ZHZ-congruentie

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke hoek wordt in $\triangle ABC$ ingesloten door de zijden $AB$ en $BC$ ?
1. a)Geen van drieën
2. b) $\angle A$
3. c) $\angle C$
4. d) $\angle B$
Antwoord: $\angle B$
$AB$ en $BC$ komen samen in $B$ , dus de ingesloten hoek is $\angle B$ .
2.
Welke gegevens bewijzen $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ volgens ZHZ?
1. a) $AB = DE$ , $BC = EF$ , $CA = FD$
2. b) $AB = DE$ , $\angle B = \angle E$ , $BC = EF$
3. c) $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle E$ , $AB = DE$
4. d) $AB = DE$ , $BC = EF$ , $\angle A = \angle D$
Antwoord: $AB = DE$ , $\angle B = \angle E$ , $BC = EF$
$AB$ en $BC$ komen samen in $B$ , $DE$ en $EF$ in $E$ , dus $\angle B = \angle E$ is de ingesloten hoek. De tweede keuze is ZZH, de derde HZH en de vierde ZZZ.
3.
Voor $\triangle ABC$ en $\triangle DEF$ geldt $AB = DE = 5$ cm, $\angle B = \angle E = 90°$ en $BC = EF = 12$ cm. In $\triangle ABC$ is $AC = 13$ cm. Hoe lang is $DF$ , in cm?
Antwoord: 13
De rechte hoeken liggen tussen de gelijke zijden, dus $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ volgens ZHZ. $DF$ hoort bij $AC$ , dus $DF = 13$ cm.
4.
De lijnstukken $AE$ en $BD$ snijden elkaar in $C$ . $\angle ACB = 48°$ . Hoe groot is $\angle DCE$ , in graden?
Antwoord: 48
$\angle ACB$ en $\angle DCE$ zijn overstaande hoeken, dus gelijk: $\angle DCE = 48°$ . Dit is de verborgen hoek die ZHZ-bewijzen met snijdende lijnstukken gebruiken.
5.
Twee driehoeken hebben twee paren gelijke zijden en één paar gelijke hoeken, maar de hoek ligt niet tussen de gelijke zijden. Wat kun je concluderen?
1. a)Congruent volgens HZH
2. b)Niets zeker: dit is ZZH
3. c)Congruent volgens ZHZ
4. d)Congruent volgens ZZZ
Antwoord: Niets zeker: dit is ZZH
Dit is ZZH, geen congruentiekenmerk: dezelfde gegevens kunnen twee verschillende driehoeken geven. Niets is zeker.
6.
In $\triangle PQR$ en $\triangle XYZ$ geldt: $PQ = XY$ , $\angle Q = \angle Y$ en $\angle R = \angle Z$ . Welk kenmerk bewijst $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ ?
1. a)ZZZ
2. b)HZH
3. c)HHZ
4. d)ZHZ
Antwoord: HHZ
De zijde tussen $\angle Q$ en $\angle R$ zou $QR$ zijn, maar de bekende zijde is $PQ$ . Twee hoeken en een niet-ingesloten zijde: HHZ.
7.
In $\triangle ABC$ en $\triangle DEF$ geldt: $AB = DE$ , $AC = DF$ en $\angle A = \angle D$ . Welke uitspraak is juist?
1. a) $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ volgens ZHZ
2. b) $\triangle ABC \cong \triangle EDF$ volgens ZHZ
3. c) $\triangle ABC \cong \triangle DFE$ volgens ZHZ
4. d)Te weinig gegevens: dit is ZZH
Antwoord: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ volgens ZHZ
$AB$ en $AC$ komen samen in $A$ , dus $\angle A$ is ingesloten: dit is ZHZ, geen ZZH. Met $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ (uit $AB = DE$ ) en $C \leftrightarrow F$ volgt $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .
8.
In vierhoek $ABCD$ geldt $AB = CB$ en $\angle ABD = \angle CBD$ . Als $\angle BAD = 95°$ , hoe groot is $\angle BCD$ dan, in graden?
Antwoord: 95
$AB = CB$ , $\angle ABD = \angle CBD$ en de gemeenschappelijke zijde $BD$ geven $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ volgens ZHZ. $\angle BCD$ hoort bij $\angle BAD$ , dus is hij $95°$ .
9.
De lijnstukken $AE$ en $BD$ snijden elkaar in $C$ , het midden van beide. $AB = 3x + 1$ en $ED = 2x + 6$ (in cm). Bepaal $x$ .
Antwoord: 5
$AC = CE$ , $BC = CD$ en de overstaande hoeken bij $C$ geven $\triangle ACB \cong \triangle ECD$ volgens ZHZ, dus $AB = ED$ : $3x + 1 = 2x + 6$ , dus $x = 5$ (beide zijden zijn dan 16 cm).
10.
Hoeveel verschillende driehoeken $ABC$ hebben $\angle A = 30°$ , $AB = 12$ en $BC = 8$ ?
Antwoord: 2
De hoogte is $12 : 2 = 6$ . Omdat $6 < 8 < 12$ raakt zijde $BC$ de lijn $AC$ in twee punten: 2 driehoeken. Daarom is ZZH geen kenmerk.
11.
$\triangle ABC$ : $AB = BC = 7$ cm en $\angle B = 40°$ . $\triangle DEF$ : $DE = EF = 7$ cm en $\angle E = 40°$ . Bepaal $\angle D$ .
Antwoord: 70
1. In welk hoekpunt ligt de hoek tussen de zijden AB en BC? B
2. Welk kenmerk bewijst dat de driehoeken congruent zijn? ZHZ
3. Omdat AB = BC zijn de hoeken bij A en C gelijk. Hoe groot is ∠A, in graden? 70
4. ∠D hoort bij ∠A. Hoe groot is ∠D, in graden? 70
12.
De lijnstukken $AE$ en $BD$ snijden elkaar in $C$ , met $AC = CE = 6$ cm en $BC = CD = 4$ cm. Als $AB = 8$ cm, hoe lang is $DE$ dan?
Antwoord: 8
1. Zijn ∠ACB en ∠ECD gelijk? ja
2. Welk kenmerk bewijst △ACB ≅ △ECD? ZHZ
3. Hoe lang is DE, in cm? 8
13.
In vierhoek $ABCD$ geldt: $AB = AD$ , $\angle BAC = \angle DAC = 32°$ en $\angle ABC = 118°$ . Bepaal $\angle BCD$ .
Antwoord: 60
1. Welke zijde delen △ABC en △ADC? AC
2. Hoe groot is ∠ACB, in graden? 30
3. △ABC ≅ △ADC volgens ZHZ. Hoe groot is ∠ACD, in graden? 30
4. Hoe groot is ∠BCD, in graden? 60
14.
Voor $\triangle ABC$ en $\triangle DEF$ geldt $AB = DE = 6$ cm, $\angle B = \angle E = 90°$ en $BC = EF = 8$ cm. Bepaal de omtrek van $\triangle DEF$ .
Antwoord: 24
1. Welk kenmerk bewijst △ABC ≅ △DEF? ZHZ
2. Hoe lang is AC, in cm? 10
3. Hoe lang is DF, in cm? 10
4. Hoe groot is de omtrek van △DEF, in cm? 24
15.
Voor $\triangle PQR$ en $\triangle STU$ geldt $PQ = ST = 10$ en $\angle Q = \angle T = 55°$ . Verder is $QR = 2y + 3$ en $TU = 15$ . Voor welke $y$ zijn de driehoeken congruent volgens ZHZ?
Antwoord: 6
1. Welke zijde van △PQR moet gelijk zijn aan TU? QR
2. Hoe groot moet QR zijn? 15
3. Los 2y + 3 = 15 op. Wat is y? 6
16.
Twee verschillende driehoeken hebben $\angle A = 30°$ , $AB = 8$ en $BC = 5$ . Hoeveel langer is $AC$ in de grotere driehoek dan in de kleinere?
Antwoord: 6
1. Hoe groot is de hoogte van B boven de lijn AC? 4
2. Hoeveel verschillende driehoeken zijn mogelijk? 2
3. Hoe ver ligt elk mogelijk punt C van het voetpunt van de hoogte? 3
4. Hoeveel langer is de grotere AC dan de kleinere? 6
17.
De diagonalen $AC$ en $BD$ van vierhoek $ABCD$ snijden elkaar in $M$ , het midden van beide. $AM = 4{,}5$ cm, $AB = 8$ cm en $BC = 5$ cm. Bepaal de omtrek van $ABCD$ .
Antwoord: 26
1. Hoe lang is CM, in cm? 4.5
2. Welk kenmerk bewijst △AMB ≅ △CMD? ZHZ
3. Hoe lang is CD, in cm? 8
4. Op dezelfde manier △BMC ≅ △DMA. Hoe lang is AD, in cm? 5
5. Hoe groot is de omtrek van ABCD, in cm? 26
18.
Hieronder staan vier paren driehoeken. Beslis voor elk paar of de driehoeken zeker congruent zijn en tel daarna hoeveel paren dat zijn.
Antwoord: 2
1. Paar 1: twee zijden en de hoek ertussen zijn gelijk. Zeker congruent? ja
2. Paar 2: twee zijden en een hoek die er niet tussen ligt zijn gelijk. Zeker congruent? nee
3. Paar 3: alle drie de hoeken zijn gelijk. Zeker congruent? nee
4. Paar 4: twee hoeken en een zijde die er niet tussen ligt zijn gelijk. Zeker congruent? ja
5. Hoeveel van de vier paren zijn zeker congruent? 2