Terug naar les

Docentenhandleiding: ZHZ-congruentie

Bewijs dat driehoeken congruent zijn met twee zijden en de ingesloten hoek, vind verborgen gelijke delen en ontdek waarom ZZH niet genoeg is.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Congruentie & Gelijkvormigheid. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen
  • Het ZHZ-kenmerk formuleren en de ingesloten hoek van twee zijden aanwijzen
  • Met een tegenvoorbeeld uitleggen waarom ZZH geen congruentie bewijst
  • Verborgen gelijke delen in figuren vinden: overstaande hoeken, gemeenschappelijke zijden, middens en bissectrices
  • Na ZHZ met overeenkomstige delen onbekende zijden en hoeken bepalen
  • Uit de gegevens het juiste kenmerk kiezen (ZZZ, ZHZ, HZH, HHZ)
Vereisten
  • • Introductie tot congruentie: wat congruente figuren zijn en het teken voor congruentie
  • • Congruente driehoeken: overeenkomstige delen en congruentie-uitspraken
  • • HZH- en HHZ-congruentie: ingesloten en niet-ingesloten delen
  • • Hoekensom van een driehoek en overstaande hoeken
Discussiestarters
  • 1. Als je twee zijden van een driehoek kent, wat moet je dan nog weten om precies één driehoek te tekenen?
  • 2. Waarom maakt het uit of de hoek tussen de twee zijden ligt of niet?
  • 3. Kun je overstaande hoeken of gemeenschappelijke zijden om je heen vinden, bijvoorbeeld in een schaar of een raamkozijn?
  • 4. Hoe zou je de breedte van een rivier kunnen meten zonder over te steken?
Veelvoorkomende misvattingen

Twee willekeurige zijden en een willekeurige hoek bewijzen congruentie

Herstel: Construeer het ZZH-geval met een passer: teken een hoek van 30°30°, zet AB=10AB = 10 uit en trek vanuit BB een cirkel met straal 66. Leerlingen zien dat de cirkel het andere been twee keer snijdt en krijgen twee driehoeken.

ZHZ en ZZH zijn hetzelfde, alleen in een andere volgorde

Herstel: Benadruk dat de letters posities beschrijven, geen losse lijst. Bij ZHZ staat de H tussen de twee Z, bij ZZH niet. Laat leerlingen de twee zijden kleuren en controleren of de hoek ligt waar ze samenkomen.

Alleen delen met gegeven getallen tellen mee

Herstel: Laat figuren zien met snijdende lijnstukken en gemeenschappelijke zijden. Vraag leerlingen elk gelijk paar te markeren voordat ze een kenmerk noemen, ook de paren die niemand heeft opgeschreven.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

  • • Geef een controlelijst: zoek de twee zijden, zoek hun gemeenschappelijke punt, ligt de hoek in dat punt?
  • • Markeer elk paar overeenkomstige delen met een eigen kleur
  • • Begin met driehoeken in dezelfde stand voordat gedraaide of gespiegelde driehoeken volgen

Voor leerlingen op niveau:

  • • Meng gevallen met ZZZ, ZHZ, HZH, HHZ en ZZH en laat leerlingen ze sorteren
  • • Schrijf korte bewijzen die overstaande hoeken of een gemeenschappelijke zijde gebruiken
  • • Gebruik na ZHZ de overeenkomstige delen om ontbrekende zijden en hoeken te vinden

Voor gevorderde leerlingen:

  • • Onderzoek wanneer ZZH nul, één of twee driehoeken geeft door de overstaande zijde met de hoogte te vergelijken
  • • Bewijs met ZHZ en de bissectrice dat de basishoeken van een gelijkbenige driehoek gelijk zijn
  • • Laat met ZHZ zien dat een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar middendoor delen gelijke overstaande zijden heeft
Standaarduitlijning
  • HSG-CO.B.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.B.7)

    De definitie van congruentie via starre bewegingen gebruiken om te laten zien dat twee driehoeken congruent zijn dan en slechts dan als overeenkomstige zijden en hoeken gelijk zijn

  • HSG-CO.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.B.8)

    Uitleggen hoe de congruentiekenmerken van driehoeken (HZH, ZHZ en ZZZ) volgen uit de definitie van congruentie via starre bewegingen

  • HSG-SRT.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.B.5)

    Congruentie- en gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken gebruiken om problemen op te lossen en verbanden in meetkundige figuren te bewijzen

Lesbronnen
  • visualZHZ-driehoekspaar

    Twee driehoeken met de gelijke zijden en de ingesloten hoek gemarkeerd; de tweede is gedraaid en gespiegeld

  • activityRietjes met scharnier

    Leerlingen plakken twee rietjes onder een vaste hoek vast en vergelijken de derde zijde, daarna proberen ze ZZH met een draaiend rietje

  • worksheetSpeurtocht naar verborgen delen

    Figuren met overstaande hoeken en gemeenschappelijke zijden; leerlingen markeren elk gelijk paar en noemen het kenmerk

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Het ZHZ-kenmerk (zijde-hoek-zijde) zegt: als twee zijden van een driehoek en de hoek tussen die zijden gelijk zijn aan twee zijden van een andere driehoek en de hoek daartussen, dan zijn de twee driehoeken congruent.
AB‾≅DE‾,∠B≅∠E,BC‾≅EF‾⟹△ABC≅△DEF\overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \angle B \cong \angle E, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF} \quad \Longrightarrow \quad \triangle ABC \cong \triangle DEF
De hoek moet de ingesloten hoek zijn: de hoek die de twee gegeven zijden vormen. Het hoekpunt is het punt dat beide zijden gemeen hebben. Voor de zijden ABAB en BCBC is dat punt BB, dus de ingesloten hoek is ∠B\angle B.
Waarom het werkt: stel je twee latjes voor die met een scharnier verbonden zijn. Zodra de lengtes van de latjes en de opening van het scharnier vastliggen, ligt ook de afstand tussen de losse uiteinden vast. De derde zijde kan maar één lengte hebben, dus er is maar één mogelijke driehoek.
Let op: twee zijden en een hoek die niet tussen die zijden ligt (ZZH) bewijzen geen congruentie. De zijde tegenover de hoek kan soms naar twee verschillende posities draaien, en dan ontstaan twee verschillende driehoeken.

Uitgewerkte voorbeelden

In △ABC\triangle ABC: AB=6AB = 6 cm, ∠B=50°\angle B = 50°, BC=8BC = 8 cm. In △DEF\triangle DEF: DE=6DE = 6 cm, ∠E=50°\angle E = 50°, EF=8EF = 8 cm. Zijn de driehoeken congruent? Als AC≈6,2AC \approx 6{,}2 cm, hoe lang is DFDF dan?
1

Zet de gelijke delen op een rij

AB=DE=6AB = DE = 6 cm, BC=EF=8BC = EF = 8 cm, ∠B=∠E=50°\angle B = \angle E = 50° → Twee paren zijden en één paar hoeken
2

Controleer of de hoek ingesloten is

De zijden ABAB en BCBC komen samen in BB; de zijden DEDE en EFEF komen samen in EE → ∠B\angle B en ∠E\angle E zijn de ingesloten hoeken
3

Pas ZHZ toe

Twee zijden en de ingesloten hoek zijn gelijk → △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF
4

Gebruik de overeenkomstige delen

ACAC hoort bij DFDF (eerste en derde letter) → DF=AC≈6,2DF = AC \approx 6{,}2 cm

Veelgemaakte fouten

ZHZ gebruiken terwijl de hoek niet tussen de twee zijden ligt

Waarom het fout is: Twee zijden en een niet-ingesloten hoek (ZZH) kunnen twee verschillende driehoeken beschrijven, zoals het voorbeeld met 30°30°, 1010 en 66 laat zien.

Correct: Zoek het punt dat beide zijden gemeen hebben. Alleen de hoek in dat hoekpunt mag je voor ZHZ gebruiken.

De hoekpunten in de verkeerde volgorde koppelen

Waarom het fout is: Wie △ABC≅△FED\triangle ABC \cong \triangle FED schrijft terwijl BB bij EE en AA bij DD hoort, koppelt de verkeerde delen en komt tot foute conclusies.

Correct: Schrijf de hoekpunten in de volgorde van de koppeling. Als A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F, schrijf dan △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF.

Denken dat er gegevens ontbreken omdat een deel niet in de opgave staat

Waarom het fout is: Overstaande hoeken en gemeenschappelijke zijden zijn gelijk, ook als niemand dat zegt. Leerlingen zien ze over het hoofd en geven een bewijs op dat wel werkt.

Correct: Zoek voordat je beslist naar lijnstukken die elkaar snijden (overstaande hoeken) en naar een zijde die bij beide driehoeken hoort (gemeenschappelijke zijde).

Overeenkomstige delen gebruiken voordat de congruentie bewezen is

Waarom het fout is: Overeenkomstige delen zijn alleen gelijk omdat de driehoeken congruent zijn. Zonder dat bewijs neem je aan wat je wilt bewijzen.

Correct: Bewijs eerst △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF (bijvoorbeeld met ZHZ) en leid daarna de andere gelijke delen af.

Waarom het belangrijk is

ZHZ is een van de meest gebruikte hulpmiddelen in meetkundige bewijzen, omdat de nodige gegevens vaak gratis meekomen:
  • Overstaande hoeken: als twee lijnstukken elkaar snijden, zijn de tegenover elkaar liggende hoeken gelijk, dus de hoek heb je al
  • Gemeenschappelijke zijden: als twee driehoeken een zijde delen, is die zijde gelijk aan zichzelf
  • Middens en bissectrices: een midden geeft twee gelijke lijnstukken, een bissectrice geeft twee gelijke hoeken
Zodra ZHZ bewijst dat twee driehoeken congruent zijn, zijn ook alle andere overeenkomstige delen gelijk. Zo meten landmeters de breedte van een vijver waar ze niet doorheen kunnen lopen, en zo weten timmerlieden dat twee scharnierende schragen met dezelfde openingshoek identiek zijn.

Toepassingen in de echte wereld

Opvouwbare schragen

Schragen, trapladders en schildersezels bestaan uit twee poten die met een scharnier verbonden zijn. De lengte van de poten en de openingshoek bepalen de hele vorm.

Voorbeeld:

Twee ezels hebben elk poten van 150 cm die bij het scharnier 25°25° open staan. Volgens ZHZ zijn de driehoeken die ze vormen congruent, dus hun voeten staan even ver uit elkaar.

1Probeer het zelf

Een timmerman bouwt twee schragen. Elke schraag heeft twee poten van 90 cm, en beide zijn zo vastgezet dat de hoek bij het scharnier 30°30° is.

Welk congruentiekenmerk garandeert dat de twee schragen identiek zijn?

Stap 1: Kies het juiste antwoord

Kies het kenmerk:

Over een vijver meten

Landmeters gebruiken ZHZ om een afstand te vinden die ze niet kunnen aflopen, door een congruente kopie van de driehoek op het droge te maken.

Voorbeeld:

Om ABAB over een vijver te meten, kies je een punt CC op het land. Verleng ACAC voorbij CC tot DD met CD=ACCD = AC, en BCBC voorbij CC tot EE met CE=BCCE = BC. De hoeken bij CC zijn overstaande hoeken, dus △ACB≅△DCE\triangle ACB \cong \triangle DCE volgens ZHZ en DE=ABDE = AB.

2Probeer het zelf

Een landmeter meet vanaf punt CC de afstanden AC=30AC = 30 m en BC=24BC = 24 m. Ze zet DD en EE uit zoals beschreven en meet daarna DE=42DE = 42 m.

Hoe breed is de vijver van AA tot BB, in meter?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vul de lengte van ABAB in meter in:

Wijzers van een klok

De twee wijzers van een klok zijn twee zijden met een vaste lengte, en de tijd bepaalt de hoek ertussen.

Voorbeeld:

Om 2:00 uur en om 10:00 uur is de hoek tussen de wijzers allebei de keren 60°60°, dus volgens ZHZ liggen de punten op beide tijden even ver uit elkaar.

3Probeer het zelf

Een klok heeft een kleine wijzer van 3 cm en een grote wijzer van 4 cm. Om 3:00 uur vormen de wijzers een rechte hoek en liggen hun punten 5 cm uit elkaar.

Hoe ver, in cm, liggen de punten om 9:00 uur uit elkaar?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vul de afstand in cm in:

Belangrijke punten

  • 1ZHZ: als twee zijden en de ingesloten hoek van een driehoek gelijk zijn aan die van een andere driehoek, zijn de driehoeken congruent
  • 2De ingesloten hoek ligt in het hoekpunt dat beide zijden gemeen hebben: voor ABAB en BCBC is dat ∠B\angle B
  • 3ZZH is geen kenmerk: twee zijden en een niet-ingesloten hoek kunnen twee verschillende driehoeken opleveren
  • 4Let op verborgen gelijke delen: overstaande hoeken waar lijnstukken elkaar snijden, een gemeenschappelijke zijde, middens en bissectrices
  • 5Gebruik na het bewijs van congruentie de overeenkomstige delen om de andere zijden en hoeken te vinden
  • 6Kenmerken die werken: ZZZ, ZHZ, HZH, HHZ. Patronen die niet werken: ZZH en HHH

Veelgestelde vragen

Waarom is ZZH geen congruentiekenmerk?

Omdat de zijde tegenover de gegeven hoek als een passer kan draaien en de derde zijde in twee punten kan snijden. Met ∠A=30°\angle A = 30°, AB=10AB = 10 en BC=6BC = 6 krijg je twee driehoeken, één met AC≈5,34AC \approx 5{,}34 en één met AC≈11,98AC \approx 11{,}98.

Werkt ZZH soms toch?

Ja, in één bijzonder geval: als de gegeven hoek tegenover de langere van de twee gegeven zijden ligt, is er maar één driehoek mogelijk. Het bekendste voorbeeld is een rechte hoek tegenover de schuine zijde (het kenmerk ZZR). In het algemeen gebruik je ZZH niet.

Is ZHZ een axioma of een stelling?

Veel schoolboeken nemen ZHZ aan als axioma (een basisregel zonder bewijs) en bewijzen daarmee HZH en ZZZ. Euclides bewees het als zijn propositie 4 door de ene driehoek op de andere te leggen. Hoe dan ook mag je het in bewijzen gebruiken.

Hoe kies ik tussen ZZZ, ZHZ, HZH en HHZ?

Tel wat je weet. Drie zijden: ZZZ. Twee zijden: controleer of de bekende hoek ertussen ligt (ZHZ) of niet (ZZH, geen conclusie). Twee hoeken: controleer of de bekende zijde ertussen ligt (HZH) of niet (HHZ).

Woordenlijst

ZHZ-congruentie
Twee driehoeken zijn congruent als twee zijden en de ingesloten hoek van de ene gelijk zijn aan twee zijden en de ingesloten hoek van de andere
Ingesloten hoek
De hoek die twee gegeven zijden vormen; het hoekpunt is hun gemeenschappelijke eindpunt
ZZH
Twee zijden en een niet-ingesloten hoek; geen congruentiekenmerk, omdat het twee verschillende driehoeken kan beschrijven
Overstaande hoeken
De tegenover elkaar liggende hoeken bij twee snijdende lijnen; ze zijn altijd gelijk
Gemeenschappelijke zijde
Een zijde die bij twee driehoeken tegelijk hoort; ze is gelijk aan zichzelf
Overeenkomstige delen van congruente driehoeken
Als bewezen is dat twee driehoeken congruent zijn, zijn alle overeenkomstige zijden en hoeken gelijk

Formulekaart

ZHZ-kenmerk

AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF⇒△ABC≅△DEFAB = DE,\ \angle B = \angle E,\ BC = EF \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF

De hoek moet tussen de twee zijden liggen

Kenmerken die werken

ZZZ, ZHZ, HZH, HHZ\text{ZZZ},\ \text{ZHZ},\ \text{HZH},\ \text{HHZ}

Elk kenmerk legt precies één driehoek vast

Patronen die niet werken

ZZH, HHH\text{ZZH},\ \text{HHH}

ZZH kan twee driehoeken geven; HHH legt de vorm vast, maar niet de grootte

Overeenkomstige delen

△ABC≅△DEF⇒AC=DF, ∠A=∠D, ∠C=∠F\triangle ABC \cong \triangle DEF \Rightarrow AC = DF,\ \angle A = \angle D,\ \angle C = \angle F

Pas gebruiken nadat de congruentie bewezen is

Meer over dit onderwerp

Introductie tot congruentie

Gemiddeld25 min

Inleiding tot gelijkvormigheid

Gemiddeld25 min

Congruente Driehoeken

Gemiddeld25 min

AA-Gelijkvormigheid

Gemiddeld25 min