Docentenhandleiding: Regelmatige veelhoeken

Leer wat een veelhoek regelmatig maakt, hoe je de binnenhoek, buitenhoek en middelpuntshoek, de omtrek en de oppervlakte vindt, en welke regelmatige veelhoeken een vloer betegelen.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Polygonen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Bepalen of een veelhoek regelmatig is door zijden en hoeken te controleren
De binnenhoek, buitenhoek en middelpuntshoek van een regelmatige veelhoek berekenen
Het aantal zijden van een regelmatige veelhoek vinden uit een binnen- of buitenhoek
De omtrek en de oppervlakte van een regelmatige veelhoek berekenen met het apothema
Uitleggen waarom van de regelmatige veelhoeken alleen driehoeken, vierkanten en zeshoeken het vlak betegelen

Vereisten

• Namen van veelhoeken naar het aantal zijden (Introductie tot veelhoeken, Polygonen classificeren)
• De hoeksom $(n-2) \cdot 180°$ (Formule voor de hoeksom van veelhoeken)
• Buitenhoeken en hun som van $360°$ (Buitenhoeken van veelhoeken)
• De oppervlakte van een driehoek $\frac{1}{2} \cdot b \cdot h$ en de stelling van Pythagoras

Discussiestarters

1. Is het vierkant de enige regelmatige vierhoek? Hoe zou je een vriend overtuigen?
2. Waarom denk je dat bijen zeshoeken bouwen en geen vierkanten of driehoeken?
3. Wat gebeurt er met de binnenhoek als een regelmatige veelhoek steeds meer zijden krijgt? Kan hij ooit $180°$ worden?
4. Waarom is het makkelijker om het aantal zijden te vinden uit de buitenhoek dan uit de binnenhoek?

Veelvoorkomende misvattingen

Gelijke zijden zijn genoeg voor een regelmatige veelhoek

Herstel: Duw een vierkant van 4 gelijke stokjes plat tot een ruit: de zijden blijven gelijk, de hoeken veranderen. Laat daarna een rechthoek zien: gelijke hoeken, ongelijke zijden. Regelmatig vraagt allebei.

Het apothema en de straal zijn even lang

Herstel: Teken beide in een zeshoek: de straal eindigt in een hoekpunt, het apothema in het midden van een zijde. Het apothema is een rechthoekszijde en de straal de schuine zijde van een rechthoekige driehoek, dus de straal is altijd langer.

Elke regelmatige veelhoek kan een vloer betegelen als je hem slim legt

Herstel: Laat leerlingen het proberen met papieren vijfhoeken. Reken daarna $\frac{360°}{108°} \approx 3{,}33$ : de hoeken rond een punt moeten samen precies $360°$ zijn, dus het aantal moet geheel zijn.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Een tabel geven met n, hoeksom en binnenhoek al begonnen voor n = 3 tot 6
• Hoeken van papieren veelhoeken met een geodriehoek meten voordat formules worden gebruikt
• Bij elke oppervlakteopgave het apothema geven

Voor leerlingen op niveau:

• n vinden uit binnen- en buitenhoeken
• Oppervlaktes van regelmatige veelhoeken berekenen met gegeven apothema
• Met hoeken uitleggen welke regelmatige veelhoeken het vlak betegelen

Voor gevorderde leerlingen:

• Het apothema van een zeshoek of vierkant vinden uit alleen de zijde
• Het patroon van achthoeken en vierkanten onderzoeken: waarom werkt $135° + 135° + 90° = 360°$ ?
• Laten zien dat de oppervlakte van een regelmatige n-hoek dichter bij die van een cirkel komt als n groeit

Standaarduitlijning

7.G.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.5)
Eigenschappen van supplementaire en aanliggende hoeken gebruiken om vergelijkingen voor een onbekende hoek op te stellen en op te lossen
7.G.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.6)
Praktische problemen oplossen over de oppervlakte van figuren die uit driehoeken en veelhoeken bestaan
HSG.CO.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.A.3)
De draaiingen en spiegelingen beschrijven die een regelmatige veelhoek op zichzelf afbeelden

Lesbronnen

visualRegelmatige veelhoeken verkennen
Verschuif het aantal zijden en zie live hoe middelpuntshoek, binnenhoek, buitenhoek, apothema, omtrek en oppervlakte veranderen
activityBetegelingstest
Leerlingen proberen een blad te bedekken met papieren driehoeken, vierkanten, vijfhoeken, zeshoeken en achthoeken en noteren welke gaten laten
worksheetTabel van regelmatige veelhoeken
Een tabel invullen voor n = 3 tot 12 met binnen-, buiten- en middelpuntshoeken en naar patronen zoeken

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een regelmatige veelhoek heeft alle zijden even lang EN alle hoeken even groot. Beide voorwaarden zijn nodig:

Een ruit heeft vier even lange zijden, maar de hoeken zijn niet allemaal gelijk (bijvoorbeeld $60°$ en $120°$ ), dus hij is niet regelmatig.
Een rechthoek heeft vier gelijke hoeken ( $90°$ ), maar de zijden zijn niet allemaal even lang, dus hij is niet regelmatig.
Een vierkant heeft allebei, het is een regelmatige vierhoek.

Elke regelmatige veelhoek heeft een middelpunt

M

, even ver van alle hoekpunten. De lijnstukken van het middelpunt naar de hoekpunten verdelen een regelmatige

n

-hoek in

n

congruente gelijkbenige driehoeken.

**Hoeken van een regelmatige

n

-hoek** (de hoeksom

(n-2) \cdot 180°

ken je uit de les over de hoeksom):

\text{binnenhoek} = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n} \qquad \text{buitenhoek} = \frac{360°}{n} \qquad \text{middelpuntshoek} = \frac{360°}{n}

De middelpuntshoek is de hoek bij het middelpunt tussen de lijnstukken naar twee naburige hoekpunten. Bij een regelmatige veelhoek is hij even groot als de buitenhoek.

Lengtes: de straal

r

loopt van het middelpunt naar een hoekpunt, het apothema

a

loopt van het middelpunt naar het midden van een zijde en staat er loodrecht op.

Omtrek en oppervlakte (zijde

s

O = n \cdot s \qquad A = \frac{1}{2} \cdot O \cdot a

Betegeling: een regelmatige veelhoek betegelt een vlak in zijn eentje alleen als zijn binnenhoek een deler is van

360°

. Dat lukt bij precies drie: de gelijkzijdige driehoek (

60°

), het vierkant (

90°

) en de regelmatige zeshoek (

120°

Uitgewerkte voorbeelden

Bepaal welke figuren regelmatige veelhoeken zijn: een ruit met hoeken van

70°

110°

, een rechthoek van 3 cm bij 5 cm en een gelijkzijdige driehoek.

Controleer de ruit

Alle 4 zijden zijn even lang, maar de hoeken zijn

70°

110°

→ Hoeken niet gelijk: niet regelmatig

Controleer de rechthoek

Alle 4 hoeken zijn

90°

, maar de zijden zijn 3 cm en 5 cm → Zijden niet gelijk: niet regelmatig

Controleer de gelijkzijdige driehoek

Alle 3 zijden zijn even lang en alle 3 hoeken zijn

60°

→ Regelmatig

Antwoord: Alleen de gelijkzijdige driehoek is regelmatig. De ruit valt af door de hoeken, de rechthoek door de zijden.

Veelgemaakte fouten

Een ruit regelmatig noemen omdat alle zijden even lang zijn

Waarom het fout is: Gelijke zijden zijn maar de helft van de definitie. Een ruit kan hoeken van $60°$ en $120°$ hebben.

Correct: Een veelhoek is alleen regelmatig als alle zijden EN alle hoeken gelijk zijn. Controleer altijd allebei.

Vergeten te delen door $n$ : $(n-2) \cdot 180°$ geven als één binnenhoek

Waarom het fout is: $(n-2) \cdot 180°$ is de SOM van alle binnenhoeken, bij een zeshoek $720°$ , veel te groot voor één hoek.

Correct: Eén binnenhoek van een regelmatige $n$ -hoek is $\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$ , bij een zeshoek $\frac{720°}{6} = 120°$ .

$n$ vinden door $360°$ te delen door de BINNENHOEK

Waarom het fout is: Bij een binnenhoek van $144°$ geeft dat $\frac{360}{144} = 2{,}5$ zijden, wat onmogelijk is. Alleen de buitenhoek past bij $\frac{360°}{n}$ .

Correct: Bereken eerst de buitenhoek $180° - 144° = 36°$ , daarna $n = \frac{360°}{36°} = 10$ .

De zijde of de straal gebruiken in plaats van het apothema in $A = \frac{1}{2} O a$

Waarom het fout is: De straal gaat naar een hoekpunt en is langer dan het apothema. Alleen het apothema staat loodrecht op de zijde en is dus de hoogte van elke driehoek.

Correct: Gebruik het apothema: de loodrechte afstand van het middelpunt tot het midden van een zijde.

Waarom het belangrijk is

Regelmatige veelhoeken zijn de vormen die je kiest als alles eerlijk, sterk of makkelijk te herhalen moet zijn:

Natuur: bijen bouwen zeshoekige honingraatcellen. Zeshoeken vullen de ruimte zonder gaten en kosten de minste was voor de wanden.
Verkeersborden: het stopbord is een regelmatige achthoek, zodat bestuurders de vorm zelfs van achteren herkennen.
Vloeren en wanden: tegels zijn vierkanten, driehoeken of zeshoeken, de enige regelmatige veelhoeken die een vloer zonder gaten bedekken.
Techniek: moeren en boutkoppen zijn regelmatige zeshoeken, zodat een sleutel er vanuit zes richtingen op past.
Ontwerp en bouw: paviljoens, tafels en ramen gebruiken regelmatige achthoeken en vijfhoeken; de middelpuntshoek vertelt de timmerman hoe elk stuk gezaagd moet worden.

Met de formules uit deze les vind je elke hoek, de omtrek en de oppervlakte van een regelmatige veelhoek uit alleen het aantal zijden en één lengte.

Toepassingen in de echte wereld

Honingraten en zeshoekige tegels

Bijen en tegelmakers gebruiken regelmatige zeshoeken, omdat er precies drie zonder gat om één punt passen.

Voorbeeld:

Vierkanten passen met 4 om een punt ( $4 \cdot 90° = 360°$ ), gelijkzijdige driehoeken met 6 ( $6 \cdot 60° = 360°$ ).

1Probeer het zelf

Een tegelzetter wil een badkamervloer alleen met regelmatige zeshoeken betegelen.

Hoeveel zeshoeken komen samen in elk hoekpunt?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Deel de volle hoek rond een punt door één binnenhoek:

Stopborden

Een stopbord is een regelmatige achthoek. Bordenmakers gebruiken de oppervlakte om te weten hoeveel reflecterende folie elk bord nodig heeft.

Voorbeeld:

Een regelmatige achthoek met zijde 25 cm heeft een apothema van ongeveer 30,2 cm.

2Probeer het zelf

Een stopbord is een regelmatige achthoek met zijden van 25 cm en een apothema van 30,2 cm.

Hoeveel vierkante centimeter reflecterende folie bedekt het hele bord?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $A = \frac{1}{2} \cdot O \cdot a$ :

De vloer van een paviljoen

De vloer van een achthoekig paviljoen bestaat uit 8 gelijke driehoekige houten delen die in het middelpunt samenkomen.

Voorbeeld:

Elk deel heeft aan zijn punt in het middelpunt de middelpuntshoek $\frac{360°}{8} = 45°$ .

3Probeer het zelf

Een timmervrouw zaagt de 8 gelijkbenige driehoeken voor de vloer van een regelmatig achthoekig paviljoen.

Onder welke hoek moet ze elk van de twee basishoeken van één driehoek zagen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Trek de middelpuntshoek af van $180°$ en verdeel de rest eerlijk:

Belangrijke punten

1Een regelmatige veelhoek heeft alle zijden even lang EN alle hoeken even groot; een ruit en een rechthoek zijn niet regelmatig
2Binnenhoek van een regelmatige $n$ -hoek: $\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$
3Buitenhoek en middelpuntshoek zijn allebei $\frac{360°}{n}$
4Om $n$ uit een binnenhoek te vinden, neem je eerst de buitenhoek $180° - \text{binnenhoek}$ , daarna $n = \frac{360°}{\text{buitenhoek}}$
5Omtrek $O = n \cdot s$ en oppervlakte $A = \frac{1}{2} \cdot O \cdot a$ , waarbij het apothema $a$ van het middelpunt naar het midden van een zijde loopt
6Alleen de gelijkzijdige driehoek, het vierkant en de regelmatige zeshoek betegelen een vloer in hun eentje, omdat $60°$ , $90°$ en $120°$ delers zijn van $360°$

Veelgestelde vragen

Is elke driehoek met drie even lange zijden regelmatig?

Ja. Bij driehoeken dwingen gelijke zijden gelijke hoeken af, dus elke gelijkzijdige driehoek heeft drie hoeken van

60°

. Vanaf vier zijden geldt dat niet meer: een ruit heeft gelijke zijden maar kan ongelijke hoeken hebben.

Waarom zijn de buitenhoek en de middelpuntshoek even groot?

Allebei verdelen ze de volle

360°

eerlijk over

n

delen: de buitenhoeken zijn de

n

draaien van een wandeling rond de veelhoek, de middelpuntshoeken zijn de

n

stukken rond het middelpunt. Daarom zijn ze allebei

\frac{360°}{n}

Waarom kan een regelmatige vijfhoek geen vloer betegelen?

Zijn binnenhoek is

108°

. Drie ervan geven

324°

en laten een gat van

36°

, vier zouden

432°

geven en overlappen. Omdat

\frac{360}{108}

geen geheel getal is, passen vijfhoeken niet zonder gaten in elkaar.

Hoeveel symmetrieassen heeft een regelmatige veelhoek?

Een regelmatige

n

-hoek heeft

n

symmetrieassen, een regelmatige zeshoek bijvoorbeeld 6. De les over symmetrie in veelhoeken bekijkt deze assen en de draaiingen in detail.

Woordenlijst

Regelmatige veelhoek: Een veelhoek met alle zijden even lang en alle hoeken even groot.
Middelpunt: Het punt binnen een regelmatige veelhoek dat even ver van alle hoekpunten ligt.
Middelpuntshoek: De hoek bij het middelpunt tussen de lijnstukken naar twee naburige hoekpunten: $\frac{360°}{n}$ .
Straal: De afstand van het middelpunt van een regelmatige veelhoek tot een hoekpunt.
Apothema: De loodrechte afstand van het middelpunt van een regelmatige veelhoek tot het midden van een zijde.
Betegeling (vlakvulling): Een patroon van figuren dat een plat vlak zonder gaten en zonder overlap bedekt.

Formulekaart

Binnenhoek

\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}

Eén hoek binnen een regelmatige veelhoek met $n$ zijden

Buitenhoek en middelpuntshoek

\frac{360°}{n}

De draai bij elk hoekpunt en de hoek bij het middelpunt voor één zijde

Aantal zijden

n = \frac{360°}{\text{buitenhoek}}

Buitenhoek $= 180° - $ binnenhoek

Omtrek

O = n \cdot s

Aantal zijden keer de lengte van een zijde

Oppervlakte

A = \frac{1}{2} \cdot O \cdot a

De halve omtrek keer het apothema $a$

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Regelmatige veelhoeken

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Honingraten en zeshoekige tegels

Stopborden

De vloer van een paviljoen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Binnenhoek

Buitenhoek en middelpuntshoek

Aantal zijden

Omtrek

Oppervlakte

Meer over dit onderwerp

Introductie tot veelhoeken

Diagonalen van veelhoeken

Polygonen classificeren

Formule voor de hoeksom van veelhoeken