Omgekeerde en inverse

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Wat is de omgekeerde van de implicatie $p \to q$ ?
1. a) $q \to p$
2. b) $\neg q \to \neg p$
3. c) $p \to \neg q$
4. d) $\neg p \to \neg q$
Antwoord: $q \to p$
De omgekeerde verwisselt de twee delen: $q \to p$ . De bewering $\neg p \to \neg q$ is de inverse, en $\neg q \to \neg p$ is de contrapositie, die je in de volgende les leert kennen.
2.
De bewering Als $x = 5$ , dan $x^2 = 25$ is waar. De omgekeerde, Als $x^2 = 25$ , dan $x = 5$ , is onwaar. Welk negatief getal is een tegenvoorbeeld voor de omgekeerde?
Antwoord: -5
$(-5)^2 = 25$ , dus $x^2 = 25$ is waar voor $x = -5$ , maar $x = 5$ is onwaar. Eén tegenvoorbeeld laat zien dat de omgekeerde onwaar is.
3.
Origineel: Als $x = 2$ , dan $3x = 6$ . Is de omgekeerde, Als $3x = 6$ , dan $x = 2$ , ook waar? Werk het stap voor stap uit.
Antwoord: 1
1. Controleer het origineel: hoeveel is $3 \times 2$ ? 6
2. Los $3x = 6$ op. Wat is $x$ ? 2
3. Hoeveel waarden van $x$ voldoen aan $3x = 6$ ? 1
4.
Wat is de inverse van: Als een figuur een vierkant is, dan is ze een rechthoek?
1. a)Als een figuur geen rechthoek is, dan is ze geen vierkant
2. b)Als een figuur een rechthoek is, dan is ze een vierkant
3. c)Als een figuur geen vierkant is, dan is ze geen rechthoek
4. d)Als een figuur een vierkant is, dan is ze geen rechthoek
Antwoord: Als een figuur geen vierkant is, dan is ze geen rechthoek
De inverse ontkent beide delen en houdt de volgorde: Als een figuur geen vierkant is, dan is ze geen rechthoek. Die is onwaar: een rechthoek van 5 cm bij 3 cm is geen vierkant, maar wel een rechthoek.
5.
Omgekeerde: Als een getal even is, dan is het deelbaar door 4. Welk even getal tussen 5 en 7 laat zien dat deze omgekeerde onwaar is?
Antwoord: 6
6 is even, maar $6 \div 4 = 1{,}5$ , dus 6 is niet deelbaar door 4. De hypothese is waar en de conclusie onwaar, dus 6 is een tegenvoorbeeld.
6.
Origineel: Als $x = 6$ , dan $x^2 = 36$ . Zoek een tegenvoorbeeld voor de omgekeerde, Als $x^2 = 36$ , dan $x = 6$ .
Antwoord: -6
1. Hoeveel is $6^2$ ? 36
2. Hoeveel is $(-6)^2$ ? 36
3. Voor welke waarde van $x$ geldt $x^2 = 36$ maar $x \neq 6$ ? -6
7.
Origineel: Als een getal een veelvoud van 10 is, dan is het een veelvoud van 5. Is de omgekeerde waar of onwaar?
1. a)Onwaar, omdat 20 een veelvoud van 10 is
2. b)Waar, omdat het origineel waar is
3. c)Waar, omdat elk veelvoud van 5 een veelvoud van 10 is
4. d)Onwaar, omdat 15 een veelvoud van 5 is maar niet van 10
Antwoord: Onwaar, omdat 15 een veelvoud van 5 is maar niet van 10
De omgekeerde is: Als een getal een veelvoud van 5 is, dan is het een veelvoud van 10. 15 is een veelvoud van 5, maar $15 \div 10 = 1{,}5$ , dus de omgekeerde is onwaar. Dat het origineel waar is, zegt niets over de omgekeerde.
8.
Origineel: Als een getal een veelvoud van 9 is, dan is het een veelvoud van 3. De omgekeerde is onwaar. Wat is het kleinste veelvoud van 3 met twee cijfers dat geen veelvoud van 9 is?
Antwoord: 12
De veelvouden van 3 met twee cijfers beginnen met 12, 15, 18. Omdat $12 \div 9$ geen geheel getal is, is 12 een veelvoud van 3 maar niet van 9. Het weerlegt de omgekeerde, Als een getal een veelvoud van 3 is, dan is het een veelvoud van 9.
9.
Origineel: Als een getal deelbaar is door 4, dan is het deelbaar door 2. Test de inverse, Als een getal niet deelbaar is door 4, dan is het niet deelbaar door 2, met het getal 10.
Antwoord: 1
1. Wat is de rest als je 10 deelt door 4? 2
2. Hoeveel is $10 \div 2$ ? 5
3. 10 is niet deelbaar door 4, maar wel door 2. Hoeveel tegenvoorbeelden heb je nodig om te laten zien dat de inverse onwaar is? 1
10.
De omgekeerde van een als-dan-bewering is onwaar. Wat kun je zeggen over de inverse?
1. a)Ze is waar
2. b)Ze kan waar of onwaar zijn
3. c)Ze is onwaar
4. d)Ze is hetzelfde als het origineel
Antwoord: Ze is onwaar
De omgekeerde en de inverse hebben altijd dezelfde waarheidswaarde: hun kolommen in de waarheidstabel zijn gelijk. Als de omgekeerde onwaar is, is de inverse dus ook onwaar.
11.
In hoeveel van de vier rijen van de waarheidstabel hebben $p \to q$ en de omgekeerde $q \to p$ een verschillende waarheidswaarde?
Antwoord: 2
$p \to q$ is alleen onwaar in de rij $p$ waar, $q$ onwaar. $q \to p$ is alleen onwaar in de rij $p$ onwaar, $q$ waar. In die 2 rijen verschillen de waarden, in de andere 2 rijen zijn ze allebei waar.
12.
Bepaal de waarde van de omgekeerde $q \to p$ in de rij waarin $p$ onwaar is en $q$ waar. Schrijf 1 voor waar en 0 voor onwaar.
Antwoord: 0
1. Wat is de waarde van $q$ in deze rij (1 of 0)? 1
2. Wat is de waarde van $p$ in deze rij (1 of 0)? 0
3. Een als-dan-bewering is alleen onwaar als de hypothese waar is en de conclusie onwaar. Wat is hier $q \to p$ (1 of 0)? 0
13.
Origineel: Als $x > 5$ , dan $x > 3$ . Controleer de omgekeerde, Als $x > 3$ , dan $x > 5$ , met gehele getallen.
Antwoord: 2
1. Wat is het kleinste gehele getal groter dan 3? 4
2. Is $4 > 5$ ? Schrijf 1 voor ja en 0 voor nee. 0
3. Hoeveel gehele getallen zijn groter dan 3 maar niet groter dan 5? 2
14.
Welke bewering kun je schrijven als een ware equivalentie (dan en slechts dan als)?
1. a)Als $x = 4$ , dan $x^2 = 16$
2. b)Als een figuur een vierkant is, dan heeft ze vier zijden
3. c)Als een driehoek een hoek van $90^\circ$ heeft, dan is hij rechthoekig
4. d)Als een getal een veelvoud van 4 is, dan is het even
Antwoord: Als een driehoek een hoek van $90^\circ$ heeft, dan is hij rechthoekig
Alleen de bewering over de rechthoekige driehoek is waar in beide richtingen, want het is de definitie van een rechthoekige driehoek. De andere hebben een onware omgekeerde: $x = -4$ geeft $x^2 = 16$ , 6 is even maar geen veelvoud van 4, en een rechthoek van 5 cm bij 3 cm heeft vier zijden maar is geen vierkant.
15.
Origineel: Als $x > 4$ , dan $x^2 > 16$ . De omgekeerde is: Als $x^2 > 16$ , dan $x > 4$ . Zoek het gehele tegenvoorbeeld voor de omgekeerde dat het dichtst bij nul ligt.
Antwoord: -5
Een tegenvoorbeeld heeft $x^2 > 16$ en $x \le 4$ nodig. Voor $x = -4$ is $(-4)^2 = 16$ , en dat is niet groter dan 16. Voor $x = -5$ is $(-5)^2 = 25 > 16$ , maar $-5$ is niet groter dan 4. Dus $-5$ is het tegenvoorbeeld dat het dichtst bij nul ligt.
16.
Origineel: Als een getal een veelvoud van 3 is, dan is het een veelvoud van 6. Laat zien dat het origineel onwaar is, maar de omgekeerde waar.
Antwoord: 2
1. Wat is de rest als je 9 deelt door 6? 3
2. 12 is een veelvoud van 6. Hoeveel is $12 \div 3$ ? 4
3. Elk veelvoud van 6 kun je schrijven als $6k = 3 \times 2k$ . Hoeveel is $6 \div 3$ ? 2
17.
Vergelijk de omgekeerde $q \to p$ en de inverse $\neg p \to \neg q$ in de waarheidstabel. Schrijf 1 voor waar en 0 voor onwaar.
Antwoord: 4
1. Rij $p = 1$ , $q = 0$ : wat is $q \to p$ , dus $0 \to 1$ ? 1
2. Zelfde rij: $\neg p = 0$ en $\neg q = 1$ . Wat is $\neg p \to \neg q$ , dus $0 \to 1$ ? 1
3. Rij $p = 0$ , $q = 1$ : wat is $q \to p$ , dus $1 \to 0$ ? 0
4. Zelfde rij: $\neg p = 1$ en $\neg q = 0$ . Wat is $\neg p \to \neg q$ , dus $1 \to 0$ ? 0
5. In de rijen $p = q = 1$ en $p = q = 0$ zijn ze allebei 1. In hoeveel van de 4 rijen hebben de omgekeerde en de inverse dezelfde waarde? 4
18.
Is de equivalentie $x^2 = 4x$ dan en slechts dan als $x = 4$ waar? Controleer beide richtingen.
Antwoord: 0
1. Richting Als $x = 4$ , dan $x^2 = 4x$ : hoeveel is $4^2$ ? 16
2. Hoeveel is $4 \times 4$ , de waarde van $4x$ voor $x = 4$ ? 16
3. Richting Als $x^2 = 4x$ , dan $x = 4$ : welk ander getal is een oplossing van $x^2 = 4x$ ? 0