Contrapositie

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Wat is de contrapositie van $p \to q$ ?
1. a) $\neg q \to \neg p$
2. b) $q \to p$
3. c) $\neg p \to \neg q$
4. d) $\neg p \to q$
Antwoord: $\neg q \to \neg p$
De contrapositie verwisselt en ontkent: $\neg q \to \neg p$ . De keuze $q \to p$ is de omgekeerde en $\neg p \to \neg q$ is de inverse.
2.
Regel: als een getal een veelvoud van $4$ is, dan is het even. De contrapositie zegt: als een getal niet even is, dan is het geen veelvoud van $4$ . Welk van de getallen $12$ , $15$ , $20$ , $28$ kun je alleen met de contrapositie uitsluiten?
Antwoord: 15
$15$ is het enige oneven getal in de lijst. Het is niet even, dus volgens de contrapositie is het geen veelvoud van $4$ . De andere drie zijn even, daarover zegt de contrapositie niets (in feite zijn $12$ , $20$ en $28$ allemaal veelvouden van $4$ ).
3.
Regel: als een getal deelbaar is door $10$ , dan is het laatste cijfer $0$ . Gebruik de contrapositie om te beslissen of $7345$ deelbaar is door $10$ .
Antwoord: 5
1. Wat is het laatste cijfer van $7345$ ? 5
2. Het laatste cijfer is niet $0$ , dus volgens de contrapositie is $7345$ niet deelbaar door $10$ . Wat is de rest van $7345 \div 10$ ? 5
4.
Welke bewering is de contrapositie van "Als een getal op $5$ eindigt, dan is het deelbaar door $5$ "?
1. a)Als een getal niet deelbaar is door $5$ , dan eindigt het niet op $5$ .
2. b)Als een getal deelbaar is door $5$ , dan eindigt het op $5$ .
3. c)Als een getal niet op $5$ eindigt, dan is het deelbaar door $5$ .
4. d)Als een getal niet op $5$ eindigt, dan is het niet deelbaar door $5$ .
Antwoord: Als een getal niet deelbaar is door $5$ , dan eindigt het niet op $5$ .
Verwisselen en ontkennen: "Als een getal niet deelbaar is door $5$ , dan eindigt het niet op $5$ ." De eerste keuze is de omgekeerde, de tweede de inverse (onwaar: $10$ eindigt niet op $5$ maar is wel deelbaar door $5$ ).
5.
Een als-dan-bewering is waar. Hoeveel van de drie andere verwante beweringen (omgekeerde, inverse, contrapositie) zijn naast de bewering zelf gegarandeerd ook waar?
Antwoord: 1
Alleen de contrapositie is gegarandeerd, dus het antwoord is $1$ . De omgekeerde en de inverse kunnen waar of onwaar zijn; ze komen altijd met elkaar overeen, maar niet noodzakelijk met de oorspronkelijke bewering.
6.
Bewering: als $x = 3$ , dan $2x = 6$ . De contrapositie is: als $2x \ne 6$ , dan $x \ne 3$ . Je weet dat $2x = 14$ . Laat zien dat $x$ niet $3$ is en bepaal $x$ .
Antwoord: 7
1. Hoeveel is $2 \times 3$ ? 6
2. $14 \ne 6$ , dus volgens de contrapositie is $x \ne 3$ . Los $2x = 14$ op: hoeveel is $x$ ? 7
7.
Van een als-dan-bewering $p \to q$ weet je dat ze waar is. Welke verwante bewering moet dan ook waar zijn?
1. a)De inverse $\neg p \to \neg q$
2. b)De contrapositie $\neg q \to \neg p$
3. c)De omgekeerde $q \to p$
4. d)Geen van alle
Antwoord: De contrapositie $\neg q \to \neg p$
De contrapositie is logisch equivalent met de oorspronkelijke bewering, dus ze moet waar zijn. De omgekeerde en de inverse kunnen onwaar zijn, bijvoorbeeld bij "Als een figuur een vierkant is, dan heeft ze vier rechte hoeken".
8.
Gebruik $1$ voor waar en $0$ voor onwaar. Bepaal in de rij van de waarheidstabel met $p = 1$ en $q = 0$ de waarden van de contrapositie en van de oorspronkelijke bewering.
Antwoord: 0
1. Wat is de waarde van $\neg q$ ? 1
2. Wat is de waarde van $\neg p$ ? 0
3. Wat is de waarde van $\neg q \to \neg p$ ? 0
4. Wat is de waarde van $p \to q$ ? 0
9.
Een waarheidstabel voor $\neg q \to \neg p$ heeft $4$ rijen. In hoeveel van die rijen is $\neg q \to \neg p$ waar?
Antwoord: 3
$\neg q \to \neg p$ is alleen onwaar als $\neg q$ waar is en $\neg p$ onwaar, dus als $p$ waar is en $q$ onwaar. Dat is $1$ rij, dus ze is waar in $3$ rijen, precies zoals $p \to q$ .
10.
Gebruik $1$ voor waar en $0$ voor onwaar. In de rij met $p = 0$ en $q = 1$ is de oorspronkelijke bewering $p \to q$ gelijk aan $1$ . Bepaal in deze rij de contrapositie en de omgekeerde.
Antwoord: 0
1. Wat is de waarde van $\neg q$ ? 0
2. Wat is de waarde van $\neg p$ ? 1
3. Wat is de waarde van de contrapositie $\neg q \to \neg p$ ? 1
4. Wat is de waarde van de omgekeerde $q \to p$ ? 0
11.
Welke waarden hebben $p \to q$ en $\neg q \to \neg p$ in de rij van de waarheidstabel waarin $p$ waar is en $q$ onwaar?
1. a)Beide zijn onwaar
2. b) $p \to q$ is waar, $\neg q \to \neg p$ is onwaar
3. c) $p \to q$ is onwaar, $\neg q \to \neg p$ is waar
4. d)Beide zijn waar
Antwoord: Beide zijn onwaar
$p \to q$ gaat van waar naar onwaar, dus is onwaar. $\neg q$ is waar en $\neg p$ is onwaar, dus ook $\neg q \to \neg p$ gaat van waar naar onwaar en is onwaar. Beide zijn onwaar.
12.
Regel: als een getal een veelvoud van $6$ is, dan is het een veelvoud van $3$ . Om met de contrapositie te laten zien dat $50$ geen veelvoud van $6$ is, controleer je dat $50$ geen veelvoud van $3$ is. Wat is de rest als je $50$ deelt door $3$ ?
Antwoord: 2
$50 = 3 \times 16 + 2$ , dus de rest is $2$ . Omdat $50$ geen veelvoud van $3$ is, vertelt de contrapositie ons dat het ook geen veelvoud van $6$ is.
13.
Regel: als een getal deelbaar is door $3$ , dan is de som van de cijfers deelbaar door $3$ . Gebruik de contrapositie om te beslissen of $2471$ deelbaar is door $3$ .
Antwoord: 2
1. Wat is de cijfersom van $2471$ ? 14
2. Wat is de rest als je $14$ deelt door $3$ ? 2
3. De cijfersom is niet deelbaar door $3$ , dus $2471$ is niet deelbaar door $3$ . Wat is de rest van $2471 \div 3$ ? 2
14.
Oorspronkelijke bewering: "Als $x = 4$ , dan $x^2 = 16$ ." Welke van de vier verwante beweringen (oorspronkelijke bewering, omgekeerde, inverse, contrapositie) zijn waar?
1. a)Alle vier
2. b)De oorspronkelijke bewering en de contrapositie
3. c)De omgekeerde en de inverse
4. d)De oorspronkelijke bewering en de omgekeerde
Antwoord: De oorspronkelijke bewering en de contrapositie
De oorspronkelijke bewering is waar, dus de contrapositie "Als $x^2 \ne 16$ , dan $x \ne 4$ " is waar. De omgekeerde "Als $x^2 = 16$ , dan $x = 4$ " is onwaar door $x = -4$ , en de inverse "Als $x \ne 4$ , dan $x^2 \ne 16$ " ook, met hetzelfde tegenvoorbeeld.
15.
De bewering "Als $3x + 2 > 20$ , dan $x > 6$ " is waar. De contrapositie is "Als $x \le 6$ , dan $3x + 2 \le 20$ ." Controleer de contrapositie voor $x = 6$ en $x = 5$ .
Antwoord: 17
1. Bepaal de grenswaarde: los $3x + 2 = 20$ op. Hoeveel is $x$ ? 6
2. Hoeveel is $3x + 2$ voor $x = 6$ ? 20
3. Hoeveel is $3x + 2$ voor $x = 5$ ? 17
16.
De contrapositie van "Als $n^2$ even is, dan is $n$ even" is "Als $n$ oneven is, dan is $n^2$ oneven." Controleer dit voor $n = 13$ : schrijf $13^2$ in de vorm $2m + 1$ . Hoeveel is $m$ ?
Antwoord: 84
$13^2 = 169 = 2 \times 84 + 1$ , dus $m = 84$ en $169$ is oneven. Met $n = 2k + 1$ en $k = 6$ geeft de algemene formule ook $m = 2k^2 + 2k = 72 + 12 = 84$ .
17.
Om te zien waarom "Als $n^2$ even is, dan is $n$ even" klopt, controleer je de contrapositie "Als $n$ oneven is, dan is $n^2$ oneven" voor $n = 9$ , met de vorm $n = 2k + 1$ .
Antwoord: 40
1. Schrijf $9 = 2k + 1$ . Hoeveel is $k$ ? 4
2. Hoeveel is $n^2$ voor $n = 9$ ? 81
3. Schrijf $81 = 2m + 1$ . Hoeveel is $m$ ? 40
18.
Voor gehele getallen $a, b \ge 0$ : "Als $a + b \ge 10$ , dan $a \ge 5$ of $b \ge 5$ ." De contrapositie is "Als $a < 5$ en $b < 5$ , dan $a + b < 10$ ." Bepaal de grootst mogelijke waarde van $a + b$ als $a < 5$ en $b < 5$ .
Antwoord: 8
1. Wat is het grootste gehele getal $a$ met $a < 5$ ? 4
2. Wat is het grootste gehele getal $b$ met $b < 5$ ? 4
3. Wat is de grootst mogelijke waarde van $a + b$ ? 8