Docentenhandleiding: De formule van Euler voor veelvlakken

Leer de formule van Euler H - R + V = 2, tel hoekpunten, ribben en vlakken systematisch en gebruik de formule om een ontbrekend aantal te vinden of een onmogelijk lichaam te ontmaskeren.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over 3D-vormen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De hoekpunten, ribben en vlakken van een veelvlak systematisch tellen
De formule van Euler $H - R + V = 2$ voor convexe veelvlakken formuleren en controleren
Ribben tellen via de zijden van de vlakken: $R$ = (som van de zijden van de vlakken) $\div 2$
Een ontbrekend aantal vinden en beslissen of gegeven aantallen bij een veelvlak kunnen horen
De aantallen voor prisma's en piramides met een $n$ -hoek als grondvlak afleiden en gebruiken, en herkennen wanneer de formule niet geldt

Vereisten

• Vlakken, ribben en hoekpunten van 3D-vormen (les Introductie tot 3D-vormen)
• Prisma's en hun grondvlakken (les Prisma's)
• Namen van veelhoeken naar het aantal zijden (driehoek, vijfhoek, zeshoek, ...)
• Eenvoudige lineaire vergelijkingen oplossen, zoals $3n = 36$

Discussiestarters

1. Tel de hoekpunten, ribben en vlakken van een kubus. Lijken de drie getallen met elkaar samen te hangen? Welke berekening zou je ermee kunnen maken om een mooie uitkomst te krijgen?
2. Waarom is het makkelijker om ribben te tellen door eerst de zijden van elk vlak te tellen? Waar zit de valkuil?
3. Als je een hoek van een kubus afsnijdt, hoe veranderen H, R en V? Verandert H - R + V?
4. Een vriendin zegt dat een veelvlak 10 hoekpunten, 16 ribben en 7 vlakken heeft. Hoe laat je haar zien dat dat onmogelijk is zonder het te bouwen?

Veelvoorkomende misvattingen

De formule is toeval en werkt alleen voor de kubus en andere bekende lichamen

Herstel: Laat leerlingen zelf veelvlakken bedenken (hoeken afsnijden, twee lichamen aan elkaar plakken) en de formule elke keer controleren. Een hoek afsnijden verhoogt H en V samen bijvoorbeeld evenveel als R.

De som van de zijden van de vlakken is het aantal ribben

Herstel: Laat leerlingen elke ribbe van een kartonnen kubus inkleuren terwijl ze de twee vlakken aanraken waar die bij hoort. Elke ribbe wordt twee keer aangeraakt, een keer vanuit elk vlak.

Elk lichaam voldoet aan H - R + V = 2, ook cilinders en ringen

Herstel: Laat een model van een fotolijst zien en tel samen met de klas: 16 - 32 + 16 = 0. Bespreek dat gebogen oppervlakken geen veelhoeken zijn en dat gaten de uitkomst veranderen.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin met echte modellen van een kubus, een driehoekig prisma en een vierkante piramide en markeer de hoekpunten met stickers
• Gebruik een teltabel met aparte rijen voor boven, onder en zijkanten
• Oefen eerst alleen met invullen in $H - R + V$ voordat een ontbrekend aantal gezocht wordt

Voor leerlingen op niveau:

• Ontbrekende aantallen vinden met de formule van Euler en de zijden van de vlakken
• Een tabel van prisma's en piramides voor $n = 3$ tot $8$ invullen en de patronen ontdekken
• Beslissen of beschreven lichamen kunnen bestaan

Voor gevorderde leerlingen:

• Algebraïsch laten zien dat $H - R + V = 2$ voor elk prisma en elke piramide
• Bewijzen dat geen enkel veelvlak precies $7$ ribben heeft (gebruik $2R \geq 3V$ en $2R \geq 3H$ )
• Lichamen met $2$ gaten onderzoeken en de waarde van $H - R + V$ voorspellen

Standaarduitlijning

HSG.MG.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.MG.A.1)
Meetkundige vormen, hun maten en eigenschappen gebruiken om voorwerpen te beschrijven
MP7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)
Structuur zoeken en benutten
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Sluitende argumenten opbouwen en de redeneringen van anderen beoordelen

Lesbronnen

visualEuler-tabel
Leerlingen tellen H, R en V voor prisma's, piramides en een octaëder en zien dat H - R + V elke keer 2 is
activityVeelvlakken van rietjes en klei
Groepjes bouwen veelvlakken van rietjes (ribben) en kleibolletjes (hoekpunten), tellen alles en testen de formule
worksheetOntbrekende aantallen en onmogelijke lichamen
Het ontbrekende aantal vinden, beslissen welke lichamen niet kunnen bestaan en tabellen voor prisma's en piramides invullen

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een veelvlak is een ruimtelijk lichaam waarvan het oppervlak alleen uit platte veelhoeken bestaat. Elk veelvlak heeft drie aantallen:

$H$ = aantal hoekpunten
$R$ = aantal ribben (lijnstukken waar twee vlakken samenkomen)
$V$ = aantal vlakken (de platte veelhoeken, ook wel zijvlakken genoemd)

De formule van Euler (veelvlakkenformule) zegt dat voor elk convex veelvlak geldt:

H - R + V = 2

Bij een kubus:

H = 8

R = 12

V = 6

, en

8 - 12 + 6 = 2

Ribben systematisch tellen: elke ribbe hoort bij precies twee vlakken. Als je de zijden van alle vlakken optelt, tel je dus elke ribbe twee keer:

R = \frac{\text{som van de zijden van alle vlakken}}{2}

Prisma's en piramides met een grondvlak met

n

zijden volgen eenvoudige patronen:

Prisma: $H = 2n$ , $R = 3n$ , $V = n + 2$
Piramide: $H = n + 1$ , $R = 2n$ , $V = n + 1$

De formule geldt alleen voor lichamen zonder gat. Een lichaam in de vorm van een fotolijst (een lichaam met een gat erdoorheen) geeft

H - R + V = 0

in plaats van

2

Uitgewerkte voorbeelden

Tel de hoekpunten, ribben en vlakken van een zeshoekig prisma en controleer de formule van Euler.

Tel de hoekpunten laag voor laag

De bovenste zeshoek heeft

6

hoekpunten en de onderste ook

6

→

H = 6 + 6 = 12

Tel de ribben in groepen

6

ribben boven,

6

onder en

6

verticale ribben ertussen →

R = 6 + 6 + 6 = 18

Tel de vlakken

2

zeshoekige grondvlakken en

6

rechthoekige zijvlakken →

V = 2 + 6 = 8

Controleer de formule van Euler

H - R + V = 12 - 18 + 8

→

2

Antwoord: $H = 12$ , $R = 18$ , $V = 8$ en $12 - 18 + 8 = 2$ , dus de formule van Euler klopt.

Veelgemaakte fouten

De zijden van alle vlakken optellen en dat totaal als aantal ribben nemen

Waarom het fout is: Elke ribbe is de lijn waar twee vlakken samenkomen, dus ze wordt bij elk van die twee vlakken een keer meegeteld.

Correct: Deel het totale aantal zijden van de vlakken door 2. Een kubus heeft $6 \times 4 = 24$ zijden van vlakken, maar slechts $24 \div 2 = 12$ ribben.

De tekens verwisselen, bijvoorbeeld $H + R - V = 2$ schrijven

Waarom het fout is: De ribben worden afgetrokken. Met verkeerde tekens geeft een kubus $8 + 12 - 6 = 14$ .

Correct: Hoekpunten en vlakken tel je op, ribben trek je af: $H - R + V = 2$ . Controleer het met een kubus: $8 - 12 + 6 = 2$ .

De formule gebruiken voor cilinders, kegels, bollen of lichamen met een gat

Waarom het fout is: Gebogen oppervlakken zijn geen veelhoeken, en een gat verandert de uitkomst (een fotolijst geeft $0$ ).

Correct: Gebruik $H - R + V = 2$ alleen voor veelvlakken zonder gat: platte veelhoekige vlakken, rechte ribben, een gesloten oppervlak.

Denken dat drie willekeurige getallen met $H - R + V = 2$ een echt veelvlak beschrijven

Waarom het fout is: Elk veelvlak doorstaat deze test, maar slagen alleen is niet genoeg. Zo geeft ook $H = 4{,}5$ , $R = 7{,}5$ , $V = 5$ de uitkomst $2$ .

Correct: Controleer ook of de aantallen gehele getallen zijn en of de zijden van de vlakken samen een even getal ( $2R$ ) geven. Vijf driehoeken hebben $15$ zijden, een oneven getal, dus geen enkel veelvlak bestaat uit precies vijf driehoeken (een veelvlak heeft altijd een even aantal vlakken met een oneven aantal zijden).

Waarom het belangrijk is

De formule van Euler verbindt drie getallen die niets met elkaar te maken lijken te hebben, en ze werkt voor elk convex veelvlak, hoe groot of hoe vreemd gevormd ook.

Je telling controleren: als je $H$ , $R$ en $V$ telt en geen $2$ krijgt, heb je je vergist (of het lichaam heeft een gat)
Een ontbrekend aantal vinden: met twee van de aantallen vind je het derde zonder te tellen
Ontwerpen testen: ingenieurs en 3D-ontwerpers gebruiken haar om te controleren of een gesloten mesh geen kieren of gaten heeft
Sport en wetenschap: de vlakken van een klassieke voetbal, de vormen van kristallen en de constructies van geodetische koepels voldoen er allemaal aan

Het is ook je eerste stap in de topologie, het deel van de wiskunde dat onderzoekt wat hetzelfde blijft als je een figuur uitrekt of vervormt.

Toepassingen in de echte wereld

Een voetbal ontwerpen

De klassieke voetbal is genaaid uit $12$ vijfhoeken en $20$ zeshoeken. Met de zijden van de vlakken en de formule van Euler weten ontwerpers hoeveel naden en naadpunten er zijn voordat ze materiaal knippen.

Voorbeeld:

Elke naad verbindt twee lapjes, dus het aantal naden is de helft van het aantal zijden van de lapjes.

1Probeer het zelf

Een voetbal heeft $12$ vijfhoekige en $20$ zeshoekige lapjes. De naden zijn de ribben, de punten waar drie naden samenkomen zijn de hoekpunten.

Hoeveel hoekpunten heeft de bal?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $H = 2 + R - V$ met het aantal naden $R$ en lapjes $V$ :

3D-modellen in games en animatie

Personages en voorwerpen in videogames bestaan uit gesloten meshes van driehoeken. Software controleert de formule van Euler om meshes met kieren, dubbele hoekpunten of per ongeluk ontstane gaten op te sporen voordat ze beeldfouten geven.

Voorbeeld:

Een gesloten mesh van $4$ driehoeken (een viervlak) heeft $6$ ribben en $4$ hoekpunten: $4 - 6 + 4 = 2$ .

2Probeer het zelf

Een 3D-artiest bouwt een gesloten model zonder gaten uit $500$ driehoeken.

Hoeveel hoekpunten moet het model hebben?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vind $R$ via de zijden van de driehoeken, daarna $H = 2 + R - V$ :

Kristallen in mineralen

Veel kristallen groeien als veelvlak. Een kwartskristal dat vastzit aan een steen heeft de vorm van een zeshoekig prisma met een zeshoekige piramide aan het vrije uiteinde, en mineralogen beschrijven kristalvormen met zulke tellingen.

Voorbeeld:

Een kwartspunt heeft $6$ rechthoekige zijvlakken, $6$ driehoekige vlakken aan de punt en $1$ zeshoekig vlak waarmee hij op de steen zit.

3Probeer het zelf

Een kwartskristal is een zeshoekig prisma met een zeshoekige piramide erop. Het heeft $13$ vlakken en $24$ ribben.

Hoeveel hoekpunten heeft het kristal?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Los $H - R + V = 2$ op naar $H$ :

Belangrijke punten

1Een veelvlak is een lichaam met platte veelhoekige vlakken; tel de hoekpunten $H$ , ribben $R$ en vlakken $V$
2Formule van Euler: $H - R + V = 2$ voor elk convex veelvlak (en elk veelvlak zonder gat)
3Tel systematisch in groepen (boven, onder, zijkanten) en controleer je telling met de formule
4Elke ribbe hoort bij twee vlakken, dus $R$ = (som van de zijden van alle vlakken) $\div 2$
5Prisma met een $n$ -hoek als grondvlak: $H = 2n$ , $R = 3n$ , $V = n + 2$ ; piramide: $H = n + 1$ , $R = 2n$ , $V = n + 1$
6Aantallen die geen $2$ geven, horen niet bij een convex veelvlak; een lichaam met een gat geeft $H - R + V = 0$

Veelgestelde vragen

Werkt de formule van Euler ook voor veelvlakken die niet convex zijn?

Ja, zolang het lichaam geen gat heeft (je zou het als een ballon tot een bol kunnen opblazen). Een L-vormig blok geeft bijvoorbeeld nog steeds

H - R + V = 2

. Lichamen met een gat, zoals een fotolijst, geven een andere waarde.

Waarom komt er altijd 2 uit?

Stel je voor dat je een vlak weghaalt en de rest plat op een tafel drukt. De vlakken in driehoeken verdelen en dan buitenste driehoeken een voor een weghalen verandert

H - R + V

nooit, en aan het eind blijft er een driehoek over (

3 - 3 + 1 = 1

). Met het weggehaalde vlak erbij krijg je

1 + 1 = 2

. Het getal

2

hoort bij de bolvorm van het oppervlak, niet bij het ene lichaam.

Werkt de formule voor een cilinder of een kegel?

Nee. Die hebben gebogen oppervlakken, dus het zijn geen veelvlakken, en hun vlakken en ribben worden niet op dezelfde manier geteld. De formule van Euler gaat over lichamen die alleen uit platte veelhoeken bestaan.

Wie heeft de formule ontdekt?

Leonhard Euler beschreef haar in 1750 in een brief en publiceerde haar in de jaren daarna. René Descartes had rond 1630 al een sterk verwant resultaat genoteerd, maar zijn aantekeningen werden pas veel later gevonden.

Woordenlijst

Veelvlak: Een ruimtelijk lichaam waarvan het oppervlak alleen uit platte veelhoeken bestaat
Vlak (zijvlak): Een van de platte veelhoeken die samen het oppervlak van een veelvlak vormen
Ribbe: Een lijnstuk waar twee vlakken van een veelvlak samenkomen
Hoekpunt: Een punt waar ribben samenkomen (een hoek van het lichaam)
Convex veelvlak: Een veelvlak zonder deuken: het lijnstuk tussen twee willekeurige punten ervan ligt er helemaal binnen
Formule van Euler: De regel $H - R + V = 2$ voor elk convex veelvlak

Formulekaart

Formule van Euler

H - R + V = 2

$H$ = hoekpunten, $R$ = ribben, $V$ = vlakken van een convex veelvlak

Ribben via de vlakken

R = \frac{\text{som van de zijden van de vlakken}}{2}

Elke ribbe hoort bij precies twee vlakken

Prisma met een n-hoek als grondvlak

H = 2n,\; R = 3n,\; V = n + 2

$n$ = aantal zijden van het grondvlak

Piramide met een n-hoek als grondvlak

H = n + 1,\; R = 2n,\; V = n + 1

$n$ = aantal zijden van het grondvlak

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: De formule van Euler voor veelvlakken

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Een voetbal ontwerpen

3D-modellen in games en animatie

Kristallen in mineralen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Formule van Euler

Ribben via de vlakken

Prisma met een n-hoek als grondvlak

Piramide met een n-hoek als grondvlak

Meer over dit onderwerp

Introductie tot 3D-vormen

Prisma's

Regelmatige veelvlakken (platonische lichamen)