Docentenhandleiding: Exponent nul

Leer waarom elk getal behalve nul tot de macht nul gelijk is aan 1, en hoe je uitdrukkingen als $5x^0$ en $(-3)^0$ uitrekent.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Machten & Wortels. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De regel $a^0 = 1$ voor elk grondtal ongelijk aan nul formuleren
De regel verklaren met het patroon van delen door het grondtal en met de regel voor het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal
Uitdrukkingen berekenen waarin nulexponenten samen met andere machten voorkomen
Uitdrukkingen als $5x^0$ en $(5x)^0$ , of $-3^0$ en $(-3)^0$ , van elkaar onderscheiden
Herkennen dat $0^0$ een bijzonder geval is dat ongedefinieerd blijft

Vereisten

• Introductie tot Machtsverheffen: grondtal, exponent en machten berekenen zoals $2^5$
• Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• Volgorde van bewerkingen, vooral machten voor vermenigvuldigen en tekens

Discussiestarters

1. Veel mensen denken dat $5^0 = 0$ . Waarom lijkt dat logisch, en wat klopt er niet aan?
2. Schrijf de machten van 10 op van $10^3$ tot en met $10^0$ . Wat doet elke stap met het getal?
3. Waarom dwingt de quotiëntregel $a^0$ om gelijk aan 1 te zijn?
4. Hoe zou je een vriend uitleggen waarom $-2^0$ en $(-2)^0$ verschillende uitkomsten geven?
5. Waarom denk je dat we $0^0$ op dit niveau ongedefinieerd laten?

Veelvoorkomende misvattingen

Exponent nul betekent dat de uitkomst nul is ( $a^0 = 0$ )

Herstel: Bouw de tabel met machten van 2 op vanaf $2^4$ naar beneden. Vraag welke bewerking je van de ene rij naar de volgende brengt (delen door 2) en laat leerlingen zelf $2 \div 2$ uitrekenen.

Exponent nul laat het grondtal onveranderd ( $a^0 = a$ )

Herstel: Vergelijk $a^1$ en $a^0$ in dezelfde tabel. Wijs erop dat exponent 1 al het grondtal geeft, dus exponent 0 moet nog een deling verder liggen.

Exponent nul maakt de hele term 1 ( $5x^0 = 1$ , $-3^0 = 1$ )

Herstel: Omcirkel eerst het grondtal waar de exponent bij hoort. Schrijf $5x^0$ als $5 \times x^0$ en $-3^0$ als $-(3^0)$ en controleer met de rekenmachine.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Gebruik eerst alleen de patroontabel met kleine grondtallen (2, 3, 10) voordat je de quotiëntregel invoert
• Schrijf $\frac{3 \times 3}{3 \times 3}$ uit en vereenvoudig om te zien dat het 1 is
• Geef een geheugenkaart met $a^1 = a$ en $a^0 = 1$ naast elkaar

Voor leerlingen op niveau:

• Gemengde uitdrukkingen berekenen zoals $4^0 + 2^3 \times 6^0$
• Kaarten met $5x^0$ , $(5x)^0$ , $-3^0$ en $(-3)^0$ sorteren in gelijk aan 1 en niet gelijk aan 1
• Exponent nul gebruiken bij het uitsplitsen van gehele getallen en in het binaire stelsel

Voor gevorderde leerlingen:

• Het patroon onder $2^0$ voortzetten om $2^{-1}$ en $2^{-2}$ te voorspellen (vooruitblik op negatieve exponenten)
• Uitleggen waarom het patroonargument niet werkt voor grondtal 0
• Laten zien dat ook de productregel $a^0 = 1$ afdwingt: $a^0 \times a^n = a^n$

Standaarduitlijning

8.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.1)
De eigenschappen van gehele exponenten kennen en toepassen om gelijkwaardige getallenuitdrukkingen te maken
6.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.6.EE.A.1)
Getallenuitdrukkingen met natuurlijke exponenten opschrijven en berekenen

Lesbronnen

visualFactoren wegstrepen
$5^3$ gedeeld door $5^3$ uitschrijven als factoren, de gemeenschappelijke factoren wegstrepen en zien dat $1 = 5^0$ overblijft
visualMachten van 2 op de getallenlijn
De exponent verlagen van $2^6$ naar $2^0$ en zien hoe de waarde elke keer halveert tot 1
activityPatroontabellen
Leerlingen vullen tabellen in voor machten van 2, 3, 5 en 10 tot exponent 0 en beschrijven de regel
worksheetMet of zonder haakjes
Paren als $4y^0$ en $(4y)^0$ , of $-7^0$ en $(-7)^0$ , naast elkaar uitrekenen

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

De regel voor exponent nul zegt dat elk getal ongelijk aan nul tot de macht

0

gelijk is aan

1

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Dus

7^0 = 1

100^0 = 1

(-5)^0 = 1

\left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1

Waarom? Kijk naar het patroon. Elke keer dat de exponent

1

kleiner wordt, deel je door het grondtal:

Macht	Waarde
$2^4$	$16$
$2^3$	$8$
$2^2$	$4$
$2^1$	$2$
$2^0$	$2 \div 2 = 1$

Het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal bevestigt dit. Een macht gedeeld door zichzelf is

1

, en het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal geeft exponent

0

\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 \quad \text{en} \quad \frac{a^n}{a^n} = 1

Let op waar de exponent bij hoort. Een exponent hoort alleen bij het grondtal dat er direct voor staat:

$5x^0 = 5 \times x^0 = 5 \times 1 = 5$ , maar $(5x)^0 = 1$
$-3^0 = -(3^0) = -1$ , maar $(-3)^0 = 1$

Bijzonder geval: op dit niveau laten we

0^0

ongedefinieerd. De regel

a^0 = 1

geldt alleen voor

a \neq 0

Uitgewerkte voorbeelden

Gebruik het patroon van de machten van $3$ om $3^0$ te vinden.

Begin met een macht die je kent

$3^3 = 3 \times 3 \times 3$ → $3^3 = 27$

Maak de exponent 1 kleiner: deel door 3

$27 \div 3 = 9$ → $3^2 = 9$

Nog een keer kleiner: deel door 3

$9 \div 3 = 3$ → $3^1 = 3$

Nog één stap omlaag naar exponent 0

$3 \div 3 = 1$ → $3^0 = 1$

Antwoord: $3^0 = 1$

Veelgemaakte fouten

$a^0 = 0$ schrijven, bijvoorbeeld $9^0 = 0$

Waarom het fout is: Exponent $0$ betekent niet vermenigvuldigen met nul. Als je in het patroon omlaag gaat, deel je door het grondtal, en $9 \div 9 = 1$ .

Correct: $9^0 = 1$ , want $\frac{9^1}{9^1} = 9^0$ en $\frac{9}{9} = 1$

$a^0 = a$ schrijven, bijvoorbeeld $9^0 = 9$

Waarom het fout is: Dat is de regel voor exponent $1$ : $9^1 = 9$ . Exponent $0$ is nog een stap lager, dus je deelt nog een keer door $9$ .

Correct: $9^1 = 9$ maar $9^0 = 1$

$5x^0 = 1$ schrijven

Waarom het fout is: De exponent hoort alleen bij $x$ , niet bij de coëfficiënt $5$ . Alleen $x^0$ wordt $1$ .

Correct: $5x^0 = 5 \times 1 = 5$ , terwijl $(5x)^0 = 1$

$-3^0 = 1$ schrijven

Waarom het fout is: Zonder haakjes is het grondtal $3$ , niet $-3$ . Het minteken blijft voor de uitkomst staan.

Correct: $-3^0 = -(3^0) = -1$ , terwijl $(-3)^0 = 1$

Waarom het belangrijk is

Exponent nul komt overal voor waar machten gebruikt worden:

Plaatswaarde: de eenheden horen bij $10^0 = 1$ , dus $345 = 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 5 \times 10^0$
Computers: het meest rechtse cijfer van een binair getal is $2^0 = 1$ waard
Groeimodellen: in $P = 500 \times 2^t$ is de beginwaarde bij $t = 0$ gelijk aan $500 \times 2^0 = 500$
Algebra: om $\frac{x^4}{x^4}$ of $3x^0$ te vereenvoudigen heb je de regel steeds nodig

Als

a^0

gelijk was aan

0

, zouden de eenheden niets waard zijn en zou elk groeimodel bij nul beginnen. Alleen de waarde

1

zorgt ervoor dat alle rekenregels voor machten blijven kloppen.

Toepassingen in de echte wereld

Plaatswaarde en machten van tien

Elke positie in ons talstelsel is een macht van tien. De eenheden horen bij $10^0 = 1$.

Voorbeeld:

$6072 = 6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ , en de laatste term is $2 \times 1 = 2$ .

1Probeer het zelf

Een docent schrijft $6072$ uitgesplitst: $6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ .

Wat is de waarde van de laatste term, $2 \times 10^0$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de laatste term als berekening:

Binaire getallen in computers

Computers slaan getallen binair op. Elke binaire positie is een macht van twee, en de meest rechtse positie is $2^0 = 1$.

Voorbeeld:

Het binaire getal $1011$ betekent $1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$ .

2Probeer het zelf

Een sensor stuurt het binaire getal $101$ , dat wil zeggen $1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$ .

Welk getal is dit in ons gewone tientallige stelsel?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de som van de plaatswaarden:

Beginwaarde van een groeimodel

Biologen beschrijven een populatie die elk uur verdubbelt met $P = P_0 \times 2^t$, waarbij $t$ de tijd in uren is.

Voorbeeld:

Voor $P = 200 \times 2^t$ is na 3 uur $P = 200 \times 2^3 = 1600$ , en aan het begin $P = 200 \times 2^0 = 200$ .

3Probeer het zelf

Een bacteriekweek groeit volgens $P = 500 \times 2^t$ , waarbij $t$ het aantal uren sinds het begin is.

Hoeveel bacteriën zijn er aan het begin, dus bij $t = 0$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vul $t = 0$ in de formule in:

Belangrijke punten

1Voor elk getal $a$ ongelijk aan nul geldt: $a^0 = 1$
2Patroon: elke stap omlaag in de exponent deelt door het grondtal, dus $2^1 = 2$ wordt $2^0 = 2 \div 2 = 1$
3Quotiëntregel: $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$ , en een getal gedeeld door zichzelf is $1$
4De exponent hoort alleen bij het grondtal direct ervoor: $5x^0 = 5$ maar $(5x)^0 = 1$
5Bij negatieve getallen tellen haakjes: $-3^0 = -1$ maar $(-3)^0 = 1$
6 $a^0$ is nooit $0$ en nooit $a$ ; op dit niveau laten we $0^0$ ongedefinieerd

Veelgestelde vragen

Waarom is $a^0$ gelijk aan 1 en niet aan 0?

Omdat elke stap omlaag in de exponent deelt door het grondtal. Vanaf

5^1 = 5

geeft nog een stap omlaag

5 \div 5 = 1

. De regel voor het quotiënt van machten zegt hetzelfde:

\frac{5^3}{5^3} = 5^0

, en elk getal ongelijk aan nul gedeeld door zichzelf is

1

Wat is $0^0$ ?

Op dit niveau laten we

0^0

ongedefinieerd. Het patroonargument vraagt om te delen door het grondtal, en door

0

kun je niet delen. Daarom luidt de regel

a^0 = 1

voor

a \neq 0

Werkt de regel ook voor negatieve getallen en breuken?

Ja, zolang het grondtal niet nul is en het hele grondtal tussen haakjes staat:

(-8)^0 = 1

\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1

Waarom geeft mijn rekenmachine $-1$ voor $-3^0$ ?

De rekenmachine volgt de volgorde van bewerkingen: de macht gaat voor het minteken, dus rekent hij

-(3^0) = -1

. Typ

(-3)^0

met haakjes om

1

te krijgen.

Woordenlijst

Exponent nul: Een exponent gelijk aan $0$ . Voor elk grondtal ongelijk aan nul geldt $a^0 = 1$ .
Grondtal: Het getal dat tot een macht wordt verheven. In $(-3)^0$ is het grondtal $-3$ , in $-3^0$ is het $3$ .
Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal: Bij het delen van machten met hetzelfde grondtal trek je de exponenten af: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ .
Coëfficiënt: Het getal voor een variabele. In $5x^0$ is de coëfficiënt $5$ , en de exponent heeft er geen invloed op.
Ongedefinieerd: Een uitdrukking waaraan geen waarde wordt gegeven. Op dit niveau laten we $0^0$ ongedefinieerd.

Formulekaart

Regel voor exponent nul

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Elk getal ongelijk aan nul tot de macht nul is 1

Waarom het werkt

\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1

Het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal en een getal delen door zichzelf geven dezelfde uitkomst

Coëfficiënt ervoor

c \cdot x^0 = c \quad (x \neq 0)

Alleen de variabele wordt 1, de coëfficiënt blijft staan

Haakjes en negatieve getallen

(-a)^0 = 1, \quad -a^0 = -1

Met haakjes is het grondtal negatief, zonder haakjes blijft het minteken buiten

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Exponent nul

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Plaatswaarde en machten van tien

Binaire getallen in computers

Beginwaarde van een groeimodel

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Regel voor exponent nul

Waarom het werkt

Coëfficiënt ervoor

Haakjes en negatieve getallen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot Machtsverheffen

Rekenregels voor machten

Vierkantswortels en derdemachtswortels

Machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigen