Docentenhandleiding: Getallen in wetenschappelijke notatie vergelijken

Leer getallen in wetenschappelijke notatie te vergelijken en te ordenen: eerst de exponenten, dan de coëfficiënten, en hoeveel keer groter een getal is.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Wetenschappelijke Notatie. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Twee getallen in wetenschappelijke notatie vergelijken aan de hand van hun exponenten
Coëfficiënten vergelijken als de exponenten gelijk zijn
Een getal normaliseren voordat je het vergelijkt
Getallen met negatieve exponenten vergelijken en ordenen
Met machten van tien schatten hoeveel keer groter een getal is dan een ander

Vereisten

• Basis van wetenschappelijke notatie: de vorm $a \times 10^n$ (les Wetenschappelijke notatie)
• Getallen in wetenschappelijke notatie schrijven (les Getallen in wetenschappelijke notatie schrijven)
• Negatieve getallen vergelijken op de getallenlijn
• Kommagetallen vergelijken, zoals 4,5 en 4,6

Discussiestarters

1. Waarom kun je $3{,}1 \times 10^6$ en $9{,}8 \times 10^5$ vergelijken zonder ook maar één nul uit te schrijven?
2. Welk getal is groter, $9{,}99 \times 10^5$ of $1 \times 10^6$ ? Hoe zou je een vriend overtuigen?
3. Waarom is $10^{-3}$ groter dan $10^{-5}$ , terwijl $5 > 3$ ?
4. Een sterrenkundige zegt dat een ster drie ordes van grootte helderder is dan een andere. Wat betekent dat in getallen?

Veelvoorkomende misvattingen

Het getal met de grootste coëfficiënt is het grootst

Herstel: Schrijf $9{,}8 \times 10^5$ en $3{,}1 \times 10^6$ naast elkaar in gewone notatie: $980.000$ en $3.100.000$ . Vraag op welke plaats elk getal begint.

Een negatieve exponent met een grotere absolute waarde geeft een groter getal

Herstel: Zet $10^{-1}$ , $10^{-2}$ , $10^{-3}$ als $0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ op een getallenlijn en laat leerlingen zien dat de waarden kleiner worden als de exponent daalt.

Getallen zoals $45 \times 10^3$ kun je direct op hun exponent vergelijken

Herstel: Laat zien dat $45 \times 10^3$ en $4{,}5 \times 10^4$ hetzelfde getal zijn. Maak "eerst normaliseren" de eerste regel van elke vergelijking.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin met paren met dezelfde coëfficiënt en verschillende exponenten
• Laat leerlingen beide getallen in gewone notatie uitschrijven om elke vergelijking te controleren
• Gebruik een ladder van machten van tien om elk getal te plaatsen voordat je vergelijkt

Voor leerlingen op niveau:

• Paren met negatieve exponenten en met gelijke exponenten vergelijken
• Getallen zoals $38 \times 10^5$ of $0{,}7 \times 10^{-3}$ normaliseren voordat je vergelijkt
• Rijen van vier tot zes echte meetwaarden ordenen

Voor gevorderde leerlingen:

• Schatten hoeveel keer groter een grootheid is, ook bij ongelijke coëfficiënten
• Uitzoeken welke paren echte afmetingen (atoom, cel, aarde, zon) meer dan tien ordes van grootte verschillen
• Uitleggen waarom een genormaliseerd getal met exponent $n$ altijd tussen $10^n$ en $10^{n+1}$ ligt

Standaarduitlijning

8.EE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.3)
Getallen van de vorm één cijfer maal een gehele macht van 10 gebruiken om heel grote of heel kleine hoeveelheden te schatten en aan te geven hoeveel keer zo groot de ene is als de andere
8.EE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.4)
Rekenen met getallen in wetenschappelijke notatie en wetenschappelijke notatie van een rekenmachine interpreteren

Lesbronnen

visualVergelijker voor wetenschappelijke notatie
Normaliseren, exponenten en dan coëfficiënten vergelijken, en afmetingen in het heelal ordenen op een ladder van machten van tien
activityWaslijn van het heelal
Leerlingen hangen kaartjes met afmetingen van atomen tot sterrenstelsels, in wetenschappelijke notatie, in volgorde aan een lijn aan de muur
worksheetVergelijken en ordenen
Paren en rijen om te vergelijken, met getallen die eerst genormaliseerd moeten worden en negatieve exponenten

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Om getallen in wetenschappelijke notatie

a \times 10^n

(met

1 \le a < 10

) te vergelijken, hoef je bijna nooit alle nullen uit te schrijven. Volg drie stappen:

1.Normaliseer beide getallen, zodat elke coëfficiënt tussen $1$ en $10$ ligt. Bijvoorbeeld $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$ .
2.Vergelijk de exponenten. Het getal met de grootste exponent is het grootste getal: $3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5$ , omdat $6 > 5$ .
3.Als de exponenten gelijk zijn, vergelijk je de coëfficiënten: $4{,}7 \times 10^8 > 4{,}2 \times 10^8$ , omdat $4{,}7 > 4{,}2$ .

De exponent beslist eerst, omdat elke stap omhoog in de exponent het getal met

10

vermenigvuldigt, en dat kan een coëfficiënt nooit goedmaken: zelfs

9{,}99 \times 10^5

is kleiner dan

1 \times 10^6

Negatieve exponenten volgen dezelfde regel, je vergelijkt ze gewoon als negatieve getallen:

-3 > -5

, dus

10^{-3} > 10^{-5}

(

0{,}001 > 0{,}00001

Hoeveel keer groter? Als de coëfficiënten gelijk zijn, deel je de machten van tien door de exponenten af te trekken:

\frac{10^8}{10^5} = 10^{8-5} = 10^3 = 1000

Elk verschil van

1

in de exponent is één orde van grootte (een factor

10

Uitgewerkte voorbeelden

Welk getal is groter:

3{,}1 \times 10^6

9{,}8 \times 10^5

Controleer of beide genormaliseerd zijn

Beide coëfficiënten,

3{,}1

9{,}8

, liggen tussen

1

10

→ Klaar om te vergelijken

Vergelijk de exponenten

6 > 5

→

10^6

is tien keer

10^5

Beslis (de coëfficiënten doen hier niet mee)

3{,}1 \times 10^6 = 3.100.000

9{,}8 \times 10^5 = 980.000

→

3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5

Antwoord: $3{,}1 \times 10^6$ is groter, ook al is de coëfficiënt kleiner.

Veelgemaakte fouten

Eerst de coëfficiënten vergelijken: denken dat $9{,}8 \times 10^5 > 3{,}1 \times 10^6$ omdat $9{,}8 > 3{,}1$

Waarom het fout is: De macht van tien bepaalt de grootte. $10^6$ is tien keer $10^5$ , en geen coëfficiënt onder de $10$ kan dat goedmaken.

Correct: Vergelijk eerst de exponenten: $6 > 5$ , dus $3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5$ . Kijk alleen naar de coëfficiënten als de exponenten gelijk zijn.

Vergelijken zonder te normaliseren: denken dat $45 \times 10^3 > 4{,}6 \times 10^4$ omdat $45 > 4{,}6$

Waarom het fout is: $45 \times 10^3$ staat niet in wetenschappelijke notatie, dus de exponent vertelt niet de echte grootte.

Correct: Normaliseer eerst: $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$ . Dan geldt $4{,}5 < 4{,}6$ , dus $45 \times 10^3 < 4{,}6 \times 10^4$ .

Denken dat $10^{-5} > 10^{-3}$ omdat $5 > 3$

Waarom het fout is: Negatieve exponenten vergelijk je als negatieve getallen: $-5$ is kleiner dan $-3$ .

Correct: $10^{-5} = 0{,}00001$ en $10^{-3} = 0{,}001$ , dus $10^{-3} > 10^{-5}$ . De exponent die het dichtst bij nul ligt, wint.

Denken dat $10^6$ het dubbele is van $10^3$ , of $3$ meer dan $10^3$

Waarom het fout is: De exponenten verschillen $3$ , maar elke stap in de exponent vermenigvuldigt met $10$ , hij telt niets op.

Correct: $\frac{10^6}{10^3} = 10^{6-3} = 10^3$ , dus $10^6$ is $1000$ keer $10^3$ .

Waarom het belangrijk is

De wetenschap zit vol getallen die te groot of te klein zijn om met het blote oog te vergelijken:

Ruimte: de aarde is ongeveer $1{,}27 \times 10^7$ m breed, terwijl de afstand van de aarde tot de zon ongeveer $1{,}5 \times 10^{11}$ m is. De exponenten vertellen je meteen dat de afstand ongeveer $10^4$ (tienduizend) keer groter is.
Biologie: een rode bloedcel ( $7 \times 10^{-6}$ m) is veel groter dan een waterstofatoom ( $1 \times 10^{-10}$ m), omdat $-6 > -10$ .
Computers: een terabyte ( $10^{12}$ bytes) bevat $1000$ keer zoveel als een gigabyte ( $10^9$ bytes).
Geneeskunde: doses en concentraties zoals $5 \times 10^{-4}$ g of $8 \times 10^{-6}$ g mogen nooit verwisseld worden.

Eerst de exponenten vergelijken is snel en veilig. Nullen tellen in

0{,}0000070

0{,}00000001

is traag en foutgevoelig.

Toepassingen in de echte wereld

Biologie: bacteriën en virussen

Microbiologen vergelijken piepkleine lengtes met negatieve exponenten om de juiste microscoop te kiezen.

Voorbeeld:

Een lichtmicroscoop laat dingen zien tot ongeveer $2 \times 10^{-7}$ m. Een bacterie van $2 \times 10^{-6}$ m is groter ( $-6 > -7$ ), dus die zie je. De meeste virussen zijn kleiner en vragen om een elektronenmicroscoop.

1Probeer het zelf

Een bacterie is $2 \times 10^{-6}$ m lang. Een virus heeft een diameter van $1 \times 10^{-7}$ m.

Hoeveel keer langer is de bacterie dan het virus?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vergelijk de machten van tien en neem daarna de coëfficiënten mee:

Computers: opslaggrootte

Opslag meet je in bytes: een gigabyte is $10^9$ bytes en een terabyte $10^{12}$ bytes. Door de exponenten te vergelijken weet je hoeveel bestanden erop passen.

Voorbeeld:

Een foto van $3 \times 10^6$ bytes is veel kleiner dan een video van $3 \times 10^9$ bytes: dezelfde coëfficiënt, en de exponenten verschillen $3$ , dus de video is $1000$ keer zo groot.

2Probeer het zelf

Een harde schijf bevat $2 \times 10^{12}$ bytes. Eén filmbestand is $2 \times 10^9$ bytes.

Hoeveel films passen er op de schijf?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

De coëfficiënten zijn gelijk, dus vergelijk alleen de machten van tien:

Natuurkunde: golflengtes van lasers

Golflengtes van licht zijn piepklein en worden vaak op verschillende manieren geschreven, bijvoorbeeld in nanometer ($10^{-9}$ m). Om ze te vergelijken normaliseer je eerst.

Voorbeeld:

Blauw licht heeft een golflengte van ongeveer $4{,}5 \times 10^{-7}$ m en rood licht van ongeveer $7 \times 10^{-7}$ m. Dezelfde exponent, dus $7 > 4{,}5$ laat zien dat rood licht de grootste golflengte heeft.

3Probeer het zelf

Op een practicumblad staat een rode laser van $650 \times 10^{-9}$ m en een groene laser van $5{,}3 \times 10^{-7}$ m.

Welke laser heeft de grootste golflengte?

Stap 1: Kies het juiste antwoord

Normaliseer $650 \times 10^{-9}$ en vergelijk dan:

Belangrijke punten

1Eerst normaliseren: elke coëfficiënt moet voldoen aan $1 \le a < 10$ (bijvoorbeeld $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$ )
2Vergelijk eerst de exponenten: de grootste exponent hoort bij het grootste getal
3Alleen als de exponenten gelijk zijn, vergelijk je de coëfficiënten
4Negatieve exponenten vergelijk je als negatieve getallen: $10^{-3} > 10^{-5}$ omdat $-3 > -5$
5Om een rij te ordenen, sorteer je op exponent en bij dezelfde exponent op coëfficiënt
6Bij gelijke coëfficiënten is $10^m$ precies $10^{m-n}$ keer $10^n$ : elke stap in de exponent is één orde van grootte

Veelgestelde vragen

Waarom telt de exponent zwaarder dan de coëfficiënt?

Een genormaliseerde coëfficiënt is altijd kleiner dan

10

, terwijl één stap hoger in de exponent met

10

vermenigvuldigt. Daarom is

9{,}99 \times 10^5 = 999.000

nog steeds kleiner dan

1 \times 10^6 = 1.000.000

Wat als een getal niet goed in wetenschappelijke notatie staat?

Normaliseer het eerst. Verschuif de komma tot de coëfficiënt tussen

1

10

ligt en pas de exponent aan:

0{,}8 \times 10^5 = 8 \times 10^4

45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4

Is een getal met een negatieve exponent altijd kleiner dan een getal met een positieve exponent?

Ja, voor positieve getallen. Een genormaliseerd getal met een negatieve exponent is kleiner dan

1

(bijvoorbeeld

9{,}9 \times 10^{-1} = 0{,}99

), en een getal met exponent

0

of meer is minstens

1

Wat betekent "twee ordes van grootte groter"?

Het betekent ongeveer

10^2 = 100

keer groter. De orde van grootte is ongeveer de exponent, dus een verschil van

2

in de exponenten betekent een factor van ongeveer

100

Woordenlijst

Wetenschappelijke notatie: Een getal geschreven als $a \times 10^n$ met $1 \le a < 10$ en $n$ een geheel getal
Coëfficiënt: Het getal $a$ voor de macht van tien, bijvoorbeeld $4{,}6$ in $4{,}6 \times 10^4$
Exponent: De macht $n$ in $10^n$ ; die vergelijk je eerst
Normaliseren: Een getal zo herschrijven dat de coëfficiënt tussen $1$ en $10$ ligt: $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$
Orde van grootte: Een factor $10$ ; getallen waarvan de exponenten $3$ verschillen, schelen ongeveer drie ordes van grootte ( $10^3$ )

Formulekaart

Volgorde bij vergelijken

\text{normaliseren} \rightarrow \text{exponenten} \rightarrow \text{coëfficiënten}

Zorg dat $1 \le a < 10$, vergelijk de exponenten en vergelijk de coëfficiënten alleen als de exponenten gelijk zijn.

Hoeveel keer zo groot

\frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}

Bij gelijke coëfficiënten is het grootste getal $10^{m-n}$ keer het kleinste.

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Getallen in wetenschappelijke notatie vergelijken

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Biologie: bacteriën en virussen

Computers: opslaggrootte

Natuurkunde: golflengtes van lasers

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Volgorde bij vergelijken

Hoeveel keer zo groot

Meer over dit onderwerp

Wetenschappelijke notatie

Getallen in wetenschappelijke notatie schrijven

Van wetenschappelijke notatie naar gewone notatie

Vermenigvuldigen in wetenschappelijke notatie