Docentenhandleiding: Vermenigvuldigen in wetenschappelijke notatie

Leer getallen in wetenschappelijke notatie vermenigvuldigen: vermenigvuldig de coëfficiënten, tel de exponenten op en normaliseer de uitkomst.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Wetenschappelijke Notatie. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Twee getallen in wetenschappelijke notatie vermenigvuldigen door de coëfficiënten te vermenigvuldigen en de exponenten op te tellen
Een product normaliseren waarvan de coëfficiënt 10 of groter is
Getallen met negatieve exponenten correct vermenigvuldigen
Een getal in wetenschappelijke notatie tot een macht verheffen
Echte problemen (afstanden, aantallen, dataopslag) oplossen met producten in wetenschappelijke notatie

Vereisten

• Getallen in wetenschappelijke notatie schrijven (lessen Wetenschappelijke notatie en Getallen in wetenschappelijke notatie schrijven)
• Rekenregel voor machten: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
• Positieve en negatieve gehele getallen optellen
• Kommagetallen vermenigvuldigen

Discussiestarters

1. Waarom is het sneller om $3 \times 10^5$ met $3{,}15 \times 10^7$ te vermenigvuldigen dan $300.000$ met $31.500.000$ ?
2. Als de coëfficiënt $10$ keer kleiner wordt, wat moet er dan met de macht van tien gebeuren om de waarde gelijk te houden?
3. Waarom kan het product van twee coëfficiënten nooit $100$ bereiken?
4. Waar in wetenschap of techniek heb je gezien dat heel grote getallen met elkaar vermenigvuldigd worden?

Veelvoorkomende misvattingen

De exponenten vermenigvuldigen, zoals in $10^3 \times 10^5 = 10^{15}$

Herstel: Schrijf $10^3 \times 10^5$ uit als factoren: $(10 \cdot 10 \cdot 10)(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10)$ en tel de tienen. Gebruik de weergave van machten van tien als factoren.

Bij een macht vergeten de coëfficiënt te verheffen: $(2 \times 10^3)^2 = 2 \times 10^6$

Herstel: Schrijf de macht als product: $(2 \times 10^3)(2 \times 10^3) = 4 \times 10^6$ . Beide delen worden gekwadrateerd.

Denken dat $12 \times 10^8$ een verkeerde waarde heeft

Herstel: Laat zien dat het gelijk is aan $1{,}2 \times 10^9$ (allebei $1.200.000.000$ ). De waarde klopt, alleen de vorm is geen wetenschappelijke notatie.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin met producten die niet genormaliseerd hoeven te worden, zoals $(2 \times 10^3)(4 \times 10^5)$
• Gebruik een tabel met twee kolommen: links de coëfficiënten, rechts de exponenten
• Controleer elke uitkomst door de getallen voluit te schrijven

Voor leerlingen op niveau:

• Positieve en negatieve exponenten door elkaar gebruiken
• Elk product normaliseren en uitleggen waarom de exponent stijgt
• Contextopgaven oplossen met snelheid, tijd en aantallen

Voor gevorderde leerlingen:

• Drie of meer factoren vermenigvuldigen en getallen tot een macht verheffen, zoals $(5 \times 10^3)^3$
• Producten schatten door de coëfficiënten af te ronden en vergelijken met de exacte uitkomst
• De massa van een monster berekenen uit het aantal moleculen en de massa van één molecuul

Standaarduitlijning

8.EE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.4)
Bewerkingen uitvoeren met getallen in wetenschappelijke notatie, ook in opgaven waarin gewone notatie en wetenschappelijke notatie samen voorkomen
8.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.1)
De eigenschappen van gehele exponenten kennen en toepassen om gelijkwaardige getalexpressies te maken
8.EE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.3)
Getallen van de vorm één cijfer keer een gehele macht van 10 gebruiken om zeer grote of zeer kleine hoeveelheden te schatten

Lesbronnen

visualVermenigvuldiger voor wetenschappelijke notatie
Interactief hulpmiddel dat coëfficiënten en machten van tien groepeert, de exponenten optelt en de uitkomst stap voor stap normaliseert
visualMachten van tien als factoren
Toont $10^3 \times 10^5$ als drie tienen en vijf tienen om uit te leggen waarom de exponenten opgeteld worden
activityKosmische berekeningen
Leerlingen berekenen een lichtjaar, de afstand tot de zon en andere afstanden in de ruimte uit snelheid en tijd
worksheetNormaliseer het!
Producten als $12 \times 10^8$ en $14 \times 10^{-8}$ om goed te herschrijven

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Om twee getallen in wetenschappelijke notatie te vermenigvuldigen, werk je apart met de twee delen: de coëfficiënten en de machten van tien.

(a \times 10^m) \times (b \times 10^n) = (a \times b) \times 10^{m+n}

De regel heeft drie stappen:

1.Vermenigvuldig de coëfficiënten: $a \times b$
2.Tel de exponenten op (rekenregel $10^m \times 10^n = 10^{m+n}$ )
3.Normaliseer: is $a \times b$ gelijk aan $10$ of groter, schuif dan de komma één plaats naar links en tel $1$ op bij de exponent

Voorbeeld:

(4 \times 10^3)(3 \times 10^5) = 12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9

Omdat beide coëfficiënten tussen

1

10

liggen, ligt hun product altijd tussen

1

100

. Je hoeft de komma dus nooit meer dan één plaats te verschuiven.

Uitgewerkte voorbeelden

Bereken

(2 \times 10^3) \times (4 \times 10^5)

Zet de coëfficiënten en de machten van tien bij elkaar

(2 \times 4) \times (10^3 \times 10^5)

→ Twee aparte producten

Vermenigvuldig de coëfficiënten

2 \times 4 = 8

Tel de exponenten op

10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8

Controleer de coëfficiënt

1 \le 8 < 10

, er hoeft niets te veranderen →

8 \times 10^8

Antwoord: $(2 \times 10^3)(4 \times 10^5) = 8 \times 10^8$

Veelgemaakte fouten

De exponenten vermenigvuldigen: $10^3 \times 10^5 = 10^{15}$

Waarom het fout is: Als je machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigt, tel je de factoren $10$ : drie tienen en vijf tienen zijn acht tienen, geen vijftien.

Correct: Tel de exponenten op: $10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8$ . Exponenten vermenigvuldig je alleen bij een macht van een macht, zoals $(10^3)^2 = 10^6$ .

Stoppen bij $12 \times 10^8$

Waarom het fout is: De waarde klopt, maar $12$ ligt niet tussen $1$ en $10$ , dus de uitkomst staat nog niet in wetenschappelijke notatie.

Correct: Normaliseer: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9$ .

In de verkeerde richting normaliseren: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^7$

Waarom het fout is: Als de coëfficiënt $10$ keer kleiner wordt, moet de macht van tien $10$ keer groter worden, anders verandert de waarde.

Correct: Coëfficiënt kleiner, exponent groter: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9$ .

Het minteken kwijtraken: $10^{-4} \times 10^7 = 10^{-11}$ of $10^{11}$

Waarom het fout is: De exponenten zijn gehele getallen met een teken, en bij het optellen gelden de regels voor gehele getallen.

Correct: $-4 + 7 = 3$ , dus $10^{-4} \times 10^7 = 10^3$ . Schrijf de optelling met haakjes als de tekens gemengd zijn: $(-4) + 7$ .

Waarom het belangrijk is

De wetenschap zit vol vermenigvuldigingen met enorme of piepkleine getallen, en wetenschappelijke notatie maakt er snel hoofdrekenen van:

Sterrenkunde: licht legt elke seconde $3 \times 10^5$ km af. Keer het aantal seconden in een jaar geeft dat de lengte van een lichtjaar
Biologie: een monster bevat $4 \times 10^6$ bacteriën per milliliter. Hoeveel zitten er in een hele kolf?
Informatica: $4 \times 10^4$ foto's van elk $3 \times 10^6$ bytes vullen $1{,}2 \times 10^{11}$ bytes geheugen
Scheikunde: het aantal moleculen keer de massa van één molecuul geeft de massa van een monster

Als je deze getallen voluit schrijft, moet je tientallen nullen tellen, en één vergeten nul maakt de uitkomst tien keer te klein. In wetenschappelijke notatie vermenigvuldig je twee kleine getallen en tel je twee exponenten op.

Toepassingen in de echte wereld

Sterrenkunde: hoe lang is een lichtjaar?

Een lichtjaar is de afstand die licht in één jaar aflegt. Sterrenkundigen berekenen die door de lichtsnelheid met de tijd te vermenigvuldigen, allebei in wetenschappelijke notatie.

Voorbeeld:

In $500 = 5 \times 10^2$ seconden legt licht $(3 \times 10^5)(5 \times 10^2) = 15 \times 10^7 = 1{,}5 \times 10^8$ km af, ongeveer de afstand van de zon tot de aarde.

1Probeer het zelf

Licht legt $3 \times 10^5$ km per seconde af. Een jaar heeft ongeveer $3{,}15 \times 10^7$ seconden.

Hoeveel kilometer legt licht in één jaar af? (afstand = snelheid × tijd)

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vermenigvuldig de snelheid met de tijd:

Biologie: bacteriën tellen

Microbiologen tellen de bacteriën in een klein monster en vermenigvuldigen met het volume om het totaal te schatten. De getallen groeien zo snel dat je ze in de praktijk alleen in wetenschappelijke notatie kunt schrijven.

Voorbeeld:

Een druppel van $5 \times 10^{-2}$ mL uit een kweek met $2 \times 10^6$ bacteriën per mL bevat $(2 \times 10^6)(5 \times 10^{-2}) = 10 \times 10^4 = 1 \times 10^5$ bacteriën.

2Probeer het zelf

Een kweek bevat $4 \times 10^6$ bacteriën per milliliter. De kolf bevat $5 \times 10^2$ mL.

Hoeveel bacteriën zitten er in de hele kolf?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vermenigvuldig het aantal bacteriën per mL met het aantal mL:

Informatica: een geheugenkaart vullen

Bestandsgroottes en opslag meet je in bytes, en de getallen lopen snel op tot miljarden. Ingenieurs vermenigvuldigen de grootte van een bestand met het aantal bestanden om de opslag van een apparaat te plannen.

Voorbeeld:

$2 \times 10^3$ liedjes van elk $4 \times 10^6$ bytes nemen $8 \times 10^9$ bytes in, dat is 8 gigabyte.

3Probeer het zelf

Eén foto neemt ongeveer $3 \times 10^6$ bytes in. Een telefoon bewaart $4 \times 10^4$ foto's.

Hoeveel bytes nemen de foto's in totaal in?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vermenigvuldig de grootte van één foto met het aantal foto's:

Belangrijke punten

1Om in wetenschappelijke notatie te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je de coëfficiënten en de machten van tien apart
2Machten van tien vermenigvuldig je door de exponenten op te tellen: $10^m \times 10^n = 10^{m+n}$
3Is de nieuwe coëfficiënt $10$ of groter, normaliseer dan: komma één plaats naar links, exponent plus $1$
4Tel bij negatieve exponenten de getallen met hun teken zorgvuldig op: $10^{-4} \times 10^7 = 10^3$
5Een macht werkt op beide delen: $(a \times 10^m)^k = a^k \times 10^{m \times k}$
6Controleer je uitkomst: de coëfficiënt moet voldoen aan $1 \le a < 10$

Veelgestelde vragen

Waarom tel je de exponenten op in plaats van ze te vermenigvuldigen?

Een exponent telt hoeveel tienen er vermenigvuldigd worden.

10^3 \times 10^5

is drie tienen keer vijf tienen, dus

3 + 5 = 8

tienen achter elkaar:

10^8

Kan ik de getallen niet gewoon voluit schrijven en vermenigvuldigen?

Jawel, de waarde is dezelfde. Maar bij

3 \times 10^5 \times 3{,}15 \times 10^7

zou je

300.000

met

31.500.000

moeten vermenigvuldigen en veel nullen tellen. In wetenschappelijke notatie reken je alleen

3 \times 3{,}15

5 + 7

Kan het product van de coëfficiënten 100 of meer zijn?

Niet als je twee getallen in wetenschappelijke notatie vermenigvuldigt: beide coëfficiënten zijn kleiner dan

10

, dus het product is kleiner dan

10 \times 10 = 100

. Je verschuift de komma hooguit één plaats. Bij machten of bij drie of meer factoren kan het groter zijn, dus controleer altijd.

Mijn rekenmachine toont 1.2E9. Wat betekent dat?

Rekenmachines schrijven wetenschappelijke notatie met een E:

1{,}2\text{E}9

betekent

1{,}2 \times 10^9

. Het getal na de E is de exponent.

Woordenlijst

Wetenschappelijke notatie: Een getal geschreven als $a \times 10^n$ met $1 \le a < 10$ en $n$ een geheel getal
Coëfficiënt: Het getal $a$ voor de macht van tien, tussen $1$ en $10$
Exponent: Het gehele getal $n$ in $10^n$ ; het geeft aan hoeveel plaatsen de komma verschuift
Rekenregel voor machten: $a^m \times a^n = a^{m+n}$ : bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal tel je de exponenten op
Normaliseren: Een uitkomst als $12 \times 10^8$ zo herschrijven dat de coëfficiënt tussen $1$ en $10$ ligt: $1{,}2 \times 10^9$

Formulekaart

Vermenigvuldigen in wetenschappelijke notatie

(a \times 10^m)(b \times 10^n) = (a \times b) \times 10^{m+n}

Vermenigvuldig de coëfficiënten, tel de exponenten op.

Normaliseren

12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9

Coëfficiënt gedeeld door $10$, exponent plus $1$. De waarde verandert niet.

Macht van een getal in wetenschappelijke notatie

(a \times 10^m)^k = a^k \times 10^{m \times k}

Verhef de coëfficiënt tot de macht, vermenigvuldig de exponent met $k$ en normaliseer daarna.

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Vermenigvuldigen in wetenschappelijke notatie

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Sterrenkunde: hoe lang is een lichtjaar?

Biologie: bacteriën tellen

Informatica: een geheugenkaart vullen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Vermenigvuldigen in wetenschappelijke notatie

Normaliseren

Macht van een getal in wetenschappelijke notatie

Meer over dit onderwerp

Wetenschappelijke notatie

Getallen in wetenschappelijke notatie schrijven

Van wetenschappelijke notatie naar gewone notatie

Getallen in wetenschappelijke notatie vergelijken