Docentenhandleiding: Contrapositie

Leer hoe je de contrapositie van een als-dan-bewering maakt, waarom die altijd dezelfde waarheidswaarde heeft als de oorspronkelijke bewering en hoe je ermee over getallen redeneert.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Logisch redeneren. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De contrapositie van een als-dan-bewering maken door beide delen te verwisselen en te ontkennen
Met een waarheidstabel laten zien dat een bewering en haar contrapositie logisch equivalent zijn
Oorspronkelijke bewering, omgekeerde, inverse en contrapositie naast elkaar schrijven en zien welke paren overeenkomen
Beweringen correct ontkennen, ook ongelijkheden en dubbele ontkenningen
De contrapositie gebruiken om over getallen te redeneren, bijvoorbeeld over deelbaarheid en even en oneven

Vereisten

• Als-dan-beweringen: hypothese, conclusie en wanneer een implicatie waar is (les Als-dan-beweringen)
• Omgekeerde en inverse van een als-dan-bewering (les Omgekeerde en inverse)
• Waarheidstabellen en de ontkenning NIET (lessen Waarheidstabellen en De NIET-bewerking)
• Deelbaarheidsregels voor 3, 9 en 10, en even en oneven getallen

Discussiestarters

1. "Als je in Parijs woont, dan woon je in Frankrijk." Wat kun je zeggen over iemand die niet in Frankrijk woont?
2. Waarom blijft de betekenis van een bewering behouden als je verwisselt EN ontkent, terwijl maar één van de twee doen de betekenis kan veranderen?
3. Kun je een ware bewering vinden waarvan de omgekeerde ook waar is? Is dat in strijd met de regel dat de omgekeerde niet equivalent is?
4. Waarom zou een wiskundige liever met de contrapositie werken dan met de oorspronkelijke bewering?

Veelvoorkomende misvattingen

De contrapositie en de inverse zijn hetzelfde, omdat ze allebei "niet" gebruiken

Herstel: Zet ze naast elkaar met hetzelfde voorbeeld (vierkanten en rechthoeken) en laat leerlingen een tegenvoorbeeld voor de inverse zoeken. Benadruk dat de volgorde van de delen ertoe doet.

Een bewering die voor veel voorbeelden klopt, heeft een ware omgekeerde

Herstel: Gebruik voorbeelden met getallen zoals "Als $x = 4$ , dan $x^2 = 16$ " en laat zoeken naar een tegenvoorbeeld voor de omgekeerde. Eén tegenvoorbeeld is genoeg om haar onwaar te maken.

De ontkenning van "groter dan" is "kleiner dan"

Herstel: Teken een getallenlijn en kleur $x > 5$ . Vraag wat er ongekleurd blijft: alles tot en met $5$ , dus de ontkenning is $x \le 5$ .

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Beginnen met alledaagse beweringen (regen en natte straten) voordat je symbolen gebruikt
• Een sjabloon geven: Als niet ___, dan niet ___, en eerst de conclusie laten invullen
• Hypothese en conclusie een kleur geven, zodat het verwisselen zichtbaar wordt

Voor leerlingen op niveau:

• Alle vier verwante beweringen bij deelbaarheidsregels opschrijven en beslissen welke waar zijn
• Waarheidstabellen invullen voor p impliceert q, de omgekeerde, de inverse en de contrapositie
• Contraposities gebruiken om getallen uit te sluiten in deelbaarheidspuzzels

Voor gevorderde leerlingen:

• Met de contrapositie uitleggen waarom uit n kwadraat even volgt dat n even is
• Contraposities maken van beweringen met en en of, met de wetten van De Morgan
• De contrapositie en het bewijs uit het ongerijmde vergelijken bij dezelfde bewering

Standaarduitlijning

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Sterke argumenten opbouwen en de redenering van anderen kritisch beoordelen
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Nauwkeurig werken
HSG.CO.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.9)
Stellingen over lijnen en hoeken bewijzen (deze bewijzen zijn opgebouwd uit als-dan-beweringen)

Lesbronnen

visualInteractieve waarheidstabel
Leerlingen verkennen de tabellen voor NIET en IMPLICEERT en bouwen daarmee de kolom voor niet q impliceert niet p, die ze vergelijken met p impliceert q
activityKaartjes sorteren: vier beweringen
Groepjes sorteren kaartjes in bewering, omgekeerde, inverse en contrapositie en markeren elk als waar of onwaar
worksheetGetallendetective met contrapositie
Contraposities van deelbaarheidsregels gebruiken om getallen uit te sluiten zonder te delen

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

De contrapositie van een als-dan-bewering "Als

p

, dan

q

" (

p \to q

) is de bewering "Als niet

q

, dan niet

p

\neg q \to \neg p

Om haar te maken doe je twee dingen: je verwisselt de hypothese (voorwaarde) en de conclusie, en je ontkent ze allebei.

Belangrijk feit: een bewering en haar contrapositie zijn logisch equivalent. Ze zijn altijd allebei waar of allebei onwaar. De waarheidstabel laat het rij voor rij zien (W = waar, O = onwaar):

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & \neg p & \neg q & p \to q & \neg q \to \neg p \\ \hline W & W & O & O & W & W \\ W & O & O & W & O & O \\ O & W & W & O & W & W \\ O & O & W & W & W & W \end{array}

De laatste twee kolommen zijn gelijk, dus schrijven we

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

. (De interactieve tabel in deze les controleert dit voor je: de laatste kolom,

(p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p)

, is in elke rij W.)

De vier verwante beweringen bij

p \to q

Oorspronkelijke bewering: $p \to q$
Omgekeerde: $q \to p$ (alleen verwisselen)
Inverse: $\neg p \to \neg q$ (alleen ontkennen)
Contrapositie: $\neg q \to \neg p$ (verwisselen en ontkennen)

De oorspronkelijke bewering en de contrapositie komen altijd overeen. Ook de omgekeerde en de inverse komen altijd met elkaar overeen, want de inverse is de contrapositie van de omgekeerde.

Uitgewerkte voorbeelden

Schrijf de contrapositie van: "Als een getal deelbaar is door $10$ , dan eindigt het op $0$ ."

Bepaal de hypothese $p$ en de conclusie $q$

$p$ : een getal is deelbaar door $10$ . $q$ : het eindigt op $0$ . → Twee delen gevonden

Ontken beide delen

$\neg p$ : het getal is niet deelbaar door $10$ . $\neg q$ : het eindigt niet op $0$ . → Beide delen ontkend

Verwissel de volgorde en schrijf $\neg q \to \neg p$

Zet de ontkende conclusie vooraan en de ontkende hypothese achteraan. → Als een getal niet op $0$ eindigt, dan is het niet deelbaar door $10$ .

Antwoord: Als een getal niet op $0$ eindigt, dan is het niet deelbaar door $10$ . Net als de oorspronkelijke bewering is deze waar: $73$ eindigt bijvoorbeeld niet op $0$ en $73 \div 10 = 7{,}3$ is geen geheel getal.

Veelgemaakte fouten

Alleen de delen verwisselen en $q \to p$ de contrapositie noemen

Waarom het fout is: Verwisselen zonder ontkennen geeft de omgekeerde, en die kan onwaar zijn terwijl de oorspronkelijke bewering waar is.

Correct: Verwissel en ontken beide delen: de contrapositie van $p \to q$ is $\neg q \to \neg p$ .

" $x > 5$ " ontkennen als " $x < 5$ "

Waarom het fout is: Dan vergeet je het geval $x = 5$ . Elk getal is groter dan $5$ of niet groter dan $5$ , en "niet groter" omvat $5$ zelf.

Correct: De ontkenning van $x > 5$ is $x \le 5$ , en de ontkenning van $x \ge 5$ is $x < 5$ .

Aannemen dat de omgekeerde van een ware bewering ook waar is

Waarom het fout is: "Als $x = 4$ , dan $x^2 = 16$ " is waar, maar "Als $x^2 = 16$ , dan $x = 4$ " is onwaar, want $x = -4$ werkt ook.

Correct: Alleen de contrapositie heeft gegarandeerd dezelfde waarheidswaarde als de oorspronkelijke bewering. De omgekeerde moet je apart controleren.

Verdwalen in dubbele ontkenningen

Waarom het fout is: Bij "Als het niet regent, dan loop ik naar school" schrijven sommigen "Als ik niet loop, dan regent het niet niet" of laten ze per ongeluk een ontkenning weg.

Correct: De ontkenning van "het regent niet" is "het regent". De contrapositie is: "Als ik niet naar school loop, dan regent het."

Waarom het belangrijk is

De contrapositie geeft je een tweede deur naar dezelfde bewering, en soms gaat die deur veel makkelijker open:

Getallen: om te laten zien dat $2750$ niet deelbaar is door $6$ , is het genoeg om te zien dat het niet deelbaar is door $3$
Je werk controleren: als een goed antwoord een geheel getal moet zijn en je krijgt $4{,}5$ , weet je dat er iets misging
Computerprogramma's: "Als het wachtwoord klopt, gaat de deur open." De deur bleef dicht, dus het wachtwoord was fout
Bewijzen: later bewijs je beweringen als "Als $n^2$ even is, dan is $n$ even" door in plaats daarvan de contrapositie te bewijzen

Weten welke verwante beweringen overeenkomen beschermt je ook tegen een heel veelgemaakte fout: aannemen dat de omgekeerde van een ware bewering ook waar moet zijn.

Toepassingen in de echte wereld

Deelbaarheidsregels en controlecijfers

Veel codes en snelle controles uit het hoofd steunen op deelbaarheidsregels, en dankzij de contrapositie kun je een getal afwijzen zonder te delen.

Voorbeeld:

Regel: als een getal deelbaar is door $9$ , dan is de som van de cijfers deelbaar door $9$ . De cijfersom van $5812$ is $16$ , dus $5812$ kan niet deelbaar zijn door $9$ .

1Probeer het zelf

Regel: als een getal deelbaar is door $9$ , dan is de som van de cijfers deelbaar door $9$ . Een medewerker controleert het codenummer $4372$ .

Is $4372$ deelbaar door $9$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de cijfersom van $4372$ als optelling:

Regels voor gratis verzending

Webwinkels hebben vaak regels als "Als je bestelling 50 € of meer is, is de verzending gratis." De contrapositie vertelt je wat verzendkosten op je factuur betekenen.

Voorbeeld:

Contrapositie: als je verzendkosten hebt betaald, dan was je bestelling minder dan 50 €. Een factuur met verzendkosten bewijst dat de bestelling onder de grens bleef.

2Probeer het zelf

Regel: als een bestelling in totaal 50 € of meer is, is de verzending gratis. Anna heeft verzendkosten betaald. In haar winkelmandje zaten een boek van 18 € en een lamp van 27 €.

Wat was het totaal van haar bestelling, en hoeveel had ze nog nodig voor gratis verzending?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het totaal van de bestelling als optelling:

Een ranglijst lezen

Sportfans gebruiken de contrapositie om dingen uit te sluiten op basis van de stand, zonder elke wedstrijd te zien.

Voorbeeld:

In een competitie met $3$ punten voor een winst, $1$ voor een gelijkspel en $0$ voor een verlies geldt: als een team alle $5$ wedstrijden heeft gewonnen, heeft het $15$ punten. Een team met minder dan $15$ punten heeft niet elke wedstrijd gewonnen.

3Probeer het zelf

Regel: als een team alle $5$ wedstrijden wint, dan heeft het $15$ punten ( $3$ per winst, $1$ per gelijkspel, $0$ per verlies). Team Blauw heeft $13$ punten na $5$ wedstrijden.

Heeft Team Blauw alle wedstrijden gewonnen, en hoeveel wedstrijden kan het hoogstens gewonnen hebben?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de punten voor $5$ overwinningen als vermenigvuldiging:

Belangrijke punten

1De contrapositie van $p \to q$ is $\neg q \to \neg p$ : verwissel de twee delen en ontken ze allebei
2Een bewering en haar contrapositie zijn logisch equivalent: ze zijn altijd allebei waar of allebei onwaar
3De waarheidstabel laat het zien: $p \to q$ en $\neg q \to \neg p$ zijn alleen onwaar in de rij $p$ waar, $q$ onwaar
4De omgekeerde $q \to p$ en de inverse $\neg p \to \neg q$ komen met elkaar overeen, maar niet noodzakelijk met de oorspronkelijke bewering
5Ontken zorgvuldig: het tegendeel van $x > 5$ is $x \le 5$ , en het tegendeel van oneven is even
6Als een bewering lastig direct te controleren is, controleer dan haar contrapositie, bijvoorbeeld "als $n$ oneven is, dan is $n^2$ oneven"

Veelgestelde vragen

Waarom is de contrapositie altijd waar als de oorspronkelijke bewering waar is?

De bewering

p \to q

zegt: telkens als

p

gebeurt, gebeurt ook

q

. Dus als

q

niet gebeurd is, kan

p

ook niet gebeurd zijn, anders was

q

gevolgd. Dat is precies

\neg q \to \neg p

. De waarheidstabel bevestigt het in alle vier de gevallen.

Wat is het verschil tussen de inverse en de contrapositie?

Beide ontkennen de twee delen, maar de inverse houdt de volgorde (

\neg p \to \neg q

), terwijl de contrapositie die ook verwisselt (

\neg q \to \neg p

). De contrapositie is equivalent met de oorspronkelijke bewering; de inverse is equivalent met de omgekeerde.

Als de oorspronkelijke bewering onwaar is, is de contrapositie dan ook onwaar?

Ja. Ze zijn equivalent, dus ze hebben altijd dezelfde waarheidswaarde. "Als een getal even is, dan is het deelbaar door

4

" is onwaar (

6

is een tegenvoorbeeld), en dat geldt ook voor "Als een getal niet deelbaar is door

4

, dan is het niet even", met hetzelfde tegenvoorbeeld

6

Is een contrapositie hetzelfde als een bewijs uit het ongerijmde?

Nee. Met de contrapositie bewijs je rechtstreeks

\neg q \to \neg p

in plaats van

p \to q

. Een bewijs uit het ongerijmde neemt aan dat de hele bewering onwaar is en komt uit bij een onmogelijk resultaat. Beide methoden komen aan bod in het onderwerp bewijzen.

Woordenlijst

Contrapositie: De bewering $\neg q \to \neg p$ die je uit $p \to q$ krijgt door beide delen te verwisselen en te ontkennen
Omgekeerde: De bewering $q \to p$ , die je krijgt door hypothese en conclusie te verwisselen
Inverse: De bewering $\neg p \to \neg q$ , die je krijgt door hypothese en conclusie te ontkennen zonder ze te verwisselen
Ontkenning (negatie): Het tegendeel van een bewering, geschreven $\neg p$ ; die is precies dan waar als $p$ onwaar is
Logisch equivalent: Twee beweringen die in elke rij van een waarheidstabel dezelfde waarheidswaarde hebben, geschreven met $\equiv$

Formulekaart

Contrapositie

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

Beide delen verwisselen en ontkennen; altijd equivalent met de oorspronkelijke bewering

Omgekeerde en inverse

q \to p \equiv \neg p \to \neg q

Met elkaar equivalent, maar niet noodzakelijk met de oorspronkelijke bewering

Ongelijkheden ontkennen

\neg(x > a) \iff x \le a

De ontkenning van "groter dan" is "kleiner dan of gelijk aan"

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Contrapositie

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Deelbaarheidsregels en controlecijfers

Regels voor gratis verzending

Een ranglijst lezen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Contrapositie

Omgekeerde en inverse

Ongelijkheden ontkennen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logisch redeneren

Deductief redeneren

Als-dan-beweringen

Omgekeerde en inverse