Docentenhandleiding: Logische poorten

Leer hoe EN-, OF-, NIET-, XOR-, NAND- en NOR-poorten van enen en nullen beslissingen maken, en hoe je de uitgang van een kleine schakeling vindt.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Booleaanse logica. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Uitleggen wat een logische poort is en waar de ingangen en uitgangen 1 en 0 voor staan
De waarheidstabellen van de EN-, OF-, NIET-, XOR-, NAND- en NOR-poort kennen
De uitgang van een schakeling met 2 of 3 poorten bepalen voor gegeven ingangen
De booleaanse expressie opschrijven van een schakeling die in woorden is beschreven
Echte toepassingen van logische poorten beschrijven, zoals alarmen en de halve opteller

Vereisten

• De bewerkingen EN, OF en NIET en hun waarheidstabellen (De EN-operatie, De OF-bewerking, De NIET-bewerking)
• Waarheidstabellen maken voor 2 en 3 variabelen (Waarheidstabellen)
• Booleaanse expressies met haakjes uitrekenen (Samengestelde booleaanse beweringen, Booleaanse expressies)

Discussiestarters

1. Waar wordt bij jou thuis een beslissing genomen met EN (twee dingen moeten allebei kloppen)? Waar met OF?
2. Een lamp in het trappenhuis kun je boven en beneden schakelen. Welke poort beschrijft dat, en waarom?
3. Waarom zou een fabriek elke chip liever uit maar één soort poort bouwen?
4. Hoe kan een machine die alleen 1 en 0 kent getallen zoals 25 + 17 optellen?

Veelvoorkomende misvattingen

OF betekent het een of het ander, maar niet allebei

Herstel: In het dagelijks leven betekent of vaak ofwel. Zet de OF- en XOR-kolom naast elkaar en wijs de rij met ingangen 1, 1 aan. Gebruik een deurbel met een knop bij de voordeur en een bij de achterdeur: worden ze allebei tegelijk ingedrukt, dan gaat hij toch (OF).

$1 + 1 = 2$ geldt ook voor poorten

Herstel: Herinner eraan dat de uitgang van een poort één draad is, die alleen aan of uit kan staan. Schrijf $1 + 1 = 1$ (OF) naast $1 + 1 = 10_2$ (binair optellen met een halve opteller) en bespreek het verschil.

In een schakeling werkt elke poort met de oorspronkelijke ingangen

Herstel: Laat leerlingen elke draad poort voor poort met zijn waarde labelen, zoals bij een estafette waarin elke loper het stokje alleen van de vorige loper krijgt.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Alleen met EN, OF en NIET beginnen en het beeld van een lichtschakelaar gebruiken (aan = 1, uit = 0)
• Een geprinte poorttabel geven om op te zoeken bij het volgen van schakelingen
• Schakelingen met maar 2 poorten gebruiken, met de ingangen al ingevuld

Voor leerlingen op niveau:

• Schakelingen met 3 poorten volgen voor meerdere ingangscombinaties
• Booleaanse expressies opschrijven voor schakelingen in woorden, en andersom
• De tabel van de halve opteller maken en de XOR- en EN-poort herkennen

Voor gevorderde leerlingen:

• Laten zien hoe NIET, EN en OF alleen met NAND-poorten gebouwd kunnen worden
• Een meerderheidsschakeling met drie ingangen ontwerpen en de rijen met uitgang 1 tellen
• De volledige opteller onderzoeken en hoe 4 daarvan twee 4-bitsgetallen optellen

Standaarduitlijning

CCSS.MATH.PRACTICE.MP4 (MP4)
Modelleren met wiskunde
CCSS.MATH.PRACTICE.MP6 (MP6)
Nauwkeurig werken
CCSS.MATH.PRACTICE.MP7 (MP7)
Structuur zoeken en gebruiken

Lesbronnen

visualInteractieve poorttabel
Leerlingen wisselen tussen de zes poorten, lezen elke waarheidstabel en zien het poortsymbool voor EN, OF, NIET en XOR
activityMenselijke schakeling
Leerlingen spelen poorten, houden kaartjes met 1 of 0 omhoog en geven hun uitgang door aan de volgende leerling in de schakeling
worksheetVolg de schakeling
Schakelingen met 2 en 3 poorten in woorden beschreven: bepaal de uitgang en schrijf de booleaanse expressie op

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een logische poort is een piepkleine elektronische schakeling met een of twee ingangen en één uitgang. Elke ingang en elke uitgang is 1 of 0:

1 = spanning aan (hoog), dat betekent waar
0 = spanning uit (laag), dat betekent onwaar

Elke poort voert één booleaanse bewerking uit. Poorten zijn de hardwareversie van EN, OF en NIET uit de vorige lessen.

De poorten met twee ingangen (ingangen

A

B

, de rijen beginnen met

0, 0

$A$	$B$	EN	OF	XOR	NAND	NOR
0	0	0	0	0	1	1
0	1	0	1	1	1	0
1	0	0	1	1	1	0
1	1	1	1	0	0	0

De NIET-poort (ook invertor genoemd) heeft maar één ingang en keert die om: ingang 0 geeft uitgang 1, ingang 1 geeft uitgang 0.

Zo onthoud je ze:

EN (AND): uitgang 1 alleen als beide ingangen 1 zijn
OF (OR): uitgang 1 als minstens één ingang 1 is
XOR (exclusieve OF): uitgang 1 als de ingangen verschillend zijn
NAND (NIET-EN): het omgekeerde van EN, uitgang 0 alleen als beide ingangen 1 zijn
NOR (NIET-OF): het omgekeerde van OF, uitgang 1 alleen als beide ingangen 0 zijn

Notatie: in de techniek schrijft men vaak

A \cdot B

voor EN,

A + B

voor OF en

\overline{A}

voor NIET. Dat betekent precies hetzelfde als

A \land B

A \lor B

\neg A

. XOR schrijf je als

A \oplus B

, NAND is

\overline{A \cdot B}

en NOR is

\overline{A + B}

. Let op: hier geldt

1 + 1 = 1

, want

+

betekent OF.

Een schakeling verbindt poorten: de uitgang van de ene poort wordt een ingang van de volgende. Om de einduitgang te vinden, ga je van de ingangen naar de uitgang, poort voor poort.

De interactieve tabel in deze les noemt de ingangen

A

B

en schrijft 1 en 0. Hij tekent het poortsymbool van elke poort, ook van NAND en NOR.

Uitgewerkte voorbeelden

De ingangen zijn $A = 1$ en $B = 0$ . Bepaal de uitgang van een EN-, OF-, XOR-, NAND- en NOR-poort.

EN-poort

EN heeft twee enen nodig, maar $B = 0$ → EN: $0$

OF-poort

OF heeft minstens één 1 nodig, en $A = 1$ → OF: $1$

XOR-poort

De ingangen $1$ en $0$ zijn verschillend → XOR: $1$

NAND-poort

NAND is het omgekeerde van EN: EN gaf $0$ , dus omkeren → NAND: $1$

NOR-poort

NOR is het omgekeerde van OF: OF gaf $1$ , dus omkeren → NOR: $0$

Antwoord: EN $= 0$ , OF $= 1$ , XOR $= 1$ , NAND $= 1$ , NOR $= 0$ . NAND en NOR zijn altijd het omgekeerde van EN en OF.

Veelgemaakte fouten

Denken dat een OF-poort $0$ geeft als beide ingangen $1$ zijn

Waarom het fout is: Dat is de XOR-poort. OF is 1 als minstens één ingang 1 is, en daar hoort ook het geval bij dat beide 1 zijn.

Correct: OF: $1 \lor 1 = 1$ . XOR: $1 \oplus 1 = 0$ . Alleen XOR eist dat de ingangen verschillend zijn.

$A + B$ lezen als een gewone optelling en $1 + 1 = 2$ schrijven

Waarom het fout is: In de poortnotatie betekent $+$ OF, en de uitgang van een poort kan alleen 0 of 1 zijn.

Correct: Bij poorten geldt $1 + 1 = 1$ (OF). De waarde 2 komt alleen voor als je binaire getallen optelt, en dan schrijf je hem als $10$ met een overdrachtscijfer.

NAND behandelen als NIET A EN NIET B, dus als $\overline{A} \cdot \overline{B}$

Waarom het fout is: NAND keert de uitgang van EN om, niet de ingangen. Voor $A = 1$ , $B = 0$ : NAND geeft $\overline{1 \cdot 0} = 1$ , maar $\overline{1} \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$ .

Correct: NAND $= \overline{A \cdot B}$ : eerst EN, dan NIET. De streep staat boven het hele product.

De oorspronkelijke ingangen in de laatste poort van een schakeling stoppen

Waarom het fout is: In een schakeling krijgt elke poort alleen de draden die ermee verbonden zijn. De laatste poort krijgt meestal de uitgangen van eerdere poorten, niet A, B en C.

Correct: Werk van de ingangen naar de uitgang, schrijf de uitgang van elke poort ernaast en gebruik die waarden voor de volgende poort.

Waarom het belangrijk is

Elk digitaal apparaat dat je hebt, is gebouwd uit logische poorten:

Computerchips: een processor bevat miljarden transistors die als poorten zijn geschakeld, en alles wat hij doet (optellen, vergelijken, opslaan) komt neer op EN, OF en NIET met enen en nullen
Getallen optellen: twee poorten, een XOR en een EN, zijn genoeg om twee binaire cijfers op te tellen, en ketens van zulke schakelingen tellen hele getallen op
Alarmen en beveiliging: een alarm gaat af als het is ingeschakeld EN een deur OF een raam open is
Auto's en machines: een gordelwaarschuwing gaat branden als de motor draait EN de gordel NIET vastzit; een pers werkt alleen als twee handen twee knoppen indrukken (EN)
Verlichting thuis: een lamp die je vanaf twee plekken kunt schakelen (trap, gang) is een XOR-schakeling

In de vorige lessen schreef je booleaanse expressies op papier. Logische poorten zijn dezelfde expressies, maar dan als hardware gebouwd. Wie een schakeling kan lezen, leest dus de taal van computers.

Toepassingen in de echte wereld

Alarmsystemen

Een alarm in huis is een kleine logische schakeling: sensoren geven 1 of 0, poorten beslissen of de sirene een 1 krijgt.

Voorbeeld:

Met de inschakelaar $A$ , de deursensor $D$ en de raamsensor $W$ gaat het alarm af als $Y = A \land (D \lor W) = 1$ .

1Probeer het zelf

Een alarm gebruikt $Y = A \land (D \lor W)$ : $A = 1$ als het systeem is ingeschakeld, $D = 1$ als de deur open is, $W = 1$ als het raam open is.

Bij hoeveel van alle mogelijke ingangscombinaties gaat het alarm af?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het aantal ingangscombinaties als macht van 2:

Optellen in een chip

Elke optelling van een computer is opgebouwd uit halve en volledige optellers die uit poorten bestaan.

Voorbeeld:

Een halve opteller berekent het somcijfer $S = A \oplus B$ en het overdrachtscijfer $C = A \land B$ van twee binaire cijfers.

2Probeer het zelf

Een halve opteller krijgt de ingangen $A = 1$ en $B = 1$ . Hij geeft $S = A \oplus B$ en $C = A \land B$ , en het resultaat lees je als het binaire getal $CS$ .

Wat zijn S en C, en welk gewoon getal stelt het resultaat voor?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de optelling die de schakeling uitvoert:

Chips bouwen uit NAND-poorten

Chipmakers houden van NAND-poorten, omdat je elke andere poort alleen met NAND-poorten kunt bouwen.

Voorbeeld:

Verbind beide ingangen van een NAND-poort met hetzelfde signaal $A$ : de uitgang is $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$ , dus hij werkt als een NIET-poort.

3Probeer het zelf

Een kleine chip bevat 4 NAND-poorten. Een NIET-poort heeft 1 NAND-poort nodig, een EN-poort heeft er 2 nodig (een NAND gevolgd door een NAND als NIET). Een ontwerper heeft 3 EN-poorten en 2 NIET-poorten nodig.

Hoeveel NAND-poorten en hoeveel chips heeft de ontwerper nodig?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het aantal NAND-poorten als één berekening:

Belangrijke punten

1Een logische poort krijgt ingangen die 1 (spanning aan) of 0 (spanning uit) zijn en geeft één uitgang, ook 1 of 0
2EN geeft alleen 1 als beide ingangen 1 zijn; OF geeft 1 als minstens één ingang 1 is; NIET keert zijn enige ingang om
3XOR geeft 1 als de ingangen verschillend zijn; NAND en NOR zijn het omgekeerde van EN en OF
4Poortnotatie: $A \cdot B$ (EN), $A + B$ (OF), $\overline{A}$ (NIET), $A \oplus B$ (XOR), en hier geldt $1 + 1 = 1$
5Om de uitgang van een schakeling te vinden, ga je van de ingangen naar de uitgang en noteer je de uitgang van elke poort
6Benoem de uitgang van elke poort als expressie, dan krijg je de booleaanse expressie van de hele schakeling

Veelgestelde vragen

Waarom gebruiken poorten 1 en 0 in plaats van waar en onwaar?

In een chip bestaan alleen spanningen. Een hoge spanning staat voor 1 (waar) en een lage voor 0 (onwaar). Met maar twee niveaus zijn schakelingen snel en betrouwbaar, want ook een iets zwakker signaal wordt nog duidelijk als 1 gelezen.

Wat is het verschil tussen OF en XOR?

Ze verschillen maar in één rij: als beide ingangen 1 zijn. OF geeft

1

(minstens één staat aan), XOR geeft

0

(de ingangen zijn niet verschillend). XOR is de poort van het een of het ander, maar niet allebei.

Waarom zijn NAND-poorten zo populair?

Elke andere poort kun je alleen met NAND-poorten bouwen. Een NAND met twee verbonden ingangen is bijvoorbeeld een NIET-poort. Zo kan een fabriek chips maken met één soort poort. De algebra daarachter zie je in de les Booleaanse algebra.

Kan ik poorten controleren met gewoon rekenen?

Ja, met 0 en 1: EN is

A \times B

, NIET is

1 - A

, OF is

A + B - A \times B

en XOR is

A + B - 2 \times A \times B

. OF voor

1, 1

is bijvoorbeeld

1 + 1 - 1 = 1

. Probeer het in de rekenmachine.

Woordenlijst

Logische poort: Een elektronische schakeling die één booleaanse bewerking uitvoert op ingangen van 1 en 0
Ingang / uitgang: De signalen die een poort ingaan en het ene signaal dat eruit komt
Schakeling: Poorten die met draden verbonden zijn, waarbij de uitgang van de ene poort een ingang van een andere is
Invertor: Een andere naam voor de NIET-poort, die 1 in 0 en 0 in 1 verandert
Exclusieve OF (XOR): Een poort waarvan de uitgang 1 is als de ingangen verschillend zijn, geschreven als $A \oplus B$
Halve opteller: Een schakeling van één XOR-poort en één EN-poort die twee binaire cijfers optelt: $S = A \oplus B$ , $C = A \land B$

Formulekaart

EN

Y = A \cdot B = A \land B

1 alleen als beide ingangen 1 zijn

OF

Y = A + B = A \lor B

1 als minstens één ingang 1 is

NIET

Y = \overline{A} = \neg A

Keert de ingang om

XOR

Y = A \oplus B

1 als de ingangen verschillend zijn

NAND

Y = \overline{A \cdot B}

Omgekeerde van EN: 0 alleen als beide ingangen 1 zijn

NOR

Y = \overline{A + B}

Omgekeerde van OF: 1 alleen als beide ingangen 0 zijn

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Logische poorten

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Alarmsystemen

Optellen in een chip

Chips bouwen uit NAND-poorten

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

EN

OF

NIET

XOR

NAND

NOR

Meer over dit onderwerp

Introductie tot Booleaanse logica

Ware en onware uitspraken

De EN-operatie

De OF-bewerking