Guida per l'insegnante: Formule di addizione e sottrazione

Impara le formule di addizione e sottrazione di seno, coseno e tangente, trova valori esatti come sin 75° e combina angoli di quadranti diversi.

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10 domande su Identità trigonometriche. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Enunciare le formule di addizione e sottrazione di seno, coseno e tangente
Trovare i valori esatti di angoli come 15°, 75°, 105° e 165° partendo dagli angoli notevoli
Calcolare sin(A + B), cos(A + B) e tan(A + B) da valori dati, usando i segni dei quadranti
Riconoscere un'espressione sviluppata come sin 70° cos 20° + cos 70° sin 20° e semplificarla
Ricavare le formule di duplicazione dalle formule di addizione

Prerequisiti

• Valori esatti di sin, cos e tan per 30°, 45°, 60° e la circonferenza goniometrica
• Identità pitagoriche: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
• Segni delle funzioni goniometriche nei quattro quadranti
• Angoli complementari e funzioni pari e dispari
• Semplificare frazioni con radici quadrate

Spunti di discussione

1. Perché sin 30° + sin 60° non può essere il seno di nessun angolo?
2. Perché la formula del coseno cambia il segno mentre quella del seno lo mantiene? Prova con A = B = 45°.
3. 75° = 45° + 30° e 75° = 120° - 45°. Danno lo stesso valore esatto? Perché?
4. Come ottieni le formule di duplicazione dalle formule di addizione in un solo passaggio?
5. In quali situazioni reali due angoli si sommano, e dove ti servirebbero queste formule?

Idee sbagliate comuni

Le funzioni goniometriche si distribuiscono su una somma: $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Rimedio: Prova con $A = 30^\circ$ , $B = 60^\circ$ : il primo membro vale 1, il secondo circa 1,366. Poi usa il grafico con i cursori: la curva rossa $\sin x + \sin b$ si separa da $\sin(x + b)$ per ogni $b$ tranne $0^\circ$ .

I segni di tutte le formule seguono il segno tra A e B

Rimedio: Fai provare agli studenti $\cos(45^\circ + 45^\circ) = \cos 90^\circ = 0$ con entrambe le scelte di segno. Solo la versione con il meno dà 0. Riassunto: il seno mantiene, il coseno cambia, la tangente mantiene sopra e cambia sotto.

Un valore ottenuto con $\sqrt{1 - \sin^2 A}$ è sempre positivo

Rimedio: Prima di calcolare, disegnare l'angolo nel suo quadrante sulla circonferenza goniometrica e scrivere subito il segno. Confrontare il risultato finale con la calcolatrice usando l'angolo vero.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Dare una scheda con le formule e una tabella dei valori notevoli, cominciare solo con seno e coseno di una somma
• Esercitarsi solo sui valori esatti (75°, 15°) prima dei problemi sui quadranti
• Controllare ogni risultato esatto con la calcolatrice per acquistare sicurezza

Per studenti a livello:

• Trovare tutti i valori esatti di 15°, 75°, 105°, 165° per seno, coseno e tangente
• Risolvere problemi sui quadranti per sin(A ± B) e cos(A ± B)
• Semplificare espressioni riconoscendo una formula sviluppata

Per studenti avanzati:

• Dimostrare la formula di cos(A - B) con la formula della distanza sulla circonferenza goniometrica
• Ricavare la formula di triplicazione sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A da sin(2A + A)
• Scrivere a cos t + b sin t come un'unica onda R sin(t + φ) e trovare R e φ

Allineamento agli standard

F-TF.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C.9)
Dimostrare le formule di addizione e sottrazione di seno, coseno e tangente e usarle per risolvere problemi
F-TF.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A.3)
Usare triangoli particolari per determinare geometricamente seno, coseno e tangente di π/3, π/4 e π/6

Risorse della lezione

visualGrafico della formula di addizione
I cursori per a e b mostrano che sin(a + b) è uguale a sin a cos b + cos a sin b, ma non a sin a + sin b
visualDimostrazioni passo dopo passo
Ricava sin(x + 90°) = cos x, cos(180° - x) = -cos x e tan(x + 45°) una regola alla volta, con verifica numerica
activityCaccia ai valori esatti
I gruppi costruiscono 15°, 75°, 105°, 165° in due modi diversi dagli angoli notevoli e confrontano i risultati
worksheetCombinazioni di quadranti
Dati sin A e cos B con i quadranti, trovare sin(A ± B), cos(A ± B) e il quadrante di A + B

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Le formule di addizione e sottrazione danno seno, coseno e tangente di

A + B

o di

A - B

partendo solo dai valori di

A

e di

B

Seno

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Coseno

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Tangente

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Come ricordare i segni:

Il seno mantiene il segno: un $+$ in $A + B$ dà un $+$ nella formula, e mescola seno e coseno.
Il coseno cambia il segno: $A + B$ dà un meno, $A - B$ dà un più, e abbina coseno con coseno, seno con seno.
Tangente: il numeratore mantiene il segno, il denominatore lo cambia.

Attenzione:

\sin(A + B)

non è

\sin A + \sin B

. Per esempio

\sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1

, ma

\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366

Con gli angoli notevoli

30^\circ

45^\circ

60^\circ

queste formule danno valori esatti per nuovi angoli come

15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

165^\circ = 120^\circ + 45^\circ

. Se poni

B = A

, ottieni le formule di duplicazione.

Esempi svolti

Trova il valore esatto di

\sin 75^\circ

Scrivi $75^\circ$ come somma di angoli notevoli

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

→

A = 45^\circ

B = 30^\circ

Applica la formula di addizione del seno

\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ

→ Due prodotti di valori noti

Sostituisci i valori esatti

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}

→

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Controlla con la calcolatrice

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2{,}4495 + 1{,}4142}{4} \approx 0{,}9659

\sin 75^\circ \approx 0{,}9659

→ I valori coincidono

Risposta: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Errori comuni

Scrivere $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Perché è sbagliato: Il seno non è una funzione lineare, quindi non si può distribuire su una somma. Con $A = 30^\circ$ e $B = 60^\circ$ : $\sin 90^\circ = 1$ , ma $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366$ , che non è nemmeno un valore possibile del seno.

Corretto: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ . Muovi i cursori del grafico: la curva rossa $\sin x + \sin b$ si stacca dalle altre due.

Mantenere il segno nella formula del coseno: $\cos(A + B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Perché è sbagliato: Il coseno cambia il segno. Provalo con $A = B = 45^\circ$ : $\cos 90^\circ = 0$ , ma $\cos^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ = 1$ .

Corretto: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ e $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ .

Prendere positivo ogni valore mancante, per esempio $\cos A = \frac{4}{5}$ quando $\sin A = \frac{3}{5}$ e $A$ è nel secondo quadrante

Perché è sbagliato: L'identità pitagorica dà solo il valore assoluto. È il quadrante a decidere il segno, e un segno sbagliato cambia tutto il risultato.

Corretto: Usa il quadrante: nel secondo quadrante il coseno è negativo, quindi $\cos A = -\frac{4}{5}$ . Ricorda: primo quadrante tutto positivo, secondo solo il seno, terzo solo la tangente, quarto solo il coseno.

Usare $1 + \tan A \tan B$ al denominatore di $\tan(A + B)$

Perché è sbagliato: Nella formula della tangente il numeratore mantiene il segno ma il denominatore lo cambia, proprio come nel coseno.

Corretto: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ e $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ .

Perché è importante

Le formule di addizione sono le formule madri di quasi tutte le altre identità goniometriche:

Valori esatti: la calcolatrice dà $\sin 75^\circ \approx 0{,}9659$ , ma la formula dà il valore esatto $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , quello che serve nelle verifiche e nelle dimostrazioni.
Altre identità: duplicazione, bisezione e angoli complementari derivano tutte da qui (poni $B = A$ oppure $A = 90^\circ$ ).
Onde e suono: in fisica si riscrive $3\sin t + 4\cos t$ come un'unica onda $5\sin(t + \varphi)$ per leggerne l'ampiezza.
Rotazioni: ogni videogioco e ogni braccio robotico ruota i punti con $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ e $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ , che è proprio la formula di addizione.
Angoli tra rette: la formula di sottrazione della tangente dà l'angolo tra due strade, rampe o linee di un tetto direttamente dalle loro pendenze.

Applicazioni nel mondo reale

Unire due onde

In fisica ed elettronica una somma come $3\sin t + 4\cos t$ descrive due onde sovrapposte. La formula di addizione del seno mostra che è un'unica onda $R\sin(t + \varphi)$, e $R$ è la sua ampiezza (quanto è forte).

Esempio:

$R\sin(t + \varphi) = R\cos\varphi \sin t + R\sin\varphi \cos t$ . Confrontando con $3\sin t + 4\cos t$ si ottiene $R\cos\varphi = 3$ e $R\sin\varphi = 4$ .

1Provaci tu stesso

Un segnale è $3\sin t + 4\cos t$ . Vuoi scriverlo come $R\sin(t + \varphi)$ con $R > 0$ .

Quanto vale l'ampiezza $R$ ?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $R^2 = (R\cos\varphi)^2 + (R\sin\varphi)^2$ :

Ruotare punti nei videogiochi e nella robotica

Un punto a distanza $r$ e con angolo $\alpha$ ha coordinate $x = r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$. Ruotarlo di $\beta$ dà l'angolo $\alpha + \beta$, e le formule di addizione lo trasformano nelle formule di rotazione $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ e $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$.

Esempio:

Rotazione di $(1, 0)$ di $90^\circ$ : $x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$ e $y' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$ , quindi il punto va in $(0, 1)$ .

2Provaci tu stesso

Un braccio robotico tiene un utensile nel punto $(4, 3)$ . Ruota di un angolo $\beta$ con $\cos\beta = 0{,}8$ e $\sin\beta = 0{,}6$ .

Qual è la nuova coordinata $y$ dell'utensile?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ :

L'angolo tra due strade

Una retta con pendenza $m$ forma con l'asse $x$ un angolo $\theta$ con $\tan\theta = m$. La formula di sottrazione della tangente dà l'angolo tra due rette direttamente dalle pendenze, e i progettisti la usano per incroci, rampe e tetti.

Esempio:

Rette con pendenze $1$ e $0$ : $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$ , quindi si incontrano a $45^\circ$ .

3Provaci tu stesso

Su una mappa, una strada ha pendenza $3$ e una seconda strada ha pendenza $\frac{1}{2}$ .

Qual è l'angolo tra le strade, in gradi?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Usa $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$ con $\tan\alpha = 3$ , $\tan\beta = \frac{1}{2}$ :

Punti chiave

1 $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ : il seno mantiene il segno e mescola seno e coseno
2 $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ : il coseno cambia il segno
3 $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ : il numeratore mantiene il segno, il denominatore lo cambia
4I valori esatti di $15^\circ$ , $75^\circ$ , $105^\circ$ , $165^\circ$ nascono da somme e differenze di $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ (e $120^\circ$ , $135^\circ$ )
5Con angoli in altri quadranti, trova il seno o il coseno mancante con l'identità pitagorica e prendi il segno dal quadrante
6 $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$ ; ponendo $B = A$ si ottengono le formule di duplicazione

Domande frequenti

Perché non esiste una regola semplice come $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ ?

Perché il seno non è una funzione lineare. Raddoppiare un angolo non raddoppia il suo seno:

\sin 30^\circ = 0{,}5

, ma

\sin 60^\circ \approx 0{,}866

, non

1

. La formula di addizione è il sostituto corretto di quella regola sbagliata.

Che legame c'è tra le formule di addizione e quelle di duplicazione?

Poni

B = A

. Allora

\sin(2A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A

\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A

. La formula della tangente dà

\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}

Quale coppia di angoli notevoli devo usare?

Va bene qualsiasi coppia che dia l'angolo:

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

oppure

60^\circ - 45^\circ

105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

165^\circ = 120^\circ + 45^\circ

oppure

135^\circ + 30^\circ

. Coppie diverse portano allo stesso valore finale.

Quando $\tan(A + B)$ non è definita?

Quando

1 - \tan A \tan B = 0

, cioè quando

\tan A \tan B = 1

. Allora

A + B

vale

90^\circ

270^\circ

), dove la tangente non esiste. Esempio:

\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1

30^\circ + 60^\circ = 90^\circ

Glossario

Formula di addizione: Una formula per una funzione goniometrica di $A + B$ , per esempio $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
Formula di sottrazione: Una formula per una funzione goniometrica di $A - B$ , per esempio $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
Valore esatto: Un valore scritto con interi, frazioni e radici, come $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , invece di un decimale arrotondato
Angoli notevoli: $30^\circ$ , $45^\circ$ e $60^\circ$ (e i loro associati sulla circonferenza goniometrica), di cui seno, coseno e tangente sono noti esattamente
Segno nel quadrante: Il segno di un valore goniometrico in ogni quadrante: I tutto positivo, II seno, III tangente, IV coseno

Scheda formule

Seno di una somma

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

Mantiene il segno, mescola seno e coseno

Seno di una differenza

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Meno tra i due prodotti

Coseno di una somma

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

Il segno diventa meno

Coseno di una differenza

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Il segno diventa più

Tangente di una somma

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

Il numeratore mantiene il segno, il denominatore lo cambia

Tangente di una differenza

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Numeratore con meno, denominatore con più

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Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Seno

Coseno

Tangente

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Unire due onde

Ruotare punti nei videogiochi e nella robotica

L'angolo tra due strade

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Seno di una somma

Seno di una differenza

Coseno di una somma

Coseno di una differenza

Tangente di una somma

Tangente di una differenza

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Identità reciproche

Identità pitagoriche

Identità trigonometriche pari e dispari

Identità delle cofunzioni