theta$. Gli ingegneri lo usano per decidere quanto possono essere ripidi nastri trasportatori e rampe di carico.

Esempio:

Su una rampa con $\tan\theta = 0{,}5$ , una cassa con $\mu = 0{,}6$ resta ferma, ma una cassa con $\mu = 0{,}4$ scivola.

2Provaci tu stesso

Una rampa di carico ha $\sin\theta = \frac{9}{41}$ e $\cos\theta = \frac{40}{41}$ . Una cassa di plastica sopra di essa ha coefficiente di attrito $\mu = 0{,}2$ .

Qual è il più piccolo coefficiente di attrito che tiene ferma una cassa su questa rampa?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

$\mu$ minimo = $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ :

Lunghezza delle ombre

Quando il sole ha un'altezza angolare $\theta$, un palo alto $h$ proietta un'ombra lunga $h \cot\theta = h \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Gli architetti lo usano per progettare ombra e luce solare.

Esempio:

Con il sole a $45°$ , $\cot 45° = 1$ , quindi ogni oggetto proietta un'ombra lunga quanto la sua altezza.

3Provaci tu stesso

A mezzogiorno l'altezza angolare del sole ha $\sin\theta = 0{,}96$ e $\cos\theta = 0{,}28$ . Un'asta della bandiera è alta $12$ m.

Quanto è lunga l'ombra dell'asta, in metri?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Ombra = $12 \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ :

Punti chiave

1 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ e $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ , sempre per lo stesso angolo $\theta$
2In un triangolo rettangolo l'ipotenusa si semplifica: $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{opposto}}{\text{adiacente}}$
3Sulla circonferenza goniometrica, $\tan\theta$ è la pendenza $\frac{y}{x}$ del raggio verso $(\cos\theta, \sin\theta)$ , quindi vale in ogni quadrante
4 $\tan\theta$ non è definita dove $\cos\theta = 0$ ( $90°$ , $270°$ , ...); $\cot\theta$ non è definita dove $\sin\theta = 0$ ( $0°$ , $180°$ , ...)
5 $\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$ ovunque siano definite entrambe
6Per semplificare, riscrivi prima tutto in $\sin$ e $\cos$ , poi semplifica i fattori comuni

Domande frequenti

Perché si chiamano identità del quoziente?

Un quoziente è il risultato di una divisione. Queste identità esprimono

\tan

\cot

come una funzione divisa per un'altra:

\sin\theta \div \cos\theta

\cos\theta \div \sin\theta

$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ è un'identità del quoziente o un'identità reciproca?

I due punti di vista portano allo stesso risultato. L'identità reciproca dice

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

; sostituendo

\tan\theta

con

\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

e capovolgendo si ottiene la forma di quoziente

\frac{\cos\theta}{\sin\theta}

. La forma di quoziente funziona anche a

90°

, dove

\tan

non è definita ma

\cot 90° = \frac{0}{1} = 0

Perché $y = \tan x$ e $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ hanno lo stesso grafico?

Perché sono la stessa funzione. Entrambe hanno asintoti verticali dove

\cos x = 0

(

x = \pm 90°, \pm 270°, ...

) e zeri dove

\sin x = 0

. Attiva e disattiva le due curve nel grafico qui sopra: si sovrappongono esattamente.

Posso controllare un'identità del quoziente con la calcolatrice?

Sì. Scrivi

\sin(40) / \cos(40)

\tan(40)

in modalità gradi: entrambe danno circa

0{,}8391

. Un controllo numerico per alcuni angoli è una buona prova, ma solo un ragionamento algebrico dimostra un'identità per tutti gli angoli.

Glossario

Quoziente: Il risultato di una divisione, per esempio $\frac{a}{b}$ è il quoziente tra $a$ e $b$
Identità del quoziente: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ e $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$
Identità: Un'uguaglianza vera per ogni valore della variabile per cui entrambi i membri sono definiti
Cotangente ( $\cot$ ): Il rapporto $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ , il reciproco della tangente
Dominio: L'insieme degli angoli per cui un'espressione è definita; per $\tan\theta$ tutti gli angoli con $\cos\theta \neq 0$

Scheda formule

Tangente

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Definita per $\cos\theta \neq 0$

Cotangente

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Definita per $\sin\theta \neq 0$

Prodotto

\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

Dove sono definite entrambe

Triangolo rettangolo

\tan\theta = \frac{\text{opposto}}{\text{adiacente}}

L'ipotenusa si semplifica in $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

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Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Da dove vengono: il triangolo rettangolo

Da dove vengono: la circonferenza goniometrica

Dove sono definite

Legame con le identità reciproche

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Piste da sci e pendenze stradali

Attrito su una rampa

Lunghezza delle ombre

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Tangente

Cotangente

Prodotto

Triangolo rettangolo

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